廣義Fibonacci數列兩項乘積倒數的有限和

高志賢，楊標桂

（福建師范大學數學與信息學院，福建福州350117）

Fibonacci 數列{Fn} 滿足二次線性遞推關系Fn+2=Fn+1+Fn, F0=0,F1=1.Fibonacci 數列在數論研究和數學應用中占有十分重要的地位, 諸多學者從各方面對該數列的性質進行了深入的研究, 其中包含了對該數列倒數的有限和及無窮和的研究[1-4].Ohtsuka和Nakamura在2009年得到了關于Fibonacci數列倒數的無窮和的取整公式[5]:

近年來, 有學者對上述公式進行了多種形式的推廣.如Wang 和Wen 將Fibonacci 數列推廣到倒數的有限和[6]:

（ⅰ）若n ≥4,有

（ⅱ）若m ≥3,n ≥2,有

（ⅲ）若m ≥2,n ≥1,有

一些學者把Fibonacci數列推廣至廣義Fibonacci數列, 從而來研究廣義Fibonacci 數列的倒數的無窮和[7-10].Holliday 和Komatsu 在2011 年定義了廣義Fibonacci數列[11]：

其中: a ≥1 且為整數, 當取a=1 時會得到Fibonacci數列.他們同時也研究了關于廣義的Fibonacci 數列的倒數無窮和：

在上述研究的基礎上, 本文主要研究廣義Fibo?nacci 數列兩項乘積倒數的有限和的情況, 從而推導并證明了恒等式：

及

1 Gk-1Gk+1 的倒數和

引理1[12]GmGn-GpGq=(-1)m+1Gn-pGn-q, (n ＞max { p,q}, m+n=p+q).

引理2[12]GmGn+Gm+1Gn+1=Gm+n+1.

定理1若n ≥2,m ≥2,則:

證明:由Gn+1=aGn+Gn-1得

所以

那么

因此

對于任意的k ≥1有

那么

所以

由引理2可知

由此可得

由式(1)和(2)可得

即

從而有

推論1若n ≥2,則:

證明:在定理1中取m為∞時,即可得到推論1.

2 Gk-1Gk+1 倒數的交錯和

2.1 引理及證明

對于n ≥3,定義

引理3若n ≥3,則f ( n )+ f ( n + 1 )＞0.

證明: ①當n為奇數時,不等式顯然成立.②當n為偶數時,由引理1得

令

由引理1可知

所以, 當n 為偶數時, A＞0, 因此可得f( n )+f( n+1 )＞0.

引理4若n ≥3,m ≥3,則:

證明:①當mn為奇數時f( mn )＞0,結論顯然成立.

②當mn為偶數時,由引理1可得

由引理3可得

由引理2得

從而

因此

引理5若n ≥3,則:

證明:由Gn+2=aGn+1+Gn得

引理6若n ≥4且為偶數,則:

證明:由引理1得

令

由引理1可得

又由引理5可知B ＜0,即引理得證.

引理7如果n ≥4且為偶數,有:

證明:

引理8如果m ≥3,n ≥3且n為奇數,有:

證明:由引理1得

令

由引理1得

所以

由引理2可得

從而

因此

對t( n )做類似f( n )的分析, 可以得到以下t( n)的性質（證明省略）：

引理9如果m ≥3,n ≥3,有t( n )+t( n+1 )＜0.

引理10如果m ≥3,n ≥3,有

2.2 定理及證明

定理2若m ≥3,n ≥3,則

證明: ①n為偶數.由引理3得:

由引理4得

從而

另一方面,由引理6和引理7得

從而,由式(3)和(4)可得

所以

因此,當n為偶數時有

②n為奇數.首先,由引理8得:

另一方面,當mn為偶數時,由引理9得

當mn為奇數時,由引理10得

即當n為奇數時有

所以,由式(5)和(6)可得

從而

因此,當n為奇數時有

推論2若n ≥3,則

證明:在定理2中取m為∞時,即可得到推論2.

3 應用

在定理1、推論1、定理2 和推論2 中, 取a=1 就會得到關于Fibonacci的倒數和關系式,即

（ⅰ）若n ≥2,m ≥2,則

（ⅱ）若n ≥2,則

（ⅲ）若n ≥3,m ≥3,則

(iv)若n ≥3,則

4 總結

本文在Fibonacci 數列研究的基礎上, 研究了廣義Fibonacci 數列{ Gn} , 利用初等數論的相關知識以及取整函數的性質, 證明了兩個關于廣義Fibonacci數列兩項乘積倒數的有限和的恒等式.這兩個恒等式揭示了廣義Fibonacci 數列的某些有限倒數和以及倒數的取整部分與數列本身某些項的聯系; 接著再將廣義Fibonacci 數列倒數和的兩個結論進行了推廣, 也就是把有限和推廣到無窮和的情況.最后在廣義Fibonacci 數列{Gn} 中取a=1，就會得到Fibonacci 數列, 所以將文中得出的四個結論應用在了Fibonacci數列上.