多險種雙二項比例再保險風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率

溫曉楠，董立偉，馮鑫鑫，王明偉

（1.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部，河北黃驊061100；2.北京交通大學(xué)海濱學(xué)院基礎(chǔ)部，河北黃驊061100）

經(jīng)典風(fēng)險模型描述的是單一險種的風(fēng)險過程[1-3]，但伴隨著保險公司業(yè)務(wù)種類的日益增多，經(jīng)典的風(fēng)險模型已經(jīng)不能很好地描述現(xiàn)實過程.文獻[4]將復(fù)合二項模型中保費的收取次數(shù)推廣為二項過程得到雙二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率；文獻[5]考慮了保險公司的投資利率和通貨膨脹率及不確定的收益和付款，得到帶干擾雙二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率及破產(chǎn)上界；文獻[6-9]考慮常利率因素和干擾項得到多險種二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率及上界；文獻[10-12]考慮了再保險策略下的復(fù)合泊松風(fēng)險模型的研究，得到其破產(chǎn)概率及破產(chǎn)上界.

由于保險公司可以通過再保險降低其破產(chǎn)概率，本文考慮了在通過膨脹和利率及多險種的影響下的二項比例再保險風(fēng)險模型，通過分析盈余過程的性質(zhì)，得到破產(chǎn)概率公式和破產(chǎn)概率上界的Lundberg不等式以及最優(yōu)自留比例系數(shù).

1 模型描述

設(shè)立再保險風(fēng)險模型為：

式中：{U ( n ),n ≥0} 為保險公司在時刻n 的盈余過程，u ≥0 為初始資金，i 為投資利率，j ≥0 為通貨膨脹率，為盈利過程，且

（Ⅰ）{Mk( n ),k=1,2,…,α} 是第k 類保單到n 時刻售出的保單數(shù)，服從參數(shù)為p1（kk=1,2,…,α）的二項隨機序列.{Nk( n ),k=1,2,…,α} 為第k 類保單到n 時刻理賠的保單數(shù)，服從參數(shù)為p2（kk=1,2,…,α）的二項隨機序列.

（Ⅱ）{Xkj,k=1,2,…α;j=1,2,…}為第k 種險種第j次收取的保費，{Ykj,k=1,2,…,α;j=1,2,…}為第k 種險種第j 次的理賠額，Xkj與Ykj是相互獨立的隨機序列，分布函數(shù)為Fi( x )，Gj( Y ).E[ Xkj]=μk，E[ Ykj]=其 中k=1,2,…,α;j=1,2,….

（Ⅲ）{W ( n ),n ≥0} 為離散的布朗運動，服從標(biāo)準(zhǔn)維納過程，表示不確定的收益和付款.E[ W( n)]=0，Var[ W( n )]=t.a(a ＞0)為 擾動 強度.并 假 設(shè){Xkj,k=1,2,…,α;j=1,2,…}、{Ykj,k=1,2,…,α;j=1,2,…}、{Mk( n ), k=1,2,…,α} 、{Nk( n ), k=1,2,…,α} 、{W ( n ),n ≥0} 相互獨立.

（Ⅳ）β 為再保險比例系數(shù)，( 1-β )為保險公司的自留比例.破產(chǎn)時刻T=inf{n |U( n )＜0,n ≥0}.破產(chǎn)概率ψ( u )=p{T ＜∞|U( n )=u}.

2 盈利過程的性質(zhì)

性質(zhì)1盈利過程{S ( n )|n ≥0} 具有獨立平穩(wěn)增量.

證明：由于二項過程和維納過程的平穩(wěn)獨立增量性及模型的獨立性假設(shè)即證.

性質(zhì)2盈利過程的期望與方差分別為：

其中：q1k=1-p1k, q2k=1-p2k,(k=1,2,…,α).

證明：

因為{Mk( n ),k=1,2,…,α} 、{Nk( n ),k=1,2,…,α} 、{W ( n ),n ≥0} 相互獨立，故：

3 破產(chǎn)概率

定理1對于盈利過程{S ( n )|n ≥0} ，存在函數(shù)g( r )，使 得E[ e-rS(n)]=eng(r).且 方 程g( r )=0 在( 0,χ)( χ ≤+∞)上存在唯一正根r=R，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明：

其中：MXk( -r )=E( erXk)為第k類險種保費收入Xkj的矩母函數(shù)，MYk( r )=E( erYk)為第k類險種理賠額Ykj的矩母函數(shù).

令

得

下證方程g( r )=0有唯一正根.

由施瓦茲不等式得g""( r )＞0，故曲線g( r )是凹曲線，g( r )=0方程至多有兩個解.

因為g( 0 )=0，故r=0是平凡解.又因g"( 0 )＜0，且當(dāng)r →+∞時，g( r )→+∞，所以方程g( r )=0 在( 0,+∞)存在唯一的正解R稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

定理2風(fēng)險模型（1）在{U ( n ),n ≥0} 下破產(chǎn)概率為

證明：由?n ＞0,r ＞0有

當(dāng)T ≤n時，令

由性質(zhì)1知{S ( t )|t ≥0} 具有平穩(wěn)的獨立的增量，所以U( n )=U( T )+S( n-T ).因此

令n →∞，有

現(xiàn)證當(dāng)n →∞時，E[ e-RU(n)|T ＞n ]P( T ＞n )的極限為0.令

則

由Chebyshev不等式，得

則當(dāng)n →∞時，P( 0≤U( n )≤Q( n ))的極限為0.

從而當(dāng)n →∞時，P( 0≤U( n )≤Q( n ))+e-RQ(n)的極限為0.

即證n →∞時，E[ e-RU(n)|T ＞n ]P( T ＞n )的極限為0.故

推論對于盈余過程{U ( n )}，最終破產(chǎn)概率ψ( u )滿足Lundberg不等式ψ( u )＜e-Ru(1+i-j).

證明：由于n →∞時，U( T )＜0，故

所以ψ( u )＜e-Ru(1+i-j).

4 最優(yōu)自留比例的確定

由于理賠過程為二項隨機過程，當(dāng)再保方式為比例再保險時，追求風(fēng)險最小、收益最大的自留水平，即是尋找合適的比例系數(shù)β，使得平均收益E[ U( n )]最大、風(fēng)險Var[ U( n )]最小.

假定Var[ U( n )]為定值A(chǔ)，可利用拉格朗日乘數(shù)法求解.拉格朗日函數(shù)為：

解得:

因此，當(dāng)風(fēng)險固定時，存在一個適當(dāng)?shù)淖粤舯壤?-β，使得平均收益最大.

5 結(jié)語

本文研究了多險種的二項風(fēng)險模型，考慮了通貨膨脹、隨機干擾等因素，進一步將再保險策略引入到模型中，并討論了該模型盈余過程的性質(zhì)與相關(guān)數(shù)字特征.通過分析盈余過程的性質(zhì)，利用鞅方法得到破產(chǎn)概率公式和破產(chǎn)概率上界的Lundberg 不等式.根據(jù)拉格朗日數(shù)乘法分析得到了最優(yōu)自留比例系數(shù).本文模型及分析論證或能對保險公司的風(fēng)險管理提供一定的理論指導(dǎo).