初中數學“教思考”的教學細化
——以“分式”為例

孫朝仁

“教思考”源于數學教學專家呂傳漢等人的研究。他們認為，“教思考”就是在數學課堂教學中，教會學生具備以高層次思維認知客觀世界［1］；讓學生用數學的思維分析世界，學會“想數學”，促進學生思辨能力的培育［2］。這些研究都給了筆者以啟發，筆者根據初中數學教學的特點，將“教思考”分解為教學生同化性思考、順應性思考和遷移性思考，下面以“分式”教學為例詳細談一談。

一、同化性思考，落細“教思考”學習目標

在生物學研究范疇，“同化”是指生物機體在新陳代謝過程中不發生質變。在數學教育心理學的研究中，同化性思考則是指不改變原有的認知結構，直接將原有的認知經驗應用到本質特征相同的一類事物中去，原有的認知結構不發生實質性的改變，只是得到某種充實和豐富。數學教育中的舉一反三、聞一知十以及顯性變式都是同化性思考的例子。一般來說，概念的獲得感主要來自同化性思考，比如“你還能舉出具有類似特征的例子嗎？”就是同化性思考的一個例子。換句話說，同化性思考是形成問題的思維通道，為概念的發生搭建新舊經驗銜接的思維橋梁，進而能讓學生獲得、感知和判斷概念的意義、性質，使得“教思考”的學習目標落地。

基于《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標”），教會學生的“數學思考”主要聚焦在三個方面：一方面是在同化性思考中發展學生的形象思維和抽象思維；另一方面是學生在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐以及研究性學習活動中，發展合情推理和非完全演繹推理（運算推理）能力，并清晰地表達自己的想法；再一方面是教學生學會獨立思考、體會數學的基本思想和基本思維方式。

在“分式”概念教學環節，基于“教思考”的教學需要，根據后續設計的指向與思想題旨可知，確立的學習目標應該是：在具體活動中感受分式概念的意義，知道分式有意義的條件；在探索分式基本性質的過程中，發展逆向思維和模型意識。為此，就“概念發生”目標來說，我們可以創設類似下面的問題組塊：

（1）如果一個矩形的長為10 個單位，且面積是60個平方單位，則寬是多少？

（2）如果一個矩形的長為b 個單位，且面積是60個平方單位，則寬是多少？

（3）如果一個矩形的長為b 個單位，且面積是S個平方單位，則寬是多少？

（4）變式1：在（3）的基礎上，如果矩形的長增加1個單位長度，面積不變，則寬是多少？

變式2：在上一變式的基礎上，如果矩形的長不變，面積減少1個平方單位，則寬是多少？

二、順應性思考，落地“教思考”學習行為

“順應”一般指順從、適應。在數學思考目標研究范疇，順應性思考是指將原有的認知經驗應用于新情境時，需調整原有的經驗或對新舊經驗加以概括，形成一種能包容新舊經驗的更高一級的認知結構，適應外界變化的思維狀態。例如，我們為了認識整式的意義，必須先學習單項式和多項式；為了研究分式必須在整式的基礎上學習代數式。同時，順應性思考是數學基本活動經驗形成的必經思維橋梁，是概念經驗產生式形成的思維結果。換句話說，順應性結構經驗就是學習主體在數學活動過程中，通過感知覺、做與用的操作及反思，獲得的具有個性特征的表象性概念、策略性概念以及未經社會性協商的個人概念。日常數學課堂教學中的“會一題、通一類和連一片”就是順應性思考的一個例子。

2011 年版課標明確指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。在“教思考”的目標背景下，基礎知識主要指向概念與概念關系的建立，例如分式及其基本性質；基本技能則集中指向心智技能的順應性發展，例如分式的有意義、無意義以及值為零的運算與推理；基本思想聚焦抽象思想、推理思想和模型思想，例如分式基本性質的形成需要用數學的眼光去抽象、數學基本運算去推理、數學的語言去表征等。

在“分式基本性質”概念產生環節，我們可以設置類似下面的問題組塊：

（1）如圖1，用2 張同樣規格的長方形紙片拼成新的長方形。如果一張長方形紙片的面積是S 個平方單位，長為b 個單位，則新長方形的寬是多少？用同樣規格的n 張長方形紙片拼成新的長方形紙片，寬是多少？由此，你發現了什么？

（圖1）

（2）如圖2，如果將同樣規格的1 張長方形紙片沿長邊分割成2 等分，則寬是多少？如果將長方形紙片沿長邊分割成3 等分、n 等分呢？則寬是多少？由此寫出你的發現。

（圖2）

（3）經歷上述活動，你得到了怎樣的數學結論？

三、遷移性思考，落實“教思考”學習表現

馬斯洛的“需要層次論”涵蓋認知需要、審美需要和自我實現需要，其中“自我實現”是人的最高學習需要。在課堂教學研究范疇，遷移性思考的頂層設計思想就是“自我實現判斷”的價值提升，包括系統思維和變量思維的遷移，數學基本思想方法的把握以及概念的關系性理解等。這樣的學習層級與發展是知識、能力及其章節概念關系得以綜合遷移的內驅行為表現，有助于學生思維導圖的聯結與架構。平常數學課堂教學中的層次性“小結行為”（先行組織小結、課中概括性小結、課末整合性小結等）都是遷移概念結構的樣例，它們有助于學生遷移性思考的發生。當然，遷移并非僅是先前的學習或經驗對以后的影響，也包括后面對前面的影響。遷移是指一種學習對另一種學習的影響，或習得的經驗對完成其他活動的影響。

同時，遷移不僅存在于某種經驗的內部，而且也存在于不同的經驗之間，遷移表明各種經驗內部及其不同經驗之間的相互影響，通過遷移，各種經驗得以溝通，經驗結構得以整合。這里的“內部經驗”可以看作是章節內部概念關系的銜接，比如分式的概念、分式的基本性質以及分式方程之間的章節思維聯結關系；而“不同經驗之間的關系”可以理解為分數與分式的關聯關系、整式與分式的關聯關系以及分式方程與一元一次方程、一元二次方程的關聯關系等系統思維關系。從2011 年版課標來看，遷移性思考直接指向情感態度價值觀目標，也就是“知→情→意→行”思想的高度統一與自我實現價值判斷的提升。具體涉及以下遷移：第一是積極參與數學活動，對數學有好奇心和求知欲，也就是問題設置要關注不同學生的參與度與好奇心；第二是在數學學習過程中，體驗獲得成功的樂趣、體會數學的特點，了解數學的價值，建立數學自信，也就是讓學生在具體活動中體驗到知識、技能的遷移以及自我實現的滿足感；第三是養成獨立思考、合作交往、反思質疑的遷移能力以及堅持真理、修正錯誤的科學態度，也就是讓學生在實踐中反思總結，在反思中進行經驗改造以及系統知識的有序聯結。

例如，在“分式”教學的結課環節，我們可以設計如下教學游戲活動：

每人制作幾張卡片，在卡片上寫一個簡單的整式或運算符號：有如“+”“x”“1-x”“x2-1”“-3”“——”“=”等。

毋庸置疑，大數據、區塊鏈、慕課、電子白板、智能教室、翻轉課堂、泛在學習等進入課堂，使得數學課堂快速發展。這些現代化學習工具為“教思考”提供了便捷的認知橋梁和變量方法，有助于不同學力的學生達到數學教育教學目標，形成“關鍵能力”和“必備品格”。