變位系數對超高轉速齒輪副的疲勞壽命優化

李劉偉，程 鯤

（西南科技大學制造科學與工程學院，四川 綿陽 621000）

1 引言

齒輪傳動具有傳動比精確、傳動效率高、結構緊湊等特點，被廣泛的應用于各種機械傳動結構中[1]。在設計齒輪時選用合適的變位系數有助于提高齒輪傳動的性能[2-4]。

隨著綠色工業的提出，各種新能源設備被大量推出其中手持式電動產品具有功率小、電機軸的轉速很高[5-6]，而設備的整體尺寸很小，因此其能夠取代傳統的燃油機產品。目前國內限制此類電動設備發展的主要因素是齒輪箱技術。對于此類超高轉速的齒輪副，齒輪嚙合時的振動以及潤滑等因素是影響此類設備綜合性能的最主要因素。此處，基于一臺最大輸入功率為0.72kW，轉速20000r/min 的緊湊型手持式電動綠籬機的最高轉速軸齒輪副的研究，詳細參數，如表1 所示。發現現有高速軸齒輪主從動齒輪嚙合時出現以下現象：嚙合不良噪音大、工作振動和噪音大、從動齒輪偶爾出現齒根部斷裂等。表1 中的變位系數，是相關設計人員根據自身設計經驗而給出的一組變位系數數值。

為此，本研究將采用三維建模軟件NX10.0 對待研究齒輪副以及齒輪箱進行建模和裝配。結合有限元分析軟件ANSYS Workbench 進行相關的變形量與受力分析，通過計算整理相關數據得出現有參數下的不足。根據變位系數選取原則對主從動齒輪變位系數進行規律取值分析即計算，最后通過等強度設計原則，選取最優變位系數組合。

表1 高速軸齒輪副具體參數表Tab.1 The Specific Parameter Table of High-Speed Shaft Gear Pair

2 現有傳動齒輪副仿真分析

2.1 現有參數模型分析

根據研究中的傳動齒輪副可知，此處漸開線齒輪副的參數，如表1 所示。為了保證所建立齒輪模型的正確性，此處采用的理論漸開線方程和過渡線方程分別為：

其中參數和含義見參考文獻[7]。

根據上述表1 的齒輪參數以及相對應的零部件圖紙，通過NX10.0 完成建模和相應的裝配，效果圖，如圖1 所示。

圖1 齒輪箱裝配效果圖Fig.1 Gear Box Assembly Rendering

2.2 ANSYS 仿真分析

為了消除一些非關鍵因素對仿真結果的影響以及提高有限元分析結果的準確性以及節約計算時間，在此處對待分析模型做如下簡化處理。（1）高速軸（主動齒輪軸）軸齒輪與飛輪之間采用的熱套壓裝的方式，在這將其求和為一體進行分析；（2）安裝齒輪時在其一端添加了一個墊圈用作調整軸向間距，在這根據圖紙公差以及裝配公差取中間值確定墊圈的長度然后與齒輪求和在一起分析。將簡化好的主從動齒輪模型更別另存為x-t 格式的三維通用文件待用。

2.2.1 齒輪副傳遞載荷計算

在此處計算該齒輪副的傳遞載荷有兩種方式：（1）根據輸出端的載荷反求本研究中的高轉速軸齒輪副的載荷大小；（2）根據電機端輸入功率和電機特性曲線計算高轉速軸的載荷。此處因為輸出為鋸齒形雙刀片，其在修剪樹枝等工況時，載荷變動大切不易測量，故而此處采用方式2 計算該齒輪副的載荷情況。根據電機在空載情況下的功率和滿負荷工況下的電流電壓以及特性曲線求出齒輪副在對應情況下的平均功率。該設備在滿負荷工作時，功率消耗為兩部分：（1）切割帶來的沖擊載荷，（2）空載載荷時的設備運行阻力。該綠籬機在空載和實際工況下的功率測試結果，如表2 所示。

表2 綠籬機實際工況Tab.2 The Actual Working Condition of the Hedge Trimmer

通過式（3）～式（4）可計算出該齒輪副空載與滿載時傳遞的力矩為 M0與 M1：

式中：P—電機消耗功率；η—電機效率；n—電機轉速。

根據齒輪嚙合的實際過程時，設備空載運行時齒輪的單個齒的嚙合頻率分別為h0。滿載時載荷為沖擊載荷與空載時的載荷之和，此頻率與設備對外的切割有關，根據齒輪箱的傳動比和傳動方式可知滿載時的頻率為h1。

式（5）、式（6）中：n—電機的輸出轉速為 20000r/min；Z1—一級減速齒輪副主動齒輪齒數；Z21—二級減速齒輪副主動齒輪齒數；Z12—一級減速齒輪副從動齒輪齒數；Z3—二級減速齒輪副從動齒輪齒數。因為輸出刀片與Z3齒輪采用的是曲柄滑塊機構，故而Z3齒輪轉動一圈，刀具來回各切割一次，因此式（6）需要乘以2。

設備空載時齒輪嚙合的相互作用力可以根據式（8）求出。而滿載時，其中的沖擊載荷由一個齒承擔，因此該載荷可以等效為其產生的沖擊力F1在一個齒的嚙合時間（t）內，沿著嚙合線所做的功。在這假設這個過程中齒輪的轉速不受影響，根據式（9）可以計算出滿載時的沖擊力F1[8]。

根據對比式（10）、式（11）可知，空載時齒輪副間的作用力下引起的齒根應力為：

表中各符號含義見參考文獻機械設計手冊-齒輪傳動。通過計算得出σF0﹤﹤σFP，因此在后面的計算分析時忽略空載時齒輪副間的作用力。

2.2.2 主、從動齒輪受力有限元分析

打開ANSYS Workbench 軟件，在其中建立兩個獨立靜態動力學分析工程，然后分別導入前面準備好的模型文件。此處齒輪表面實際是經過表面熱處理過，但是熱處理主要對材質表面影響較大，對整體的材料性能影響不大[9]，故而此處仍采用40Cr 材料的常規參數，具體參數，如表3 所示。

表3 40Cr 材料屬性表Tab.3 Material Property List of 40Cr

網格劃分：此處采用采用協調分片算法下的自動劃分網格的方式對待分析的齒輪進行網格劃分。此方式采用小的公差，能考慮到幾何體的小特征，因此適合此處的齒輪模型。此處網格劃分時網格細分程度均選擇80，劃分后的效果，如圖2 所示。劃分的節點和單元數，如表4 所示。

圖2 主、從動齒輪網格劃分效果圖Fig.2 The Effect Diagrams of Main and Driven Gear Meshing

表4 分析參數表Tab.4 Analysis Parameter List

圖3 齒輪受力曲線圖Fig.3 Gear Force Curve

圖4 主、從動齒輪有限元分析結果云圖Fig.4 The Finite Element Analysis Result Cloud Map of Main and Driven Gear Meshing

根據齒輪旋轉時的工況以及受力分析可知，此處齒輪的受力載荷曲線，如圖3 所示。將該載荷曲線輸入到ANSYS 中，作為分析時的邊界條件。求解后的主從動齒輪的最大應力、最大應變、最大變形量云圖，如圖4 所示。根據分析結果可知，結果如表5 所示。根據表5 的主從動齒輪的最大變形，最大主應力以及最大主應變的對比分析可知，在靠經驗給定的變位系數下，齒輪在受載荷后，輪齒的最大變形量相差較大，最大主應力相差較大等不足。由于變形量和最大主應力的差異，將使得齒輪箱在工作時因為主從動齒的變形不一致而一起設備大的振動，以至于大的噪音等設備運行缺陷。

表5 有限元分析結果表Tab.5 Finite Element Analysis Result List

2.2.3 齒輪材料的疲勞壽命計算

此處主要計算的是在沖擊載荷下齒輪的疲勞壽命，這和傳統意義上的求解齒輪常規運動下的疲勞壽命不太一致。這里設備工作時，其中單個齒是以一定的時間間隔受到沖擊力，故而可以等效為一個懸臂梁受到周期沖擊載荷下的材料疲勞壽命計算[10]。

根據金屬材料在周期性沖擊載荷下的應力應變關系，采用收斂快，精度高且簡便的丁氏計算方法[11]，由此得出的應力-循環疲勞計算經驗公式有兩種，如式（12）、式（13）所示。

指數函數表達式：

三參數冪函數表達式：

根據本研究中已知最大應力需要求材料的彎曲疲勞壽命，故而選用式（12）進行相關計算。由參考文獻[11]可知，材料40Cr 調質處理時，參數A 取值23.95，B 取值-6.88。根據上小結分析，帶入從動齒輪的最大主應力σ0=154.02MPa、σ1=206.78MPa 可求解出對應的疲勞壽命齒數為：

計算得出：

根據齒輪嚙合頻率的規律，可以算出主、從動齒的有效壽命分別為 T0、T1。

由T1﹤T0得出，此時該對傳動齒輪副的有效壽命為1.693×104h。

3 超高速輕載傳動齒輪優化設計

通過參考機械設計手冊的第八篇齒輪傳動中的圖8.5-3 可知，在以兩齒輪的齒根抗彎曲強度近似相等為原則下，為使該齒輪傳動有一個較好的綜合性能，使得此處主、從動齒輪的變位系數和的取值范圍為：0.10≤x∑≤0.75

根據該書表8.2-6（變位齒輪傳動的特點及其與標準齒輪傳動的比較）可知，當變位系數和大于零時可使齒厚增加、重合度減小、滑動率減小、效率提高等優點。在不改變原有的齒輪基本參數以及傳動比的情況下，此處優化設計時仍然使主動齒輪齒數為（Z1）13，從動齒輪齒數為（Z12）35。為減少齒輪傳動時的滑動摩擦，提高傳動效率，根據該書圖8.2-4（主從動齒輪變位系數分配圖），主、從動齒的變位系數取值范圍分別為：

0.10≤x1≤0.50

-0.25≤x2≤0.75

此處因為變為系數的變化而引起傳動載荷變化很小，在這忽略不計。在齒輪傳動設計時，本該確定好總變位系數在去選取主、從動齒輪的變位系數，這樣得到的結果不能使得到的結果最優。為了優化出主、從動齒輪的最佳變位系數，在這采用逆向設計的方式，先根據主、從動齒輪的變為系數取值范圍單獨進行取值實驗分析，最后根據主次因素決策的原則得出最后的優化結論。

3.1 主、從動齒輪優化分析

在這根據主從動齒輪的變位系數取值范圍特點，對主、從動齒輪的變為系數均取6 個值進行取值分析。根據取定的變為系數數值和齒輪的原有基本參數在NX10.0 中分別進行建模，然后重復2.2 節中的有限元分析過程。經過分析得出的最大主應力和最大變形結果，如表6、圖5 所示。圖5 中虛線分別標注的為現有變位系數下的值。

表6 分析結果表Tab.6 Analysis Result List

根據表5 的分析結果，通過office 辦公軟件，就對應的最大主應力和最大變形量繪制了相應的折線圖，如圖5 所示。

圖5 分析結果折線圖Fig.5 TheLine Chart of Analysis Result

3.2 仿真結果分析

根據表6 數據和式（12）、式（14）、式（15）、式（16）、式（17）分別帶入對應數值計算得出主、從動齒輪在不同變為系數下的有效使用壽命，如表7、圖6 所示。

根據主次要素決策法，此處最大變形量和疲勞壽命兩個要素在綠籬機的齒輪傳動過程中，我們更多的關注的是齒輪副使用使用壽命。通過機械設計中的等強度原則，通過圖6 可以看出對于主動齒輪變位系數在（0.3～0.4）區間內，從動齒輪變位系數在（0.15～0.35）區間內。根據圖6 中主從動齒輪的疲勞壽命曲線交點的意義，此處對優化后的主從動齒輪的變為系數分別選取：

x1=0.375，x2=0.20

對應的變為系數和為0.575 滿足條件［0.1，0.75］要求，因此得到的齒輪傳動系統能有一個綜合性能較好的結果。

表7 主、從動齒輪疲勞壽命Tab.7 The Fatigue Life of Main and Driven Gear

圖6 主、從動齒疲勞壽命折線圖Fig.6 The Line Chart of Fatigue Life of Main and Driven Gear

圖6 中，虛線標注的相應數值即為優化后所選取的變位系數下的最大主、從動齒輪的最大變形量與整體的疲勞壽命。對應的變位系數下該齒輪副的使用疲勞壽命為：

主動齒的最大變形量為：

主動齒的最大變形量為：

由式（18）優化百分率計算公式可得出：

優化后的變位系數下，主、從動齒輪的最大變形量分別減少了：1.16%，16.01%。以及該齒輪副的綜合疲勞壽命提升了9.01 倍的使用壽命。

4 結論

通過NX10.0 建立了現有綠籬機參數下的三維模型，通過ANSYS 有限元分析軟件分析出，現有參數下的高速軸齒輪副在設計上不合理，主、從動齒輪疲勞壽命相差大，這將會造成主動齒輪部分壽命的浪費。文中通過查詢齒輪設計時變為系數的取值范圍以及分配原則，結合設備實際使用情況，采用逆向求解的方式，分別對主、從動齒輪在各自對應的變位系數取值范圍內進行多組取值進行分析，根據分析結果得出以下結論：（1）在分析齒輪最大變形量與齒輪使用疲勞壽命與變位系數間的關系時，變位系數是一個效益型的變量，即變為系數取值越大，對應的效果越好。（2）根據本研究中的傳動比與主、從動齒輪的基本參數，以及變位系數和的取值要求，在等強度的設計原則下，對主、從動齒輪的變位系數分別取值為x1=0.375、x2=0.20，在該參數下主、從動齒輪的最大變形量分別減少了：1.16%，16.01%；以及該齒輪副的綜合疲勞壽命提升了9.01 倍的使用壽命。這將對該款綠籬機的后續優化提供了指導意義。后續需要研究主從動齒輪最大變形量的減小，對齒輪副傳動的振動及噪音的影響規律；同時完善溫升、潤滑等因素對齒輪副傳動的影響研究，進而從全方位的優化齒輪傳動系統。