淺談數學問題在數學教學中的應用

楊麗麗

(江蘇省揚州市高郵市臨澤中學 225600)

一、設置開放性問題，培養學生的數學思維

傳統的高中數學教育培養出來的學生的思維比較固化、單一.比如，用函數單調性判斷大小、用向量坐標法計算線面角、用正余弦定理來計算三角形的面積等等.但對于導數證明這種開放性的問題，大部分學生就無從下手了.這就是日常學習活動不注重培養開放性思維的后果.數學老師仔細研究課本，提出一些開放性的問題，能夠培養學生的開放性思維.

例如高中數學《等比數列》這一課的學習.老師先向學生們講述等比數列的概念和定義，做好本節課基礎知識的教學.隨后，數學老師結合高考考點給出幾道具體的題目，給學生們訓練，讓學生們內化本節課的基礎知識.這時，學生們接觸到了等比數列、通項公式、前n項和、首項、公比等數學概念.還接觸了和等比數列有關的數學公式.老師提出一個問題，“現在，我們對等比數列已經比較了解了，請同學們想一想，我們如何判斷一個數列是不是等比數列呢？”這就是一個開放性的問題，老師沒有給出學生具體的數字和題干，學生不需要通過計算，算出唯一的正確答案，而是表達自己的思想.不同學生的思考角度不同，給出的答案也不相同.

生1：我們已經知道等比數列的定義:.如果題目給出了一個具體的數列，我們看它是否符合定義中的內容，如果符合，我們認為這是一個等比數列，如果不符合，我們認為這不是一個等比數列.

生2：我們還學習了等比數列的通項公式.如果我們能把一個數列整理為等比數列的通項公式的形式，可以看出公比和首項，那它肯定是一個等比數列.如果不能整理出這種特殊的形式，那它就不是一個等比數列.

生3：我覺得化簡為通項公式的形式并不簡單，可能會用到很多運算的技巧.如果題目中給出了前n項和，我們可以非常容易的算出通項公式，這樣判斷也會容易一些.

生4：如果題目中給出的是選擇題或者是判斷題，讓我們來判斷數列是不是等比數列.我們也可以采用反證法.如果我能夠舉出一個例子，說明它不是等比數列，那我就不用利用數學公式和數學定理證明了.這樣的話也比較簡單.

師：我現在來總結一下學生們的答案.有定義法、通項公式法、前n項和法以及反證法.今后我們遇到這樣的題目，要學會多種方法并用.一種方法解決不了問題時，及時的使用另一種方法，不要給自己的解題過程增加困擾.

老師先設置開放性的問題，學生給出了開放性的回答，隨后老師對學生的回答進行點評和總結.這也是在幫助學生梳理思維，創造思維培養的空間.

二、設置趣味性問題，激發學生的學習興趣

當然，在實際教學中，有一些同學對數學問題不敏感.上課時有些老師會按照提出問題-分析問題-解決問題的過程來教授新知.下課時，同學們完成作業的過程也可以視為分析問題-解決問題的過程.所以，有些學生對數學問題并不“感冒”，沒有興趣解決數學問題.數學老師還應當設置一些趣味性的問題，激發學生的學習興趣.

例如高中數學《橢圓》這一節的教學.這節課的重點和難點是讓同學們理解并掌握橢圓的定義和橢圓的標準方程.老師在導入新課時，提出了一個和橢圓有關的趣味問題.“同學們，你們了不了解開普勒第一定律.開普勒第一定律是這樣說的：所有的行星都圍繞著太陽運動.所有行星圍繞太陽運動的軌跡都是橢圓.太陽處在所有橢圓的一個焦點上.而我們能不能在紙上畫出這一定理呢？如何在紙上畫出一個漂亮的橢圓呢？”想要畫出橢圓，就得了解橢圓的定義.平面內與兩個定點F1，F2的距離和等于常數的點的軌跡叫做橢圓.我們在畫的時候怎么樣才能夠保證平面上的點到定點F1、F2的距離的和不變呢？老師又向學生們介紹了一種橢圓的畫法.橢圓曲線可以用圖釘(每個焦點上各釘一個圖釘)、一段線和一支鉛筆把它畫出來.我們可以保證點到兩個焦點的距離之和是一個常數.學生紛紛開始驗證.學生的學習興趣非常濃厚.隨后，老師和學生一起開始了橢圓方程的推導.

數學老師在教學時先用物理上行星的運動引出橢圓的概念，讓學生們對橢圓產生興趣.接著，提出數學問題，讓學生們從物理故事又回到數學課本上，了解橢圓的定義.老師并沒有就此結束，而是窮追不舍，提出了一個動手操作的問題，再度的提升學生的興趣.學生會認為橢圓的性質和定理都非常的奇妙，和原先學過的幾何圖形不太一樣.這時，再進行數學公式的推導就會顯得非常容易.其實，數學知識本身就是有趣的.只是在同學們看來，他的表現形式是無趣的.很多數學知識都是由枯燥、乏味的數學公式和數學定理展現的.學生們一直和這些數學字母、數學符號打交道.長此以往，學生就認為數學是枯燥無聊的.老師借助一些有趣的故事，有趣的問題能夠讓學生們挖掘出定理和公式背后的趣味.目前，數學教學越來越注重突出學生的主體地位，越來越以學生為中心，越來越滿足學生的要求.所以，數學教學也要實現“樂學”的教學目標，讓學生樂于學習，樂于思考，有進步，樂于成長.

三、設置啟發性問題，活化學生的探究意識

有時，數學老師為了讓課堂變得更加生動，會開設一些探究活動.但總有一些小插曲的出現.比如，學生不按老師的探究流程走、學生的思維和老師的思維有出入.啟發性問題則能引導學生按部就班的完成老師的探究活動.老師可以設置一連串的啟發性問題，活化學生的探究意識，在探究活動中不“迷路”.

例如高中數學《合情推理與演繹推理》這一節的教學.演繹推理是證明數學結論，建立數學體系的重要思維過程.但是數學結論和證明過程的發現主要是靠合情推理.所以，學生們不僅要學會證明，也要學會猜想.本節課的重要教學目標是讓學生們掌握合情推理與演繹推理的概念和內容，并且找到合情推理和演繹推理的區別和聯系.在教學的初始，老師設置了一個和推理有關的探究活動.由于同學們對推理不太熟悉，所以老師和學生之間展開了較為激烈的互動.

師：在平面內，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.同學們認為這個結論是正確的嗎？

生：這個結論當然是正確的啦，是我們原先學過的定理.

師：那如果把它類比到空間中，我們能夠得到什么結論呢？

生：這該如何類比呢？

師：在平面中，我們經常研究線的問題.在空間里我們經常會研究什么問題呢？我們經常會研究面的問題.那我們就可以把這個結論中的線類比為空間中的面.請給出你的答案.

生：在空間里，若平面a⊥平面c，平面b⊥平面c，則平面a∥平面b.

師：請同學們拿出三張白紙.通過操作驗證你的結論.

同學們將一張白紙放在桌面上，當作平面a.移動剩余兩張白紙，更換平面b和平面c的位置，使其滿足“平面a⊥平面c，平面b⊥平面c”的位置關系，最后得出平面a和平面b的之間的關系.

這時，同學們清晰的認識到推理的嚴密性和合理性.在推理中要找到前提和結論.缺少條件，我們沒有辦法推理出結論.當我們從常見的結論出發，推理出一個新的結論時，我們要判斷它的正確性.因為這個新的結論沒有經過驗證，是單純的由我們自身得來的.經過這個鋪墊活動，學生們能更好的接受合情推理和演繹推理.老師能夠更好的完成本節課的教學目標.其實，同學們在腦海中想一想，并不能夠完成探究活動，還是要動手操作.動腦又動手.

問題本身就具有質疑因素.所以問題能夠培養學生的質疑能力，讓學生在數學課堂上更好的思考，完成課程學習活動.總而言之，問題在數學教學中的應用價值很大，值得老師仔細研究.老師應當探討問題拋出的時機，設計并且選擇合適的問題類型，運用并且展現問題的價值.