一種加加速度連續的加減速算法研究

李明，游有鵬，楊雪峰

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

為實現數控裝備的平穩控制，運動加減速控制得到廣泛而持久的重視，國內外學者相繼提出了多種加減速規劃算法。梯形加減速因其實現簡單被最早提出和廣泛使用，但存在剛性沖擊，只能用于運動平穩性要求不高的場合[1]；指數加減速離散形式適合于遞推計算，但精度不足，且加減速起點沖擊較大；ERKORKMAZ K提出了S形加減速規劃方法[2]，可以實現加速度連續但存在柔性沖擊。穆海華等[3]提出了用于點位控制的初末速度為0的S形加減速控制方法；劉志峰和楊亮亮等[4-5]使用牛頓迭代法和智能算法求解各階段時間，OS ORNIORIOS R A等[6-7]提出用于離散系統的多項式加減速控制方法。郭新貴等[8]基于三角函數提出了正弦加減速，其各階加速度均連續，擁有最優越的加減速柔度，但是正弦函數計算復雜，不易在資源有限的嵌入式系統中滿足實時計算要求；李加文等[9]提出采用函數逼近的方法改造三角函數加減速，加快了計算速度，但是逼近函數導致了加加速度不連續，不適合高速高精場合。近年來，關于加加速度連續的加減速研究也在持續進行。李志杰等[10]提出了加加速度連續的S形加減速算法；翁祖昊等[11]提出了基于五次多項式的變Jmax加減速算法；趙翔宇等[12]提出了三次S曲線加減速算法。但是這些都不可避免地帶來了巨大計算量，不利于實際應用。

在三角函數加減速優良特性的啟發下，本文設計出一種采用多項式替代三角函數構造加加速度方程，并結合S加減速的特點給出七段式的完整加減速規劃，最后通過仿真驗證本方法運動控制的平滑性。

1 連續的加加速度方程

為了得到平穩而高效的加減速規劃，本文加減速設計方案從以下幾個方面考慮：位移、速度、加速度滿足邊界條件；位移、速度、加速度、加加速度曲線形狀理想，沒有沖擊；加減速時間盡可能短；算法應盡量簡潔，復雜度可以滿足實時性要求。

因此，本節首先利用多項式逼近正弦函數，構造連續可導的加加速度方程，在此基礎上通過積分得到各物理量方程，從而得到運動平穩而計算相對簡單的完整加減速算法。

1.1 三角函數的多項式逼近

三角函數加減速擁有優越的柔性度，但是計算復雜，不易在算力有限的嵌入式系統中滿足實時計算要求。其加加速度函數如下

(1)

其中：T為加速度加速時間，函數在t=T/2處取得最大加加速度Jmax。

令

(2)

代入式(2)得到

j(x)=-Jmaxsin(πx)

(3)

對f(x)=sin(πx)進行切比雪夫多項式逼近，階數取4，得到

(4)

為滿足邊界條件，將系數圓整后得到如下形式：

(5)

將式(2)代入可以得到

(6)

1.2 連續的加加速度方程

為了使加加速度曲線具有對稱性，將式(6)關于t=T/2對稱后得到

(7)

將式(6)與式(7)相加后得到對稱形式的加加速度方程如下：

(8)

其中k為待定系數，滿足在區間[0,T]內j(t)≤Jmax，并在t=T/2處取得最大值Jmax，可以解得系數|k|=4Jmax。由多項式表示的加加速度方程具有二階連續可導的特點，計算上又比正弦函數更加簡單。時間t滿足t=iTs，i∈(1,2,…,n)，Ts為控制周期，n為T/Ts的最大整數。

2 加加速度連續的加減速算法

類似S形加減速的七段控制特點，本文加加速度方程j(t)如下：

(9)

其中k1、k3、k5、k7為加加速度方程系數，|k1|=|k3|=|k5|=|k7|=4·Jmax。積分后得到式(10)-式(12)。

a(t)=

(10)

(11)

(12)

其中：Vs、Ve分別為初、末速度；A、D分別為所達到的最大加速度和最大減速度；Vc為勻速運動時的速度，在數控系統中一般等于最大進給速度；T1-T7分別代表加減速過程中各階段時間。

連續加加速度的加減速規劃的各階段曲線如圖1所示。其中，前3個階段為加速階段，第1階段加加速度為正值，此時加速度在增加，系統處于正向加速狀態；第2階段，加加速度為0，加速度不變，系統處于勻加速運動狀態；第3階段，加加速度為負值，此時加速度在減小，系統處于減加速狀態。其次是勻速階段，此時系統按照速度Vc勻速運動。最后是減速的3個階段t4-t7，其與加速過程的前3個階段正好相反。

圖1 加加速度連續的加減速規劃曲線

3 仿真分析

根據本文加減速規劃進行運動控制時，還需要根據實際情況進行控制計算，即基于給定的系統參數和初末速度以及運動行程，求解本加減速規劃的各個階段時間T1-T7。本文設計了如下加減速控制仿真實驗，最大加加速度Jmax= 50000mm/s3，最大允許加速度為2000mm/s2,進給速度150mm/s，在給定初速度Vs、末速度Ve以及路程S的情況下，實際運動過程的5種情況如下：

1) 能夠達到末速度Ve且可達到最大進給速度F、最大加速度Amax；

2) 能夠達到末速度Ve、最大加速度Amax，但沒有達到最大進給速度F；

3) 能夠達到末速度Ve，但沒有達到最大加速度Amax和最大進給速度F；

4) 剛好達到末速度Ve，末速度即為最大速度Vmax；

仿真結果見表1。

表1 5種情況仿真實驗數據

圖2 情況1的速度曲線

圖3 情況2的速度曲線

圖4 情況3的速度曲線

圖5 情況4的速度曲線

圖6 情況5的速度曲線

為了比較本文加減速和正弦加減速的性能優劣，設計了對比試驗如下，系數參數：最大加加速度Jmax=50000mm/s3，最大允許加速度為2000mm/s2,進給速度150mm/s。仿真曲線如圖7所示。

圖7 本文加減速與正弦加減速曲線對比

從圖7可以看出，在由同一初速度加速到進給速度的過程中，本文加減速和正弦加減速兩者均可獲得加加速度連續的平滑加減速，而本文方法加速到給定速度所需的加速時間更短，具有更高的加減速效率。另外，在計算機領域，正弦函數的計算復雜度高于O(n10)，遠高于本文加減速位移方程的最大復雜度O(n5)，因而在實際計算中，后者更適用于實時性要求較高的數控系統。

4 結語

本文在切比雪夫多項式的基礎上，通過修正處理得到了曲線對稱且連續的加加速度方程；通過積分得到了加速度、速度、位移方程，進而得到七段式的新型加減速算法。仿真結果表明，在不同初始參數下，本加減速都可以實現平滑控制。本文算法與正弦加減速的對比實驗表明，兩者均可獲得加加速度連續的平滑加減速，而本加減速效率更高，且計算大幅簡化。