羅素悖論與羅素定理

王海東

(天津市北方調查策劃事務所 300050)

一個幽靈在集合論中徘徊，這個幽靈就是羅素悖論.

羅素悖論可以用以下公式表示：

?y?x(x∈y?x?x)

從這個公式來看，羅素悖論來自于集合論的一個常用語句.這個常用語句就是用屬于符號∈構成的語句.由于集合論的所有表達式都離不開這個常用語句，所以集合論的所有表達式都會無一例外地受到羅素悖論的困擾.

有人認為，子集公理能夠從集合論中排除羅素悖論.

子集公理可以用以下公式表示：

?x?y?z(x∈y?x∈z∧p(x))

但是，即使有了子集公理，羅素悖論仍然無處不在.因為，我們可以從子集公理中推出：

?x?y?z(x∈y?x∈z∧p(x)?z∈p(x)?x∈p(x)?x?x)

由此可見，子集公理只是把羅素悖論從某個集合推給了另一個集合.如果可以這樣推下去，羅素悖論將會出現在所有集合之中.

那么，怎樣才能從集合論中排除羅素悖論呢？顯然，要想從集合論中排除羅素悖論，就必須找到羅素悖論在集合論中的形成條件.

那么，羅素悖論在集合論中的形成條件是什么呢？顯然，羅素悖論在集合論中的形成條件，就是集合論一直沒有解決集合定義問題.

有人認為，集合論不需要給出明確的集合定義.把集合視為一種可以任意定義的數學對象，就可以對號入座地解決各種各樣的集合論問題了.這種看法是一種不符合數學要求的錯誤看法.從數學發展史來看，任何一種數學理論都是以數學定義作為理論起點的.不能給出明確的數學定義，就不能建立起嚴密的數學理論.只有給出了明確的數學定義，才能建立起嚴密的數學理論.幾何學就是一個最好的先例.在幾何學中，幾何定義的理論地位高于幾何公理，幾何公理的理論地位又高于幾何定理.在給出了各種幾何定義之后，幾何學才會進一步給出各種幾何公理.在給出了各種幾何公理之后，幾何學才會進一步給出各種幾何定理.如果我們將集合論視為一種數學理論，我們就必須讓集合論遵循數學理論的發展規律.

更重要的是，如果我們所說的集合不是集合論所說的集合，而是人們在日常生活中所說的集合，那么這種集合也許不需要給出明確的定義.因為，人們在日常生活中所說的集合與人們的生活環境密切相關.人們可以通過各種不同的生活環境找到集合的明確定義.例如，一個學校的集合就是全校師生的集合，一支軍隊的集合就是全軍官兵的集合，以此類推.但是，如果我們所說的集合是集合論所說的集合，而不是人們在日常生活中所說的集合，那么這種集合就必須給出明確的定義了.因為，集合論所說的集合是一種具有數學抽象性的集合.這種具有數學抽象性的集合與人們的生活環境毫無關系.如果不把這種具有數學抽象性的集合用數學語言明確地表述出來，人們就可以隨心所欲地解釋這種具有數學抽象性的集合了.這樣一來，羅素悖論就會從集合論所說的集合中產生出來，集合論所說的集合就為羅素悖論提供了形成條件.

不過，我們也應該看到，雖然集合論一直沒有解決集合定義問題，但是集合論已經為解決這一問題奠定了良好的理論基礎.這個理論基礎就是代表任意集合的集合公式：

?A?a(a∈A|a=an,0≤n≤∞)

根據集合公式，我們可以把集合定義為一組具有相同數學性質的數學對象.根據集合定義，我們可以將元素定義為包含在某個集合之中的最小數學對象.根據元素定義，我們可以將子集定義為包含在某個集合之中并包含其若干元素的數學對象.根據子集定義，我們可以將空集定義為包含在某個集合之中但不包含其任何元素的數學對象.根據空集定義，我們可以將非空集合定義為包含某個集合的所有元素但不包含其空集的子集.

由此可見，只要給出了集合定義，我們就可以給出元素定義.只要給出了元素定義，我們就可以給出子集定義.只要給出了子集定義，我們就可以給出空集定義.只要給出了空集定義，我們就可以給出非空集合定義.由于這五個集合論定義具有極其密切的理論聯系，所以我們可以把這五個集合論定義稱為集合論定義系統.令D代表集合論定義系統，d1代表集合定義，d2代表元素定義，d3代表子集定義，d4代表空集定義，d5代表非空集合定義，我們可以用以下公式來證明集合論定義系統：

已知

d1→d2→d3→d4→d5

又知

d1∈D

d2∈D

d3∈D

d4∈D

d5∈D

因此

?D?d(d∈D|d=di,0

證畢.

我們不難發現：集合論定義系統為集合論公理系統提供了理論依據.只要給出了集合論定義系統，我們就可以從中推出集合論公理系統.令G代表集合論公理系統，g1代表外延公理，g2代表空集公理，g3代表子集公理，g4代表偶集公理，g5代表并集公理，g6代表冪集公理，g7代表正則公理，g8代表無窮公理，g9代表替換公理，g10代表選擇公理，我們可以用以下公式來證明這一發現：

已知

?D?d(d∈D|d=di,0

?G?g(g∈G|g=gj,0

又知

d1∈D→g4∧g5∧g8∈G

d2∈D→g1∧g9∈G

d3∈D→g3∧g6∈G

d4∈D→g2∈G

d5∈D→g7∧g10∈G

因此

?D?d(d∈D|d=di,0

證畢.

我們還會發現，集合論定義系統不僅為集合論公理系統提供了理論依據，而且為集合論公理系統提供了四個十分重要的集合論公理.這四個集合論公理就是包含公理、等于公理、包含等于公理和不屬于公理.包含公理是指：包含在某個集合之中的任何一種數學對象都屬于某個集合而不屬于自己.等于公理是指：任何一種等于某個集合的數學對象都屬于自己而不屬于某個集合.包含等于公理是指：除了兩個元素相同的集合，其他任何一種數學對象都不可能既包含在某個集合之中又等于某個集合.不屬于公理是指：與某個集合的元素有關卻又不屬于某個集合的數學對象屬于某個集合的空集.

包含公理可以用以下公式表示：

?y?x(x?y?x∈y?x?x)

等于公理可以用以下公式表示：

?y?x(x=y?x∈x?x?y)

包含等于公理可以用以下公式表示：

?y?x(x?y?x?y∨x=y?x∈y∨x?y)

不屬于公理可以用以下公式表示：

?x?y?z(x∈y,x∈z|z?y,z∈?,?∈y)

這樣一來，我們就找到了從集合論中排除羅素悖論的方法.這個方法就是：將包含公理、等于公理、包含等于公理和不屬于公理引進集合論公理系統.因為，在引進了這四個集合論公理之后，我們不僅可以將羅素悖論視為羅素定理，而且可以用以下方法來證明羅素定理：

已知

?y?x(x∈y?x?y)

又知

?y?x(x?y?x?x)

因此

?y?x(x∈y?x?x)

證畢.

綜上所述，不能從集合論中排除羅素悖論，說明不能用集合論證明羅素定理.不能用集合論證明羅素定理，說明集合論公理系統不完善.集合論公理系統不完善，說明集合論定義系統未建立.集合論定義系統未建立，說明集合定義問題沒解決.只有解決了集合定義問題，才能建立集合論定義系統.只有建立了集合論定義系統，才能完善集合論公理系統.只有完善了集合論公理系統，才能用集合論證明羅素定理.只有用集合論證明了羅素定理，才能從集合論中排除羅素悖論.