正前角雙圓弧諧波傳動(dòng)柔輪滾刀設(shè)計(jì)與齒形誤差分析

王仕璞,宋朝省,朱才朝,楊勇,黎新子,廖德林

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,400044,重慶;2.深圳市大族精密傳動(dòng)科技有限公司,518057,廣東深圳)

與傳統(tǒng)漸開線齒形諧波減速器相比,雙圓弧齒形諧波減速器具有承載能力大、嚙合齒數(shù)多、扭轉(zhuǎn)剛度高、嚙合側(cè)隙小、傳動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)[1-3]。在工業(yè)機(jī)器人、醫(yī)療器械與航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[4-5]。柔輪齒廓的加工精度是影響諧波傳動(dòng)嚙合性能的重要因素,但企業(yè)在保證柔輪精度的同時(shí)需要提升柔輪的生產(chǎn)效率,降低生產(chǎn)成本。同零前角滾刀相比,正前角滾刀切削齒輪時(shí)可以減小切屑的變形,進(jìn)一步使得前刀面與切屑的摩擦減小,從而減少了切削力,降低了切削溫度,提高了表面光潔度以及加工生產(chǎn)率,增加了刀具使用壽命,降低了生產(chǎn)成本。但由于正前角雙圓弧諧波傳動(dòng)柔輪滾刀(DFHP)與傳統(tǒng)漸開線滾刀存在明顯差異,兩者嚙合方式也不盡相同,因而有必要建立DFHP法向齒形與前刀面的數(shù)學(xué)模型,并深入研究DFHP的設(shè)計(jì)方法與齒形誤差。由于傳統(tǒng)正前角滾刀加工誤差較大,因此提出了無理論誤差的DFHP設(shè)計(jì)方法。

諧波減速器關(guān)鍵部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其嚙合性能影響較大,Chen等提出了一種雙圓弧齒形設(shè)計(jì)方法并研究了其參數(shù)變化對(duì)諧波減速器嚙合間隙的影響,另外為研究輪齒對(duì)柔輪齒圈裝配應(yīng)力的影響,建立了包含實(shí)際齒廓的實(shí)體單元柔輪齒圈有限元模型,根據(jù)有限元分析結(jié)果,分析最大周向應(yīng)力隨齒根倒圓半徑的變化規(guī)律,獲得了最佳齒根倒圓半徑[6-7];董慧敏等為提高諧波傳動(dòng)的嚙合性能,提出一種基于輪齒瞬心線的成對(duì)雙圓弧齒形設(shè)計(jì)方法,避免了諧波傳動(dòng)齒頂干涉,不再需要圓弧擬合與齒形優(yōu)化[8];Li等建立了基于支撐函數(shù)的波發(fā)生器輪廓優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,并通過有限元方法分析了不同波發(fā)生器輪廓作用下,諧波減速器柔輪與波發(fā)生器的裝配應(yīng)力[9];姜歌東等針對(duì)剛輪凸圓弧段共軛齒廓不確定問題,提出了一種基于柔輪和剛輪齒形聯(lián)合共軛計(jì)算的雙圓弧齒形雙向共軛設(shè)計(jì)方法,能夠?qū)崿F(xiàn)多點(diǎn)嚙合,有利于減小嚙合力、降低齒面磨損,并提出了諧波減速器時(shí)變可靠度評(píng)估方法,能準(zhǔn)確預(yù)估諧波減速器疲勞失效壽命[10-11]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)諧波減速器柔輪加工制造進(jìn)行了相關(guān)研究。Iulian等提出了齒輪滾刀的參數(shù)化設(shè)計(jì)方法,將計(jì)算程序與構(gòu)建三維模型的CAD軟件集成,減少設(shè)計(jì)周期,提升了加工精度[12];Hu等采用漸開線鑲齒精切滾刀解決阿基米德齒形滾刀的加工誤差問題,提出了一種便于鑲齒精切滾刀的設(shè)計(jì)方法,降低了生產(chǎn)成本[13];Ray等通過優(yōu)化滾刀幾何結(jié)構(gòu),減小了加工出齒輪的齒根應(yīng)力[14];Yang等建立磨前滾刀刀齒齒廓理論方程,優(yōu)化工業(yè)滾刀相關(guān)參數(shù),建立滾刀三維模型,提高了齒輪加工的效率[15];Wu等推導(dǎo)了雙圓弧齒輪滾刀的參數(shù)方程,得到了無理論誤差滾刀法向齒形[16];張海龍等建立了DFHP齒面數(shù)學(xué)模型,采用包絡(luò)法求出加工出齒輪的齒形方程后與實(shí)際齒形進(jìn)行比較,驗(yàn)證結(jié)果的正確性[17];劉熙剛等建立了通過齒廓法線法求解剛、柔輪的共軛齒廓數(shù)學(xué)模型,通過Matlab軟件驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)齒形的可行性[18];陳鵬等根據(jù)滾刀齒形利用齒廓法線法和包絡(luò)法求解柔輪齒形并將所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值比較[19]。

綜上所述,針對(duì)漸開線滾刀、阿基米德滾刀的模型設(shè)計(jì),滾齒加工的相關(guān)研究已較為成熟,但是對(duì)于DFHP的研究多停留在滾刀理論齒形的推導(dǎo)計(jì)算上,而對(duì)DFHP等效齒形的齒形誤差和加工出柔輪的齒形誤差的變化規(guī)律研究較少;文獻(xiàn)[16]中Wu等雖然推導(dǎo)了無理論誤差滾刀法向齒形,但是對(duì)于DFHP來說仍不能用于實(shí)際加工,需要進(jìn)一步深入研究。

本文根據(jù)雙圓弧柔輪齒形,采用齒廓法線法推導(dǎo)出了DFHP法向齒廓,并通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求出了DFHP前刀面切削刃齒形,建立了DFHP加工仿真數(shù)學(xué)模型。分析了DFHP各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,通過CERO建立了DFHP刀齒三維實(shí)體模型。分析了滾刀前角和頂刃后角對(duì)DFHP等效齒形的齒形誤差及其加工出柔輪的齒形誤差的影響。為減小DFHP加工誤差,提出了無理論誤差的DFHP設(shè)計(jì)方法。

1 正前角雙圓弧柔輪滾刀齒面建模

1.1 正前角雙圓弧柔輪滾刀法向齒廓

滾刀加工柔輪的過程可視為齒條與齒輪嚙合[19],因此采用齒廓法線法求解正前角滾刀法向齒廓。在加工過程中,柔輪轉(zhuǎn)角為φ2、柔輪分度圓半徑為r2時(shí),滾刀齒條移動(dòng)的距離為r2φ2。根據(jù)嚙合原理柔輪與滾刀的嚙合方程為

(1)

圖1 柔輪加工坐標(biāo)系

雙圓弧柔輪各段齒廓如圖2所示。xcd、ycd分別為齒頂圓圓心橫、縱坐標(biāo);rcd為齒頂圓半徑;xtc、ytc分別為凸齒廓段圓心橫、縱坐標(biāo);rtc為凸齒廓段圓半徑;xgq、ygq分別為公切段圓心橫、縱坐標(biāo);rgq為公切段圓半徑;xac、yac分別為凹齒廓段圓心橫、縱坐標(biāo);rac為凹齒廓段圓半徑;xcg、ycg分別為齒根過渡段圓心橫、縱坐標(biāo);rcg為齒根過渡段半徑。

圖2 雙圓弧柔輪齒廓及局部坐標(biāo)系

齒頂圓弧段表達(dá)式為

(2)

式中:u為滾刀上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的滾刀弧長(zhǎng);β1為齒頂圓段圓心角;l1為齒頂圓總弧長(zhǎng)。

凸齒廓段表達(dá)式為

(3)

式中:l2為齒頂圓與凸齒廓段總弧長(zhǎng);β2為凸齒廓段圓心角。

公切段表達(dá)式為

(4)

式中:l3為齒頂圓弧段、凸齒廓段與公切段總弧長(zhǎng);β3為公切段圓心角。

凹齒廓段表達(dá)式為

(5)

式中:l4為齒頂圓弧段、凸齒廓段、公切段與凹齒廓段總弧長(zhǎng);β4為凹齒廓段圓心角。

齒根過渡段表達(dá)式為

(6)

式中:l5為齒頂圓弧段、凸齒廓段、公切段、凹齒廓段弧長(zhǎng)和齒根過渡段總弧長(zhǎng)。

設(shè)柔輪齒廓上任一點(diǎn)m2(x2,y2)處的切線與x2軸的夾角為

(7)

柔輪轉(zhuǎn)角為

(8)

坐標(biāo)系S2(x2o2y2)中柔輪齒面接觸點(diǎn)的位矢為

rrl=x2i2+y2j2

(9)

根據(jù)式(1)(9)可以求得柔輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的一系列接觸點(diǎn),接觸點(diǎn)在坐標(biāo)系S1(x1o1y1)中即為滾刀齒廓數(shù)值解

rg=m12·rrl

(10)

從柔輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到滾刀坐標(biāo)系的變換矩陣為

(11)

DFHP法向齒廓方程為

(12)

以某型號(hào)諧波柔輪為例,基本設(shè)計(jì)參數(shù)見表1。

表1 柔輪基本設(shè)計(jì)參數(shù)

采用Matlab編寫程序,柔輪理論齒廓如圖3所示,生成DFHP法向齒廓如圖4所示。

圖3 柔輪理論齒廓

圖4 DFHP法向齒廓

1.2 正前角雙圓弧柔輪滾刀前刀面齒形

將平面坐標(biāo)系S1(x1o1y1)擴(kuò)展為空間坐標(biāo)系S1(x1y1z1),DFHP軸向投影如圖5所示,在o1y1z1平面內(nèi)已知點(diǎn)坐標(biāo)(xa1,ya1,za1)和正前角大小γq,則直線AA1的方程為

圖5 DFHP軸向投影

(13)

已知∠Ao1B的角度θ,則直線o1B的方程為

(14)

設(shè)前刀面A-A1與任一軸截面o1-B相交于點(diǎn)Q1,則聯(lián)立式(13)(14)求解Q點(diǎn),坐標(biāo)(yQ,zQ)為

(15)

根據(jù)Q1點(diǎn)縱坐標(biāo)與任一截面o1B內(nèi)滾刀齒形方程,即可求得Q1點(diǎn)坐標(biāo)為

(16)

(17)

式中:Kb為滾刀任一截面o1-B內(nèi)滾刀的齒頂鏟背量。任一截面o1-B內(nèi)滾刀齒形如圖6所示。

圖6 截面o1-B內(nèi)滾刀齒形

2 正前角雙圓弧柔輪滾刀幾何參數(shù)設(shè)計(jì)

2.1 正前角雙圓弧柔輪滾刀前角

正前角滾刀切削齒輪時(shí)可以減少切屑變形及其流經(jīng)前刀面上的摩擦,從而減少切削力,降低切削溫度,提高表面光潔度和加工生產(chǎn)率以及改善刀具耐用度。對(duì)于正前角螺旋槽滾刀前刀面偏位值為e時(shí),滾刀齒頂處正前角γq[20]為

(18)

式中da0為滾刀外圓直徑。

則分度圓上滾刀前角[20]為

(19)

式中r0為滾刀分圓半徑。

2.2 正前角雙圓弧柔輪滾刀頂刃后角

滾刀經(jīng)齒頂鏟背形成頂刃后角。頂刃后角大小直接影響加工表面的質(zhì)量、刀具耐用度和生產(chǎn)率。當(dāng)滾刀齒頂鏟背量為K,滾刀頂刃后角αe求解公式[20]為

(20)

式中zg為滾刀齒數(shù)。

頂刃后角使刃磨后滾刀外徑隨螺旋線逐漸減小。如圖5所示,DFHP前刀面切削刃頂點(diǎn)A處外徑為da0,則刃磨后DFHP前刀面切削刃頂點(diǎn)處,外徑daq求解公式為

(21)

2.3 正前角雙圓弧柔輪滾刀側(cè)刃后角

阿基米德螺旋線滾刀壓力角恒定,通常阿基米德螺旋線滾刀側(cè)刃后角求解公式[20]為

tanαch=tanαesinαn

(22)

式中:αch為側(cè)刃后角;αn為壓力角。

DFHP法向齒形的壓力角變化較大,不能將其視為定值,因此將DFHP刀齒齒形分解為微元切削刃,每一個(gè)微元刃等效為壓力角恒定的阿基米德齒形滾刀。隨著微元刃齒形位置變化,等效滾刀的外圓直徑de1隨之變化,則等效滾刀所對(duì)應(yīng)的頂刃后角αe1為

(23)

等效滾刀側(cè)刃后角αch1為

tanαch1=tanαe1sinαn

(24)

DFHP壓力角與側(cè)刃后角隨滾刀弧長(zhǎng)的變化如圖7所示,壓力角αn最大值在齒頂過渡段與齒根過渡段,側(cè)刃后角αch1最大值出現(xiàn)在齒根過渡段。壓力角與側(cè)刃后角最小值在公切段與凹齒廓段的臨界交點(diǎn)處;壓力角與側(cè)刃后角在齒根過渡段增加得最快,在齒頂過渡段減小得最快,在公切段減小得最慢;壓力角與側(cè)刃后角在凹齒廓段的變化規(guī)律與在齒根過渡段內(nèi)的變化趨勢(shì)基本相同。

圖7 DFHP壓力角與側(cè)刃后角隨滾刀弧長(zhǎng)的變化

2.4 正前角雙圓弧柔輪滾刀齒形角

正前角滾刀齒形角為滾刀側(cè)鏟面的軸向齒形角。通常軸向齒形角反應(yīng)該處切線的斜率。軸向齒形角與滾刀壓力角、分度圓螺旋升角、鏟背量、前角等滾刀參數(shù)相關(guān)。工程上直槽滾刀運(yùn)用較為普遍,則根據(jù)螺旋槽滾刀算法,將螺旋槽滾刀的螺旋槽導(dǎo)程設(shè)為無窮大,可得滾刀齒形角求解方程[20]為

(25)

式中σ為滾刀分圓螺旋升角。

2.5 基于刃磨的正前角雙圓弧柔輪滾刀刀齒實(shí)體建模

齒輪滾刀相當(dāng)于蝸桿,只是在蝸桿上切出了容屑槽以形成切削刃,刀齒經(jīng)過鏟背形成了后角以及各個(gè)刀面,同時(shí)滾刀磨損后需要刃磨以提高滾刀使用壽命。滾刀刃磨后,新的前刀面移至任一刃磨后位置P,切削刃沿滾刀軸向移動(dòng)距離Δ,且滾刀外圓半徑減小,滾刀各個(gè)刀面的位置及刃磨后前刀面位置如圖8所示。當(dāng)滾刀刃磨量極小時(shí)可將滾刀刀齒離散為一系列微元前刀面,不同微元前刀面切削刃齒形相當(dāng)于變位系數(shù)逐漸減小的齒輪齒形。將微元前刀面按滾刀螺旋線排列合并可得到DFHP刀齒。DFHP刀齒模型如圖9所示。

圖8 DFHP各刀面及刃磨后前刀面位置分布

圖9 DFHP刀齒模型

3 正前角雙圓弧滾刀齒形誤差分析

DFHP繞自身軸線旋轉(zhuǎn)與柔輪不斷嚙合。分析DFHP齒形誤差,需將DFHP切削刃齒形旋轉(zhuǎn)投影至滾刀法截面內(nèi)作為等效齒形。首先將滾刀前刀面齒形投影至滾刀軸截面后,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換投影至滾刀法截面內(nèi)。為求出滾刀軸截面與法截面內(nèi)前刀面齒形轉(zhuǎn)換方程,建立滾刀基準(zhǔn)軸截面坐標(biāo)系Sz(xzyzzz),基準(zhǔn)法截面坐標(biāo)系Sf(xfyfzf),兩者縱坐標(biāo)軸均按照右手定則確定,如圖10所示。將DFHP切削刃上各點(diǎn)繞滾刀軸線旋轉(zhuǎn)投影至基準(zhǔn)軸截面,滾刀切削刃法截面投影坐標(biāo)方程為

(26)

圖10 滾刀法截面與軸截面坐標(biāo)系

式中:αz為軸截面與法截面夾角;(xf,yf,zf)為DFHP法截面投影坐標(biāo);(xz,yz,zz)為DFHP軸截面投影坐標(biāo)。

為研究正前角對(duì)DFHP齒形誤差的影響規(guī)律,取滾刀后角為10°,滾刀前角為3°、4°、5°、6°、7°,將DFHP等效齒形與理論齒形(γq=0°)進(jìn)行比較。不同前角的DFHP等效齒形如圖11a所示,DFHP等效齒形相對(duì)于理論齒形齒厚減小,齒高增加;不同正前角滾刀等效齒形頂點(diǎn)與滾刀理論齒形頂點(diǎn)重合;隨著滾刀弧長(zhǎng)增加,滾刀等效齒形與理論齒形差別增大。

(a)不同前角滾刀等效齒形

(b)不同前角滾刀齒形誤差圖11 正前角對(duì)DFHP齒形與齒形誤差的影響

DFHP等效齒形與理論滾刀齒形之間齒形的誤差稱為滾刀齒形誤差。不同正前角滾刀等效齒形的齒形誤差如圖11b所示,隨著弧長(zhǎng)增加,等效齒形的齒形誤差從0逐漸增加到最大值;隨正前角增大,滾刀前刀面齒形誤差逐漸增大;DFHP不同齒段齒形誤差對(duì)正前角大小變化敏感性不同,齒頂過渡段最小,齒根過渡段最大。

為研究滾刀正前角對(duì)柔輪齒形誤差的影響,根據(jù)嚙合方程,推導(dǎo)出不同前角滾刀加工出的柔輪齒形,并將柔輪齒形與理論柔輪齒形(γq=0°)之間的齒形誤差稱為柔輪齒形誤差,圖12給出了正前角對(duì)柔輪齒形與齒形誤差的影響。不同前角DFHP加工出的柔輪齒形相對(duì)于理論齒形齒厚窄、齒高大、節(jié)圓半徑小;隨著正前角增大,柔輪齒形誤差隨之逐漸增大;滾刀前角變化對(duì)柔輪不同齒段齒形誤差的影響不同:對(duì)柔輪齒頂圓弧影響較小,而對(duì)柔輪齒根圓弧影響最大。

(a)不同前角下柔輪齒形

(b)不同前角下柔輪齒形誤差圖12 正前角對(duì)柔輪齒形與齒形誤差的影響

圖13給出了頂刃后角對(duì)DFHP齒形與齒形誤差的影響,取滾刀前角為5°,滾刀后角為10°、12°和14°。不同后角DFHP等效齒形相對(duì)于理論齒形齒厚、節(jié)園半徑減小,齒高大;隨著頂刃后角增大,滾刀齒形誤差增大;頂刃后角僅改變DFHP齒形誤差的大小,不影響DFHP齒形誤差的變化規(guī)律。

(a)不同后角下滾刀等效齒形

(b)不同后角下滾刀齒形誤差圖13 頂刃后角對(duì)DFHP齒形與齒形誤差的影響

如圖14所示,不同后角DFHP加工出的柔輪齒形相對(duì)于理論齒形齒厚、節(jié)圓半徑小,齒高大;頂刃后角增大,柔輪齒形誤差隨之增大;不同后角的DFHP加工出的柔輪齒形誤差趨勢(shì)相同,皆是齒頂圓弧處最小,隨弧長(zhǎng)增加,凸齒廓段、公切線段、凹齒廓段和齒根過渡段的齒形誤差逐漸增大且變化速率逐漸增大;隨頂刃后角增大,柔輪齒形誤差越來越大;頂刃后角變化不改變?nèi)彷嘄X形誤差的變化趨勢(shì)。

(a)不同后角下柔輪齒形

(b)不同后角下柔輪齒形誤差圖14 頂刃后角對(duì)柔輪齒形與齒形誤差的影響

綜上,傳統(tǒng)正前角滾刀加工出柔輪實(shí)際齒形與理論齒形相比,在齒頂處沒有誤差,但隨著柔輪弧長(zhǎng)增加,柔輪齒形誤差逐漸增加至最大值。滾刀正前角和頂刃后角對(duì)DFHP等效齒形和柔輪的齒形誤差影響規(guī)律相似;滾刀正前角、頂刃后角越大,正前角滾刀齒形誤差越大,加工出柔輪齒形誤差越大。根據(jù)柔輪齒形推出滾刀理論齒形后,將滾刀理論齒形作為DFHP法向齒廓的滾刀設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)出的滾刀存在齒形誤差,滾刀加工出的柔輪同樣存在齒形誤差。因此為減小正前角滾刀導(dǎo)致的齒形誤差,本文提出新的DFHP齒形設(shè)計(jì)方法。

4 無理論誤差正前角雙圓弧柔輪滾刀前刀面齒形設(shè)計(jì)

為改進(jìn)以柔輪齒形推導(dǎo)出滾刀法向齒形的傳統(tǒng)DFHP設(shè)計(jì)方法,將由柔輪齒形推出的滾刀法向齒形作為DFHP的等效齒形,在滾刀空間坐標(biāo)系S1(x1y1z1)中,可推導(dǎo)出軸截面o1-A內(nèi)滾刀軸向理論齒形。軸向理論齒形在o1y1z1平面內(nèi)繞o1旋轉(zhuǎn),其與正前角前刀面AA1的交點(diǎn)Q(yQ,zQ)的表達(dá)式為

(27)

式中ygz為理論齒形上任一點(diǎn)縱坐標(biāo)。

由于整個(gè)理論齒形在平面o1y1z1內(nèi)旋轉(zhuǎn),不改變其齒形的橫坐標(biāo),因此將ygz代入理論齒形Gz的方程中可求得xQ,得到無誤差DFHP前刀面切削刃齒形。3°前角無理論誤差DFHP加工出柔輪實(shí)際齒形如圖15所示,加工出柔輪的齒形誤差如圖16所示,最大值為0.14 μm,遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)3°正前角滾刀加工出的柔輪齒形誤差,因此新的DFHP設(shè)計(jì)方法可以明顯改善滾刀加工時(shí)由正前角引起的柔輪齒形誤差。

圖16 無理論誤差DFHP加工出柔輪的齒形誤差分布

正前角滾刀切削齒輪時(shí)可以減小切屑的變形,從而減少了切削力,降低切削溫度,提高表面光潔度以及加工生產(chǎn)率,增加了刀具使用壽命,但傳統(tǒng)正前角滾刀加工誤差較大,不適用于精密加工。新的滾刀設(shè)計(jì)方法有效降低了正前角滾刀的加工誤差,這對(duì)于正前角滾刀應(yīng)用于精密加工具有重要意義。

5 結(jié) 論

為解決DFHP的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)復(fù)雜與加工誤差較大的問題,建立了DFHP刀齒三維模型,分析了滾刀前角與頂刃后角對(duì)DFHP等效齒形齒形誤差與柔輪齒形誤差的影響,提出了無理論誤差DFHP設(shè)計(jì)方法,得出以下結(jié)論。

(1)DFHP前角越大,偏位值越大;齒頂鏟背量越大,頂刃后角越大,刃磨后滾刀外徑減小地越快;DFHP側(cè)刃后角隨壓力角、側(cè)后角增大而增大,隨弧長(zhǎng)增加而變化;滾刀齒形角隨滾刀壓力角、滾刀分圓螺旋升角增大而增大。基于刃磨的DFHP刀齒幾何設(shè)計(jì)方法可準(zhǔn)確地建立DFHP刀齒三維模型。

(2)DFHP等效齒形與其對(duì)應(yīng)的柔輪齒形相對(duì)于各自的理論齒形均齒寬減小、齒高增大;DFHP等效齒形的齒形誤差、柔輪齒形誤差隨正前角、頂刃后角增加而增加;滾刀、柔輪不同齒段的齒形誤差對(duì)正前角、頂刃后角變化敏感性不同;采用無理論誤差的DFHP前刀面齒形設(shè)計(jì)方法可明顯降低正前角滾刀導(dǎo)致的柔輪齒形誤差。