頻率依賴性黏彈性復合板動力學特性計算方法

殷嘯宇，齊鳴瑞

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

循環載荷引發的疲勞失效是航空發動機壓氣機葉片產生故障失效的主要原因[1]。為了有效抑制航空發動機壓氣機葉片的振動，國內外許多學者對壓氣機葉片的減振方法進行了大量的研究[2-3]。最為有效的方法是在壓氣機葉片表面涂覆一層或多層阻尼材料[4-5]，其中黏彈性阻尼材料減振效果好而且價格低廉，是一種經濟有效的減振手段。

將黏彈性阻尼材料應用于阻尼復合結構，結構的固有頻率與損耗因子是結構動力特性和減振耗能性能的兩個重要指標，國內外學者對此展開了廣泛且深入的討論[6-7]。RAO D K[8]首先提出了在復雜邊界條件下復合夾層梁的頻率階損耗因子的理論求解方法；RIKARDS R[9]等采取復模量模型對材料特性進行描述；任志剛等[10]在考慮黏彈性材料彈性模量頻率依賴性的基礎上采用復模量模型對材料進行擬合，并提出用迭代的經典模態應變能法與迭代的復特征值法求解復合結構固有頻率與模態損耗因子；孫偉等[11]采用特征向量增值法對復特征值法進行了改進計算；伍先俊[12]基于模態應能法給出了求解復雜結構阻尼的有限元計算方法；鄒萬杰等[13]采用一般積分形式黏彈性阻尼器微積分方程組建立了結構運動方程，并使用模態應變能法將其解耦，進而采用傳遞矩陣法進行求解，獲得了結構響應解析表達式。

綜上，對于考慮頻率依賴性的黏彈性復合結構，可使用復特征值迭代法進行動力學特性的計算，但計算量較大。也可采用模態應變能迭代法，模態應變能迭代法雖不如復特征值迭代法精確，但在滿足工程應用的誤差允許范圍內，具有更高的計算效率。本文將涂覆黏彈性涂層的壓氣機葉片簡化為考慮頻率依賴性的黏彈性復合板，基于經典模態應變能法提出了一種修正的模態應變能法，推導出考慮頻率依賴性的黏彈性復合板的求解算法，即一種基于修正模態應變能法的迭代求解方法，對具有頻率依賴性的黏彈性復合板進行了動力學特性分析。

1 修正模態應變能法原理

由模態應變能法得出了一種使用實特征向量求解阻尼系統損耗因子的近似方法，極大地提高了運算效率并且其運算過程可以很容易地通過大型商業有限元軟件實現。然而對經典模態應變能法的計算公式進行分析后不難發現，經典模態應變能法采用無阻尼系統實特征向量替代阻尼系統復特征向量，這是由于沒有將剛度矩陣的虛部考慮進去，即沒有考慮阻尼剛度矩陣[KI]，這樣會在一定程度上導致誤差的出現。本文推導了一種修正的模態應變能法，其核心思想是通過加權阻尼剛度矩陣對無阻尼系統的模態振型進行修正，修正后的特征方程為：

(1)

其中β為修正系數，其計算方法如下：

(2)

采用修正模態應變能法時，其結構模態損耗因子定義為

(3)

由于修正模態應變能法將結構復剛度矩陣的虛部貢獻考慮在內，因此可提高結構阻尼預估的準確性。HU B[14]針對該方法與經典模態應變能法進行了誤差分析，分析結果顯示該修正方法具有更小的誤差。

2 修正模態應變能法計算方法

基于修正模態應變能法的計算流程主要包含5個關鍵步驟：無阻尼振型的求解、修正系數的計算、原始損耗因子的計算、修正振型的求解和修正損耗因子的求解，具體流程圖如表1、表2所示。

圖1 修正模態應變能法的計算流程

為了對比修正模態應變能法與經典模態應變能法計算結果的差別，以不考慮頻率依賴性的黏彈性復合板為研究對象，黏彈性復合板參數如表1和表2所示。

表1 方形板幾何參數與材料參數

表2 黏彈性涂層幾何參數與材料參數

依次設置方形板的材料損耗因子為0.0001、0.001、0.01、0.1，分別使用經典模態應變能法與修正模態應變能法進行1階模態損耗因子的計算，并將兩種計算方法的誤差進行對比(圖2)。

圖2 兩種計算方法誤差率

圖中誤差率定義為(計算結果-精確解)/精確解。精確解定義為復特征值法的1階固有頻率計算結果。根據圖2可知，使用修正模態應變能法的誤差率低于經典模態應變能法。

3 修正模態應變能迭代法計算方法

黏彈性材料的材料屬性在不同頻率下具有不同的數值，即存在頻率依賴性，因此無法在整個分析過程中指定一個確定的彈性模量與材料損耗因子。對于這種情況，可使用迭代法逐步計算各階固有頻率[15]，并且通過實驗驗證了該方法的有效性。由于黏彈性層的厚度相對于彈性層略小，為減少計算量，先計算無頻率依賴性復合結構的各階固有頻率，并以此作為求解考慮頻率依賴性復合結構各階固有頻率的基礎。這里使用黏彈性材料的靜態模量作為無頻率依賴性的材料彈性模量，迭代法求解固有頻率的具體計算流程如下，流程圖如圖3所示。

1) 求解無頻率依賴性結構的固有頻率，即設置材料參數為ω=0對應的彈性模量值；

2) 使用無頻率依賴性的結構第r階頻率計算具有頻率依賴性結構的黏彈性材料層的儲能模量；

3) 使用ωi,j-1對應的黏彈性層材料參數計算當前結構的第r階固有頻率ωr,j；

5) 輸出滿足收斂性的第r階固有頻率ωr，計算結束。

圖3 迭代法求解固有頻率計算流程圖

根據上述固有頻率的計算步驟，可得考慮頻率依賴性的復合結構各階固有頻率，再根據各階固有頻率確定各階模態對應的黏彈性材料的彈性模量。因此可將問題簡化為計算常值彈性模量的結構損耗因子問題，進而應用前文提出的修正模態應變能法進行求解。該求解過程主要由以下幾個步驟組成(圖4)。

1) 計算第r階模態下，黏彈性材料的彈性模量Ev(ωr)；

2) 計算該階模態振型φ，計算修正系數β以及修正振型φ；

3) 計算損耗因子ηr。

圖4 修正模態應變能迭代法計算流程圖

4 計算算例

考慮頻率依賴性的黏彈性復合板的參數如表1和表2所示，分別使用復特征值迭代法和修正模態應變能迭代法計算其動力學特性。

固有頻率計算結果如表3所示，表中誤差定義為：(復特征值迭代法計算結果-修正模態應變能迭代法計算結果)/復特征值迭代法計算結果×100%。各階振型計算結果如表4所示。

表3 復特征值迭代法與修正模態應變能迭代法固有頻率計算結果

表4 復特征值迭代法與修正模態應變能迭代法振型計算結果

修正模態應變能迭代法計算誤差隨階次增大逐漸增大，第6階誤差最大為1.56%。

使用修正模態應變能迭代法與復特征值迭代法計算的前12階模態損耗因子如表5所示，表中誤差定義為：(復特征值迭代法計算結果-修正模態應變能迭代法計算結果)/復特征值迭代法計算結果×100%。

表5 復特征值迭代法與修正模態應變能迭代法模態損耗因子計算結果

兩種方法計算的黏彈性復合板的結構損耗因子都在第6階出現峰值，此時誤差為0.39%。

5 結語

本文首先對比了經典模態應變能法和修正模態應變能法對無頻率依賴性黏彈性復合板結構損耗因子的計算結果，之后使用修正模態應變能迭代法和復特征值迭代法計算頻率依賴性黏彈性復合板的動力學特性，得出以下結論：

1) 修正模態應變能法考慮了復剛度矩陣的虛部貢獻量，從算例計算結果來看相對于經典模態應變能法精確度更高，且計算量小于復特征值法。

2) 修正模態應變能迭代法計算的固有頻率誤差會隨著階次增大逐漸增大。從振型來看，由于復特征值迭代法計算得出的振型為復振型，不同時刻節線的位置會變化，但是其振型與修正模態應變能迭代法計算結果基本一致。

3) 修正模態應變能迭代法在結構損耗因子峰值附近計算結果最準確，在遠離峰值處計算誤差較大。

綜上，考慮到復特征值迭代法需要求出無阻尼復合結構的全模態特征向量，對于自由度較多的結構，其計算量較大，而修正模態應變能迭代法計算精度較高，且相對于復特征值迭代法能夠提高計算效率。