一個全平面上的Hilbert型不等式及應用

有名輝

（浙江機電職業技術學院數學教研室，浙江杭州310053）

其中p ≥1, θ(x)是? 上的非負可測函數.特別地, 若θ(x)=1, 簡記另外, 如無特別指出,文中假定

若f,g ≥0, f,g ∈L2(?+), 則有如下著名的含齊次核的Hilbert不等式[1]：

其中π是滿足式(1)的最佳常數因子.

在同樣的條件下, 還有經典的齊次核Hilbert 型不等式[1]：

以及

另外,楊必成[2]建立了式(2)類似的情形:

其中c0=0.915+為Catalan常數.

關于Hilbert 型不等式, 一般可以從離散型、半離散型以及積分型三種形態來研究.每一種形態又可研究其參數推廣、系數改進以及高維推廣等.與式(1)相關的研究可參見文獻[3-9],與式(2)相關的研究可參考文獻[10-13], 式(3)和式(4)的相關文獻有[14-18]等.本文主要通過構建一個新的混合核函數, 建立對應的Hilbert 型不等式, 并通過對參數賦值,得到一些新的特殊結果.

1 引理

引理1設γ ＞0,ρ≥0,-ρ＜β ＜1,且

并定義

則有

及

證明：作變量代換xy=u, 通過細致的計算, 當x ≠0時總有

而

同理可算得

把式(11)及式(12)代入式(9),并結合式(5),可得

把式(13)代入到式(8),得式(6).類似可得式(7).

引 理2設λ,ρ1,ρ2＞0, ρ1+ρ2=λ, φ(x)=cotx,n ∈N+,則

證明：對φ(x)=cotx 的如下部分分式展開（參見文獻[19]第397頁）：

關于x求2n-1階導數,可得

由此可知引理2成立.

引 理3設γ ＞0, ρ≥0, -ρ＜β ＜1, K(x,y)及C(β,ρ,γ)根據引理1 定義.ε 是充分小的正數,和定義為：

則當ε →0+時,有

證明：記

其中

令xy=u, 根據交換積分順序的Fubini 定理,可知:

類似地,令xy=-u,可得

結合式(18)、(19)和(20)三式, 利用式(13), 可得ε →0+時:

引理3獲證.

2 主要結果

定 理1設γ ＞0, ρ≥0, -ρ＜β ＜1, K(x,y)及C(β,ρ,γ)由引理1 定義, 且μ(x)= |x |p(1-β)-1, ν(y)=且則

其中2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ)是滿足式(21)的最佳常數因子.

證明：由H?lder不等式,結合引理1,可得

若式(22)可以取等號, 則應有不全為零的兩個實數θ與?,使得

在?×? 幾 乎 處 處 成 立, 即θ |x |p(1-β)fp(x)=? |y|q(1-β)gq(y)在?×? 幾乎處處成立.故存在常數ξ,使θ |x|p(1-β)fp(x)=ξ 及? |y|q(1-β)gq(y)=ξ 在? 幾乎處處成立.不妨假設θ ≠0, 則在? 幾乎處處成立, 這與f ∈Lpμ(?)矛盾.因此可知式(22)不取等號.

下面證明式(21)中的常數因子是最佳的.

假如這一常數因子不為最佳, 則存在0＜k ＜2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ), 使得式(21)中的常數因子變為k后式(21)仍然成立,即

中的f(x)和g(y),并利用引理3的結果,可得

故 當ε →0+時, 由 式(24)可 得2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ)≤k, 這顯然構成矛盾.所以式(21)中的常數因子是最佳值.

定理1證畢.

在定理1 中, 令y=Y-1,G(Y)=g(Y-1) | Y|ρ-3, 為記號統一美觀,再把Y寫成y,G(Y)寫成g(y),并記

則可得以下齊次型Hilbert型不等式.

定理2設γ ＞0, ρ≥0, -ρ＜β ＜1, C(β,ρ,γ)由引 理1 定 義,則

其中, 2Γ(γ+1)C(β,ρ,γ)是滿足式(25)的最佳常數因子.

在定理1 中, 令ρ=1, γ=2n-1, n ∈N+, 利用引理2的結論,可得下面推論.

推 論 3設 -1＜β ＜1, ψ(x)=tanx, μ(x)=且 f ∈則

類似地, 在定理2 中, 令ρ=1,γ=2n-1, n ∈N+,可得

推 論 4設 -1＜β ＜1, ψ(x)=tanx, μ(x)=f(x), g(x)≥0, 且 f ∈則

在定理1中,令ρ=2,β=0,則可得

推 論5設則

特別地,在式(1)中,令γ=1或γ=3,則有

推論6設則