不定積分第一換元積分法教學探究

周鳳芹

(山東協(xié)和學院 基礎部，濟南 250109)

第一換元積分法也稱湊微分法，它是微分公式的反向應用，要求學生熟練掌握微分公式。換元的目的是回歸到基本積分公式，以起到對積分公式的鞏固作用。不定積分和定積分的積分方法本質相同，不定積分計算方法的學習會直接影響定積分的學習，同時也會影響多元函數(shù)微積分的學習效果。積分的換元積分法包括第一換元積分法和第二換元積分法，其本質都是針對復合函數(shù)的積分。直接積分法是利用積分基本公式和線性性質來計算積分的方法。積分基本公式是從微分基本公式轉化來的，線性性質則對應著微分運算的代數(shù)和、數(shù)乘。與微分計算相比，積分的計算更具有靈活性，直接積分法可以解決一些簡單的不定積分問題。積分的第一換元積分法是基本公式的延伸，對應微分學中的復合函數(shù)求導，但其形式變化多樣，掌握積分的第一換元積分法本質是初學者的難點。

1 不定積分第一換元積分法本質

同濟大學第七版教材中對第一換元積分定理的描述：

2 不定積分第一換元積分法引例

現(xiàn)有教材中的引例多數(shù)是對cos3x和e-3x的積分，即對比積分基本公式把dx進行變換，套進公式。此過程對湊微分法的本質理解比較生硬，對于數(shù)學基礎較差的學生來說，接受度較低。于是，選擇了一個學生可以結合基本積分公式和積分性質更容易計算的例子，學生可通過參與計算鞏固第一節(jié)的知識，形成計算積分的技能，再把結果和公式對比，形成結論，使學生能夠理解抽象的第一換元積分法概念，更容易接受換元法的應用過程，形成牢固的計算思路。

=cos2sinx+sin2cosx+C

=sin(x+2)+C

3 第一換元積分法的計算思路總結

圖1 不定積分第一換元積分法的關鍵點Fig.1 Key points of the first integration by substitution of indefinite integral

至此，不定積分第一換元積分法的概念已形成，使用的基本思路和關鍵點也凸顯出來。不定積分第一換元積分法的應用可以總結為四個字：設、求、代、換，具體為假設中間變量u=φ(x)，求出x=φ-1(u)和dx，代入積分并求解，用x=φ-1(u)代換u得出最后結論。