一類反應-擴散-對流方程的平衡解分析

王 燕

（南京財經大學應用數學學院，江蘇南京210023）

反應擴散方程一般用來描述生物種群或化學物質的擴張和傳播問題.在實際情況中由于受到各種環境因素的影響, 這種擴張行為往往具有某種方向性[1-2], 可用方程中的對流項來刻畫這種具有方向性的移動[3-5].文獻[6]分析了方程(1)的自由邊界問題(這里反應項f(u)為Fisher-KPP類型):

其中u=u(t,x), t ＞0, x ∈I ??, β ＞0, 得到了解的全局存在唯一性、擴張滅亡二分性以及漸近擴張速度的估計.若考慮反應項f(u)是雙穩態型時的自由邊界問題, 則其中判斷問題的解是否收斂于某一個平衡解是非?；A而關鍵的一個問題, 因此本文討論當f是雙穩態型非線性項時方程(1)的平衡解類型.

1 問題描述

由于方程來自生態模型或化學模型, 其中u 表示物質的密度, 故由解u的非負有界性, 只研究方程(1)的非負有界平衡解,即下述方程的非負有界解:

其中v=v(x),x ∈I ??.

方程(2)等價于如下二維系統:

系統(3)的每一個解( v( x ),w( x ))對應著相平面v-w 上的一條軌線, 并在軌線上任意w ≠0 的點處斜率為

下面考慮非線性項f 為雙穩態型情形, 即f ∈C1([ 0,+∞)) 且滿足

2 平衡解分析

2.1 相圖分析

對于f 是雙穩態型情形, 系統(3)在v ≥0 半平面上有且只有3 個平衡點, 即點(0,0)、(θ,0)和(1,0).經計算可得(0,0)、(θ,0)和(1,0)所對應的特征值分別為:

這里只考慮0＜β ＜c0的情況, 其中c0是方程ut=uxx+f(u)唯一的行波解的波速[7].因為在這種情況下f"(0)＜0, f"(1)＜0, 所以對任意的β ∈(0,c0), (0,0)和(1,0)是鞍點.當時,(θ,0)是兩向結點;當時, (θ,0) 是 單 向 結 點; 當β ＜時,(θ,0)是焦點.

先考慮方程(2)在v-w 相平面的第一象限中落到(1,0)的軌線Γ1.將它與方程

命 題1: 設β ∈(0,c0), 則 方 程(2)存 在 唯 一 解Ul∈C2([ 0,+∞)),滿足下列條件

證明: 因為方程(2)滿足條件(6)的解對應于v-w相平面中的軌線Γ1,分三步來討論軌線Γ1的位置.

①先證: 存在ε ＞0, 使得當v ∈[1-ε,1)時, 軌線Γ1在軌線-Γ1的上方.

②再證: 當v ∈(0,1-ε)時, 軌線Γ1與軌線不能相交.

方程(5)等價于如下二維系統

假設軌線Γ1與軌線在(0,1-ε)內有交點, 記為(v0,w0).則由該假設以及第一步的證明結果可知

再利用方程(4)和方程(8)在點(v0,w0)處作比較可知, 當β ∈(0,c0)且v0∈(0,1-ε)時, 有這與(9)式矛盾.從而假設不成立, 即軌線Γ1與軌線在(0,1-ε)間不會相交.

③最后證:軌線Γ1不能經過點(0,0).

記方程(10)在v-w 相平面的第一象限中落到(1,0)的軌線為由于當且僅當c=c0時, 方程v""-cv"+f(v)=0 在相平面的第一象限內存在唯一的連接(0,0)和(1,0)的軌線再利用前兩步的證明方法可知, 當v ∈[0,1)時, 軌線嚴格在軌線的上方,即軌線是第一象限內連接某正則點和(1,0)的軌線.再用同樣的方法去比較軌線Γ1和軌線可知,軌線Γ1嚴格在軌線的上方,即軌線Γ1是第一象限內連接某正則點和(1,0)的軌線.

綜上所述,命題1結論成立.

為了確定方程(2)的完整相圖, 只需要再確定軌線Γ2與軌線Γ3的位置關系, 其中軌線Γ2是從點(0,0)出發, 經過第一象限的軌線; 軌線Γ3是從第四象限落到點(0,0)的軌線.其他軌線可由向量場方向以及在正則點處軌線不能相交這兩個事實來確定.這里記軌線Γ2從點(0,0)出發經過第一象限后落到v軸 上 的 點 為軌 線Γ3從v 軸 上 的出發經過第四象限后落到點(0,0).

命題2:設β ∈(0,c0),則有

證明:記方程

將 軌 線Γ2與 軌 線作 比 較.任 取v0∈將方程(4)兩邊乘以w, 然后在(0,v0)上積分,得

即

即

用同樣的方法比較軌線Γ3與軌線可得,在第四象限的公共范圍上, 軌線Γ3嚴格在軌線的上方,故

綜上可知,命題2的結論成立.

由命題1、命題2 及平衡點分析等, 可以畫出方程(2) 在β ∈(0,c0) 情 形 時 完 整 的 相 圖.當時,(θ,0)是焦點, 此時的相圖如圖1 所示; 當時,(θ,0)是結點,此時的相圖如圖2所示.

圖1 取非線性項f(u) = 8u(1- u)(u - 1/3)時方程(2)對應的相圖Fig.1 Phase diagram corresponding to the equation (2)with nonlinearity f(u) = 8u(1- u)(u - 1/3)

圖2 取非線性項f(u)=8u(1-u)(u-1/3)[81(u-1/3)2+1/9]時方程(2)對應的相圖Fig.2 Phase diagram corresponding to the equation (2)with nonlinearity f(u)=8u(1-u)(u-1/3)[81(u-1/3)2+1/9]

2.2 分類結果

則當β ∈(0,c0)時, 方程(1)的所有非負有界解有如下幾類:

3 結語

本文研究了雙穩情形下β∈(0,c0)時方程(1)各個非負有界平衡解,在這個過程中借助軌線和的軌線的特性，經過一系列分析后得到方程(2)各個軌線的位置關系, 進而畫出完整的相圖并進行平衡解分析.

而當β ∈[c0,∞)時,根據現有軌線的性質不易構造適合方程(2)的上下解并分析出它的軌線位置, 所以這個問題依然需要進行進一步的探索研究.