逢山開路 遇水搭橋
——妙用三角參數解題

江蘇省豐縣民族中學 (221700) 高成功

“掌握數學就意味著善于解題”，對于數學題有時解法和思路會很豐富.解題時要做到“逢山開路，遇水搭橋”,完善解題過程,讓解題變成一種追求和境界.引入參數通過換元完成解題的方法很多，因三角函數公式多、變換活、思路廣以及正、余弦函數的有界性，為問題的解決帶來極大便利. 三角換元法也稱為三角代換、參數換元法.本文談談巧妙引入三角參數進行換元在求解問題中的應用,以期對提高學生的解題能力有所裨益.

分析：(1)過點P的直線有無數條，討論直線斜率是否存在從而引入參量進行解題是一種常規思路；(2)結合解題經驗利用點C的軌跡是一個圓，從幾何的角度也可以解決該題;(3)由于圓、直線等具有一種三角參數方程式，有時選用便于突破重圍，起到出奇制勝的良好效果.

評注：通過引入參數換元實現了代數和三角的轉化，使思維處于“山窮水盡”之時，能神奇地開拓“柳暗花明”的局面.

分析：這是一個三元未知量求最值問題,消元法此時也不易于問題的解決.根據式子的結構特點考慮引入參數使用三角換元法.

評注：三元最值問題，觀察結構特點，聯想知識內在聯系.引入變量代替某個可以看成一個整體的復雜式子,進而使問題簡化.引入三角參數是中學解題中常見的換元技巧,它主要利用已知代數式與三角知識的聯系進行換元.通過聯想類比,將代數形式轉化為三角形式,再利用三角函數的性質,巧妙地實現解題.

圖1

分析：本題常規解法是為了求直線斜率通過設出直線斜率的方法解題.通性思路為設出直線AB的斜截式、聯立方程組，運用韋達定理；結合平行四邊形下的共圓條件得出直角進而利用垂直條件、以及點M在橢圓上，從而實現兩個未知量組建兩個等量關系式的目標,問題由此得解.

下面通過設點法(引入三角參數法)來解題.

解：設A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),其中α,β∈[0,2π).顯然直線AB的斜率存在，即2cosα≠2cosβ.由于四邊形AMBO是平行四邊形且A,B,M,O四點共圓，可知四邊形AMBO為矩形，由OA⊥OB可得4cosαcosβ+sinαsinβ=0.易知M(2cosα+2cosβ,sinα+sinβ),將點M代入橢圓方程整理得

評注：三角參數介入解題，變形技巧是關鍵；引入變量m設而不求、機動靈活.學習數學，不僅要學習已有的技巧，更要培養良好的觀察能力，從整體看，從局部看，從不同角度去看，發現問題的特點，挖掘其中的聯系，自己創造技巧，而這種觀察能力，正是素養的一部分，應當逐步養成.

總之,引入參數結合三角函數性質解題是一種非常重要的數學思想方法,一些看似無從下手的題目,巧妙引入參數進行換元,往往會達到事半功倍的效果.