談反證法在高中數學中的應用

朱 兵

(江蘇省徐州經濟技術開發區高級中學 221131)

用反證法證明命題是先假定“結論不成立”，并將其作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，就會推出矛盾，這個矛盾是通過與已知條件矛盾、與公理或定理矛盾的方式暴露出來的.這個矛盾是如何造成的呢？推理是沒有錯誤的，而且已知條件、公理或定理也沒有錯誤，那么唯一有錯誤的地方就是我們開始所作的假設.“結論不成立”與“結論成立”必然有一個正確.既然“結論不成立”有錯誤，就能肯定結論必然正確.

《普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-2)》第90頁對反證法有明確的定義.從數學思想方法的角度來看，反證法是一種化歸與整合的思想，體現了“正難則反”的化歸.下面從高中數學解題方法角度對反證法和其它方法進行對比研究.

A．都大于2 B．至少有一個大于2

C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2

點評(1)本題為開放性結論，可進行解法多樣性的訓練，既可用特殊值法，又可以用反證法進行求解.

(2)應用反證法解題的步驟為：

假設：作出與結論相反的假設；

推理：將假設作為條件，并由此通過邏輯推理推導出矛盾；

結論：根據矛盾，說明假設不成立，從而原命題成立.

求證：經過這個函數圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸.

整理,得a(x1-x2)=x1-x2.

因為x1≠x2,所以a=1，這與已知“a≠1”矛盾，所以假設不成立，原命題成立.

因為a≠1，所以kM1M2≠0.所以結論成立.

點評采用反證法，假設“平行”后得出矛盾，從而推翻假設.在數學問題中，“平行”的等價轉化方式很多，易于下手，例如可通過斜率相等、向量平行、坐標運算等角度轉化，但“不平行”的局限性比較多.

例3 設{an}是公比為q的等比數列．設q≠1，證明數列{an+1}不是等比數列．

解法1(反證法、特殊值法)假設{an+1}是等比數列，則a1+1,a2+1,a3+1成等比.

所以(a2+1)2=(a1+1)(a3+1).

所以(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1).

化簡，得q2-2q+1=0.

解得q=1，這與已知矛盾．所以假設不成立，即數列{an+1}不是等比數列.

解法2(反證法)假設{an+1}是等比數列，則對任意的k∈N+，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1).

因為a1≠0，所以2qk=qk-1+qk+1.

因為q≠0，所以q2-2q+1=0.

解得q=1，這與已知矛盾．

所以假設不成立，故{an+1}不是等比數列．

點評(1)解法1，2都應用了反證法，但是解法1利用特殊的三項推導出矛盾，而解法2利用一般的三項推導出矛盾，兩者相比較，解法1的計算要簡潔得多.

(2)反證法一般適用于下列情況：

直接證明較困難的命題；

需要分成很多種情況進行分類討論的命題；

結論中含有“至少”“至多”“唯一”“有無窮多個”等詞語的命題；

命題的結論為“否定形式”.

例4 求證：平面外一條直線與平面內一條直線平行，則這條直線與這個平面平行(線面平行的判定定理).

已知：如圖1,a?α,b?α,a∥b.

求證：a∥α.

證明直接證明只能用線面平行的定義，不太容易，所以用反證法.

假設直線a與平面α不平行，由a?α，則它必與平面α相交，設a∩α=P，按點P的位置分為兩種情況論述：

(1)若點P∈b，則a∩b=P，與已知a∥b矛盾；

(2)若P?b，根據異面直線的定義，則直線a,b異面，也與已知a∥b矛盾.

綜上所證，假設不成立.

所以原命題成立.

點評(1)對一些直接證明不容易的試題，可用反證法，例如本例中若直接證明，必須要證明直線與平面無公共點，這很難證明，所以用反證法更好.

(2)應用反證法解答時，要注意書寫必須規范，特別是開始必須寫出“假設……”.

(3)反證法推導出的矛盾一般有下列情形：

直接與假設矛盾；

與已知條件矛盾；

與數學定義矛盾；

與公理或定理矛盾；

推出結果自相矛盾.