Heston模型在我國期權市場中的應用

陳 科，李硯涵

（廣州大學松田學院，廣東 廣州 510000）

1.引言

1973年，布萊克、斯科爾斯和莫頓提出了著名的Black-Scho les（Black-Scholes-Merton）期權定價模型。該模型中的參數包括標的資產價格，無風險利率，期權執行價格，到期期限和標的資產價格波動率，這些參數要么在市場中可直接觀測到，要么可以通過市場數據計算，這使得B-S公式在實際應用中得到了極大的推廣，而布萊克和斯科爾斯也因此獲得了1997年的諾貝爾獎。

B-S模型對期權定價有以下7個主要假設：一是股票價格服從對數正態分布，且均值μ、標準差σ均為常數；二是允許賣空；三是無交易成本；四是在期權的有效期內無分紅；五是沒有無風險套利機會；六是證券交易是連續的；七是對所有到期日的期權，無風險利率r為一相同的常數。正是由于這些嚴格的假定，使得B-S模型與實際的期權市場會存在著系統性的偏差，例如真實市場上股票價格并非B-S模型中所描述的對數正態分布，而是呈現出尖峰厚尾的特征。又如BSM 模型所要求的波動率為恒定的假設在實際的金融市場上并不成立，實際上是存在著波動率微笑曲線。

針對B-S期權定價模型的不足，研究者對該模型提出了各種改進，其中一類改進的方向就是不再假設標的資產的波動率為常數，而是對其波動率建立動態模型，也即隨機波動模型（SV模型），在眾多的SV模型中，Heston模型應存在閉形式解而優于其它模型，這也是本文選擇Heston模型對我國期權進行研究的原因。

關于股票價格和波動率的運動過程，Heston給出的模型如下：

其中，St表示t時刻股票價格；μ表示股票價格的均值；Vt表示t時刻股票價格的方差；是相關的布朗運動，相關系數是ρ。

Heston（1993）提出上述模型中歐式看漲期權的價格滿偏微分方程：

其中λ(St,Vt,t)被稱為波動率的價格，是一個不可觀測量，Heston假定λ(St,Vt,t)正比于波動率，即

其中λ為常數。

Heston指出（4）的解具有和BS模型類似的形式：

通過將（5）式代入（4）式，Heston解出P1和P2如下：

2.Heston模型

在上式中λ是波動率風險的市場價格，由于波動率并非實際市場上存在的可交易商品，故λ不易獲得。但可以通過等價鞅測度在風險中性世界消除λ。在風險中性測度Q下，標的資產的動態方程變為：

上式中CP為真實世界中的看漲期權價格，CQ為風險中性世界中的看漲期權價格，在其中為波動率風險市場價格為0。

3.Heston模型校準

Heston模型中包含多個未知參數需要進行估計，原Heston模型中有六個待估參數κ，θ，σ，Vt，ρ，λ。通過等價鞅測度Q的轉化，在風險中性世界中模型含5個參數κ*，θ*，σ，Vt，ρ。本文將在風險中性世界對模型的參數進行估計，此時所需要估計的參數集合本文的估計方法是要使得模型求解的期權價格和市場價格的誤差最小，也即要求解如下的非線性最小二乘問題：

對于（11）式的非線性最優化問題，本文將采用模擬退火算法進行求解。

4.Heston模型實證研究：基于50ETF指數期權

4.1 數據處理

本文采用上證50ETF指數歐式看漲期權在2020年10月27日的數據（數據來源：聚寬量化交易平臺），樣本包含了到期日為2020年11月25日和2020年12月23日的期權，其中2020年11月25日到期期權執行價格包含2.95、3、3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、3.6、3.7、3.8共10個點位，2020年12月23日到期期權執行價格包含2.55、2.6、2.65、2.7、2.75、2.8、2.85、2.9、2.95、3、3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、3.6、3.7、3.8、3.9 共 19 個點位，本文共選取了29個期權樣本數據。本文研究期間各大銀行存款年利率為1.5%，但市場上存在的各種無風險理財產品的年利率都在2%以上，所以本文選取無風險利率為2%。本文對各支期權選取的買價bid和賣價ask，分別為該期權在2020年10月27日這一天的tick級bid和ask數據的平均，而期權價格則取為bid和ask的平均值。為了數據的一致性，表的資產50ETF的價格也取為其在當天tick級數據的平均值，該平均值為3.344。

4.2 實驗結果

給定初始值 [κ*，θ*，σ，ρ，Vt]=[0.0462，0.999，0.248，0，0.0897]，在此初始取值下目標函數S(Ω)的取值為58.992。

通過模擬退火算法，迭代搜索目標函數S(Ω)的最小值，得到優化之后的解為

[κ*，θ*，σ，ρ，Vt]=[0.1389，0.3021，0.2027，0.5068，0.0404]

在這一組參數取值之下，目標函數S(Ω)的取值為1.5797.迭代優化的過程由下圖所示：

圖1 模擬退火算法參數優化過程

4.3 模型外推檢驗

為了驗證該模型的有效性，在參數 [κ*，θ*，σ，ρ，Vt]=[0.1389，0.3021，0.2027，0.5068，0.0404]下將該模型應用于2020年10月28日這一天的定價，該天標的資產50ETF的tick級數據平均值經計算取值為3.3545元，仍然選取上文所提到的29支期權，經模型計算并與實際的市場數據進行比較。結果如表1：

表1 檢驗結果

從上表可以看出除了個別期權之外，大多數期權的模型計算價格與實際的買價和賣價都很接近，另外重新計算了目標函數的值，S(Ω)此時的取值為1.3504，這也反映出該模型用優化后的參數所計算出來的值與實際值的吻合度較高。

5.結語

本文運用Heston模型對我國期權市場ETF50期權進行了研究，在Heston模型中包含5個位置參數：均值回復速度κ，長期方差θ，波動率方差σ，相關系數ρ，初始方差V，本文通過設置目標函數S(Ω)，然后以迭代尋憂的方式求得了該模型的最優參數，最優在該參數下對第二天的期權價格進行計算并與實際價格進行比較，發現在這一組參數下模型值與實際值吻合程度較好。

在求解模型中設置的目標函數S(Ω)是其參數的多元非線性函數，并且存在很多局部極小值，因而參數優化過程受到初始設置的很大影響，很有可能會收斂到局部極小值。如何利用人工智能進行全局最優化，將是進一步研究的方向。