淺析新課改下高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧

陳大祥

(江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣畫(huà)川高級(jí)中學(xué) 225800)

新課改下，基本不等式不僅是高中數(shù)學(xué)具體教學(xué)的重點(diǎn)，而且還是高考命題人重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.通常而言，基本不等式有多種類(lèi)型，學(xué)生在具體解答的時(shí)候，就會(huì)容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，這就導(dǎo)致基本不等式逐漸受到命題人的青睞.對(duì)于基本不等式內(nèi)容而言，其主要是通過(guò)對(duì)函數(shù)的最值實(shí)施求解或?qū)嵤┳C明，并通過(guò)文字對(duì)齊實(shí)施表述，即兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或者等于其幾何平均數(shù).該部分內(nèi)容通常在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，且考試中的考查率極高.因此，在高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，教師需注重教材基礎(chǔ)知識(shí)的講解，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不等式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，充分掌握不等式的解題技巧，從而使學(xué)生的解題效率與正確率得到有效提高.

一、學(xué)生學(xué)習(xí)基本不等式的技巧

1.生活經(jīng)驗(yàn)融入數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中

高中生學(xué)習(xí)的多數(shù)文化知識(shí)是相通的，沒(méi)有哪門(mén)學(xué)科是單獨(dú)存在的.因此，高中數(shù)學(xué)中基本不等式和其他知識(shí)也是相通的.在學(xué)生剛剛接觸到基本不等式的時(shí)候，因?yàn)榛静坏仁酱嬗卸嘧冃砸约皬?fù)雜性等特點(diǎn)，就會(huì)使學(xué)生無(wú)法及時(shí)的弄清楚不等式的相關(guān)知識(shí)，并生成相應(yīng)的抵觸心理.基于此，教師需注重學(xué)生內(nèi)心的想法，并告誡學(xué)生基本不等式的題目并不難，需積極鼓勵(lì)學(xué)生，給予學(xué)生足夠的信心，積極應(yīng)對(duì)基本不等式在具體學(xué)習(xí)當(dāng)中出現(xiàn)的各種問(wèn)題.同時(shí)，學(xué)生還需注重將相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)融入到不等式問(wèn)題的解決中，如將基本不等式的相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成三角形的兩邊之和大于第三邊，且三角形兩邊之差小于第三邊實(shí)施思考.

2.注重了解基本不等式的解題方法

對(duì)于不等式問(wèn)題而言，由于其與等式問(wèn)題存有較大的區(qū)別，學(xué)生只具備相應(yīng)的計(jì)算能力，通常是無(wú)法解決基本不等式相關(guān)問(wèn)題的.基本不等式雖然具有多變性以及復(fù)雜性，但是，對(duì)其根源進(jìn)行追究，則能將其轉(zhuǎn)變成最為簡(jiǎn)單的基本不等式.學(xué)生在解題的時(shí)候，最重要的就是簡(jiǎn)化不等式，因?yàn)椴坏仁酵ǔ?huì)轉(zhuǎn)變成各種形式的問(wèn)題，此時(shí)，就需學(xué)生注重自身審題技巧的提升，并找出試題當(dāng)中隱藏的相關(guān)不等式，然后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)化之后的不等式實(shí)施解題，其解題方法通常包含換元法、反證法等相關(guān)解題方法，并依據(jù)學(xué)生的實(shí)際狀況，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)各種解題方法的掌握熟練度，從而使學(xué)生做到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).

3.學(xué)生理解力與邏輯思維力的培養(yǎng)

想要使學(xué)生學(xué)習(xí)好基本不等式的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生不僅需足夠的認(rèn)真仔細(xì)，而且還需具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)理解力以及邏輯思維力，由于基本不等式的相關(guān)問(wèn)題已經(jīng)無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算進(jìn)行解決，因此，學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)時(shí)，需注重其數(shù)學(xué)理解力以及邏輯思維力的強(qiáng)化，從而實(shí)現(xiàn)輕松解題的目的與效果.

二、新課改下高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧

1.反證解題技巧

在高中數(shù)學(xué)不等式解題中，反證的解題技巧已經(jīng)得到廣泛運(yùn)用.通常而言，該技巧是用在正難則反的狀況下，并在基本不等式的計(jì)算中，獲得顯著的效果.通過(guò)該解題技巧，不僅可以證明和基本不等式的有關(guān)問(wèn)題，而且還能使基本不等式的證明過(guò)程更簡(jiǎn)單、便捷，以此實(shí)現(xiàn)解題效率的有效提高.

例如，已知：a+b+c>0，且ad+bc+ac>0，根據(jù)已知的條件，求解出a、b、c均大于0.

解析在對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解前，需對(duì)試題實(shí)施詳細(xì)的分析，因?yàn)閍、b、c均大于0，那么，a、b、c三個(gè)數(shù)值就都不等于0，若a<0，且bc<0，那么，其能夠滿足條件a+b+c>0，同時(shí)，b+c>-a，最后所得的結(jié)果就是a(b+c)<0.需特別注意的是，根據(jù)題目的條件顯示，ad+bc+ac+a(b+c)+bc<0，獲得的該結(jié)果和題目條件之間相沖突，因此，上述的假設(shè)不成立，即a>0、b>0的同時(shí)，數(shù)值c也必須比0大，即完成證明.

2.性質(zhì)解題技巧

利用基本不等式進(jìn)行解題時(shí)，需注重對(duì)不等式的性質(zhì)進(jìn)行合理應(yīng)用.具體來(lái)說(shuō)，該解題方式就是最基礎(chǔ)的，并能夠應(yīng)用于各種類(lèi)型試題的解決中.如基本不等式具備傳遞性，即若a>b，且b>c，那么就表明a>c，除此之外，不等式還具有可加性特點(diǎn)，若a>b，則a+c>b+c，同理可知，在c>0時(shí)，有ac>bc，根據(jù)基本不等式具備的性質(zhì)進(jìn)行解題，不僅有助于學(xué)生迅速找到突破點(diǎn)，而且還能確保題目解答的正確率.

例如，已知，存有n個(gè)圓，且每個(gè)圓都會(huì)存有兩點(diǎn)相交，且每三個(gè)圓都不會(huì)相交于同一個(gè)點(diǎn).證明：n個(gè)圓能夠?qū)⑵矫娣譃閒(n)=n2-n+2個(gè)部分.

解析對(duì)公式f(n)=n2-n+2進(jìn)行證明時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納法進(jìn)行解決.即當(dāng)n=1的時(shí)候，f(1)=2，由此可知，n=1的時(shí)候，公式n2+n+2=2成立，因此，該命題是成立的.除此之外，教師也可引導(dǎo)學(xué)生將n設(shè)為k，且第k+1個(gè)圓的圓心以O(shè)進(jìn)行表示，并根據(jù)試題題目的條件實(shí)施反續(xù)證明.經(jīng)過(guò)上述的兩種方式對(duì)基本不等式的題目進(jìn)行解答，都能夠證明f(n)=n2-n+2是成立的，在解題中，都是對(duì)不等式的性質(zhì)進(jìn)行合理應(yīng)用，這不僅可以使基本不等式的題目難度得到有效降低，而且還能獲得正確的結(jié)果，從而使學(xué)生的解題效率得到顯著提高.

3.換元解題技巧

在對(duì)基本不等式進(jìn)行分析的過(guò)程中，可將其式子當(dāng)做整體，并對(duì)其中的變量實(shí)施替換，從而使基本不等式的問(wèn)題解答更便捷與簡(jiǎn)單.換元解題的方法，通常又被稱作為換元法，以此對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.該過(guò)程中，需注重構(gòu)建元、置換元等兩個(gè)要素.通常來(lái)說(shuō)，換元法主要是通過(guò)等量代換作為基礎(chǔ)的深入延伸，并對(duì)相關(guān)研究對(duì)象進(jìn)行變換，以此對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)移.除此之外，換元法通常還被稱作為輔助元素法，也就是在基本不等式當(dāng)中對(duì)全新變量進(jìn)行引入，以此對(duì)分散條件進(jìn)行綜合處理，并將其中隱藏的相關(guān)條件凸顯出來(lái)，或者是在具體解題的時(shí)候，將條件與結(jié)論相結(jié)合，以此形成學(xué)生所熟悉的結(jié)構(gòu)，以便于后期的解題.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)的不等式教學(xué)中，學(xué)生只有熟練掌握不等式的解題技巧，確保學(xué)生在解題時(shí)具有正確的解題思路以及邏輯思維，才能促使學(xué)生的解題效率得到有效提高，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)的提高，從而使高中生的數(shù)學(xué)素質(zhì)以及知識(shí)應(yīng)用能力得到有效提升.