基于變換光學的隱身衣設計

李恒一，張 權，王中平，趙 偉，鄭 虹，朱 玲，張增明

(中國科學技術大學 物理學院，安徽 合肥 230026)

2006年，Pendry等提出了變換光學理論，應用這一理論，可以精確控制電磁波傳輸的路徑[1].變換光學的理論是：利用麥克斯韋方程組在坐標變換下的形式不變性[2](只考慮電磁場關于空間的變換)，通過空間坐標變換來推導介質在現實物理空間上的介電常量和磁導率張量等參量，從而根據這些參量設計具有特殊功能的介質.變換光學建立了空間坐標變換與材料參量改變之間的對應關系，可將復雜的電磁計算問題轉換為較簡單的空間坐標變換問題，為人類控制電磁波的傳播特性提供了理論指導并拓展了新的研究思路.科研人員使用變換光學的方法設計了各種變換光學器件，比如隱身斗篷[3-4]、天線[5]、電磁集中器[6]、電磁波旋轉器[7]、透鏡[8]等，且很多變換光學器件在實驗上已得到了驗證[9-10].

本文介紹了麥克斯韋方程組在坐標變換下形式不變性，基于變換光學設計隱身衣的設計思路，并通過COMSOL Multiphysics仿真軟件仿真二維圓柱形、橢圓柱形、正方形的隱身衣.將變換光學的理論引入本科物理實驗，有利于激發本科生的科學研究興趣，培養學生的創新能力，提高科研技能等綜合實驗素質.此外，本文模擬仿真的實驗內容亦適用于作為遠程教學的課程，豐富教學模式.

1 麥克斯韋方程組在坐標變換下的協變性

麥克斯韋方程組在坐標變換下形式保持不變[11]，這里進行空間變換的區域是無源的，因此麥克斯韋方程組在原空間的表達形式為

×E-jωμH=0,×H+jωεE=0.

(1)

介電常量ε和磁導率μ是與位置坐標有關的函數，原直角坐標系的坐標是x(x1,x2)，新的扭曲坐標系的坐標是x′(x1′,x2′)，如圖1所示.麥克斯韋方程組在新坐標系下變為

(a)直角坐標系 (b)扭曲坐標系

′×E′-jωμ′H′=0,′×H′+jωε′E′=0,

(2)

其中

E′(x′)=(ΛT)-1E(x)，H′(x′)=(ΛT)-1H(x),

(3)

雅克比變換矩陣定義為

(4)

將式(2)進一步展開有

(5)

從而只需要證明

(6)

式(6)在正交坐標系是顯然成立的，而在一般的曲線坐標系中，亦可以通過張量相關知識進行證明.因此證明了麥克斯韋方程組在坐標變換下的形式不變性，并可以根據式(3)設計和計算變換介質的介電常量和磁導率.值得注意的是，以上情況成立的前提是物體的運動速度遠遠小于光速.

2 設計思路

變換光學的理論是：利用麥克斯韋方程組在三維坐標變換下保持形式不變性，通過空間坐標變換來推導介質在現實物理空間上的介電常量和磁導率張量等參量，從而根據這些介電參量設計出具有特殊功能的介質.該介質也因此稱作變換介質.下面以圓柱形隱身衣為例，進行變換介質的設計.

設計思想如圖2所示，原空間光線沿平直的自然空間直線傳播，(b)空間為設計的變換空間，其空間網格是變形扭曲的.在二維平面上看(z方向無限長)，(a)空間到(b)空間的變換是在拓撲上把原點脹開變成了小圓的周邊，把原本大圓的空間區域壓縮到圓環區域中.在原空間中光線沿著光程最短的直線傳播，在變換空間中光線則繞過了小圓的區域沿著曲線傳播.根據麥克斯韋方程組在坐標變換下的形式不變性，使用特殊設計的變換介質取代圓環區域中的空氣介質，可以在物理空間中模擬變換空間中的電磁波傳播，即電磁波在(c)空間中藍色變換介質內的傳播路徑完全等效于電磁波在對應(b)空間中圓環區域空氣介質內的傳播路徑.在實際物理空間(c)中觀察，圓環區域電磁波的傳播被變換介質彎曲，圓環內部的空間對電磁波而言就是隱形的，可以通過變換空間(b)與原空間(a)的坐標變換關系得到物理空間(c)中變換介質的介電常量和磁導率張量等參量，這就是變換光學的核心思想.

(a)原空間 (b)變換空間 (c)物理空間

3 不同形狀隱身衣的設計結果

3.1 二維圓柱形隱身衣

對二維圓柱形隱身衣而言，考慮任意的圓柱形物體，外面包裹1層隱身衣，此隱身衣的橫向截面圖就是內外半徑分別為a和b的圓環.沿z軸方向是恒等變換，可以在柱坐標系中定義如下空間變換：

(7)

計算出雅克比矩陣：

(8)

對應的介電常量和磁導率張量為

(9)

注意物理空間坐標是(r′,θ′).

對入射波是TE波的情況，只需要考慮μr,μθ,μz3個參量即可(TM波則只需要滿足εr,εθ,εz)，使用有限元數值模擬軟件COMSOL Multiphysics進行模擬計算.

模擬區域為16 μm×9 μm，設置外圓半徑b=4 μm,內圓半徑a=2 μm，計算區域四周的邊界都設置了1 μm厚的完美匹配層，在模擬區域的左側設置真空波長為365 nm的無限寬TE偏振的電磁波，電場幅值為Ez=1 V/m，在沒有損耗的理想情況下(所有材料的折射率虛部為0)，模擬結果如圖3所示.

(a)空氣中無限寬TM波的場強分布

由圖3(a)和圖3(b)可以看出，電磁波被隱身衣引導繞過了隱身衣罩住的中心區域，圖3(c)和圖3(d)對比表明：加入隱身衣后，小銅塊的散射完全消失了.值得注意的是，圓環內組成隱身衣的變換介質其介電常量和磁導率參量是張量形式，并且各分量的數值均不是常量，具體與所處位置的坐標有關，且此種形態的隱身衣，介電常量和磁導率的某些分量在隱身衣內邊界處的取值趨于無窮大，因此難以在實驗上真正實現.如果犧牲一定的隱身效果，則可以設計出實驗上能夠制作的隱身衣.

再回到式(7)，這是線性的壓縮變換，可以采用任意連續可微的函數來定義大圓區域到圓環區域內的映射，最終隱身衣內部的電場分布與映射函數有關，但均不影響隱身效果.以二次函數映射為例，令

計算相應介電常量和磁導率后，給出隱身衣的模擬結果如圖4所示.

圖4 二次函數映射的圓柱形隱身衣

相比線性映射，電磁波在隱身衣內邊界處被扭曲得更厲害，而在外表邊界則變化得更趨平緩，此結果與本文的設計思路是一致的.

3.2 橢圓柱形隱身衣

設橢圓柱隱身衣橢圓的長短軸之比為k，外橢圓短軸長為b，內橢圓短軸長為a.由幾何關系推導可以寫出其坐標變換為[11]

(10)

計算出相對介電常量(相對磁導率數值相同)的參量分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

其中,

注意實際物理空間的坐標是x′和y′.可見當k=1時，橢圓退化為正圓，此時介電常量和磁導率張量形式與圓柱形隱身衣的形式完全相同.

不考慮z坐標，在二維平面上考慮橢圓柱形隱身衣的空間變換關系，實質是將二維平面上的外橢圓的中心撕裂成內橢圓的周長，其坐標映射可以如文獻[12]經過幾何的關系推導出來，也同樣可以進行多次空間變換得到.

空間變換的過程是：

1)將二維平面內長軸為kb、短軸為b的橢圓沿短軸y軸方向拉伸k倍，變成半徑kb的圓，此時坐標轉換是(x,y,z)→(x′,y′,z′),其坐標變換關系是

x′=x,y′=ky,z′=z，

雅克比矩陣Λ1和相對介電常量張量ε1為(空氣的相對介電常量為ε0)

(15)

(16)

2)將直角坐標轉為極坐標，即(x′,y′,z′)→(r′,θ′,z′)，坐標轉換關系是：

雅克比矩陣Λ2和相對介電常量張量ε2為

(17)

(18)

3)類似于圓柱形隱身衣，將半徑為kb圓的圓心變換成半徑為ka的圓，即(r′,θ′,z′)→(r″,θ″,z″)，坐標轉換關系是

雅克比矩陣Λ3和相對介電常量張量ε3為

(19)

(20)

4)將極坐標轉為直角坐標，即(r″,θ″,z″)→(x″,y″,z″), 坐標轉換關系是

x″=r″cosθ″,y″=r″sinθ″，

雅克比矩陣Λ4和相對介電常量張量ε4為

(21)

(22)

5)將半徑ka和kb的圓環沿y″軸方向壓縮k倍，變成長軸分別為ka和kb，短軸分別為a和b的2個橢圓圍成的橢圓環區域，即(x″,y″,z″)→(x?,y?,z?)，坐標轉換關系是

此區域即為以介電常量ε5和磁導率μ5填充的變換介質區域.雅克比矩陣Λ5和相對介電常量張量ε5為

(23)

(24)

注意實際物理空間的坐標是x?,y?,z?.

得到變換介質的相對介電常量張量ε5(相對磁導率張量μ5數值上完全相等)，可見多次坐標變換可以得到正確的結果，與文獻[12]復雜的幾何推導相比，多次坐標變換的方法思路上更加容易被學生理解，計算上更加程序化，可以通過編程省去復雜的中間過程.

取a=2 μm,b=3 μm，k=1.5,橢圓柱形隱身衣的模擬結果如圖5所示.

圖5 橢圓柱形隱身衣的場強分布

3.3 正方形隱身衣

基于同樣的原理，選擇合適的坐標變換關系，可以制作正方形隱身衣.如圖6所示，將大的正方形區域變換到大小正方形之間的方形環狀區域中，拓撲上需要將原點撕裂為小正方形的四邊，大小正方形的邊長分別為b和a.可以把大正方形分割為4個大三角形，例如圖6中的三角形陰影區域.把所有陰影部分的坐標點一一映射到陰影部分內部的梯形區域中，坐標變換關系為

圖6 正方形隱身衣空間變換示意圖

進一步計算出梯形區域的相對介電常量和磁導率為

(25)

其中

對剩下的區域，構造類似的坐標變換關系，分別求出其介電常量和磁導率，得到4個梯形組合形成的方形環狀變換介質的介電常量和磁導率，其張量表達式中的變量x′和y′是實際物理空間的直角坐標.模擬結果如圖7所示，其中圖7(a)是正方形隱身衣，正方形邊長分別為a=3 μm,b=6 μm,圖7(b)是通過類似方法設計的長方形隱身衣，長方形長邊長是短邊長的1.5倍.

(a)正方形

4 結束語

介紹了變換光學的理論，給出基于變換光學設計隱身衣的設計思路.通過空間坐標變換，推導了二維圓柱形、橢圓柱形、正方形隱身衣的變換介質在實現物理空間上的介電常量和磁導率張量公式，并通過COMSOL Multiphysics仿真軟件給出了隱身仿真結果.基于變換光學的隱身衣仿真設計可作為本科生物理實驗教學內容，學生可通過軟件設計模擬隱身衣仿真效果.該實驗有助于培養學生的創新意識，提高思考能力，有助于學生了解前沿的科學知識.