二元Barycentric-Newton混合有理插值

李 霜，陳豫眉

(1.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637009；2.西華師范大學(xué)公共數(shù)學(xué)學(xué)院，四川南充 637009； 3.西華師范大學(xué)計算方法及應(yīng)用軟件研究所，四川南充 637009)

0 引言

在自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域中存在著許多非線性問題，需要尋找便于處理和計算的函數(shù)去逼近非線性問題，常用的一種方法是插值法.多項式插值是數(shù)值逼近的基礎(chǔ)，具有結(jié)構(gòu)簡單、構(gòu)造容易等特點，如:Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等.有理函數(shù)作為非線性逼近的典型之一，具有靈活性強、收斂速度快、逼近效果好等優(yōu)點.連分式因具有很好的遞推性質(zhì)，常用于構(gòu)造有理插值函數(shù).其中被廣泛使用的是基于連分式與多項式插值通過適當(dāng)嵌套而構(gòu)造的有理插值函數(shù)[1-6].但基于連分式的二元有理插值構(gòu)造法也存在著缺點：計算量大，次數(shù)高，無法避免極點，數(shù)值穩(wěn)定性不好等.1984年，C.Schneider和W.Werner基于更高次的有理插值函數(shù)首次提出了重心插值[7]，其計算量小，且可避免極點，克服了連分式插值的部分缺點.M.S.Floater 和 K.Hormann運用混合函數(shù)的插值方法構(gòu)造了廣義重心有理插值[8]

(1)

其中

hi(x)(i=0,1,…,n-d)為過插值點xi,xi+1,…,xi+d且次數(shù)不超過d的多項式.對(1)式分子分母同乘(-1)n-d(x-x0)…(x-xn)，則(1)式為：

其中

這種廣義重心有理插值能有效地避免產(chǎn)生極點，較之重心插值有更高的逼近精度且逼近速度更快.文獻[9-10]分別基于重心有理插值與連分式、重心有理插值與Newton多項式，構(gòu)造了二元有理插值格式.文獻[11]基于重心有理插值與兩類連分式構(gòu)造了有理插值格式.文獻[12]基于廣義重心有理插值與連分式構(gòu)造了有理插值函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，文獻[13]將廣義重心插值與連分式、Newton多項式結(jié)合，構(gòu)造了二元混合有理插值格式.本文將廣義重心有理插值與Newton多項式相結(jié)合，構(gòu)造出一種新的混合有理插值，該方法繼承了廣義重心有理插值與多項式的優(yōu)點.

1 二元Barycentric-Newton混合有理插值

給定矩形網(wǎng)格點

和函數(shù)值f(xi,yj)，構(gòu)造如下格式的二元有理插值函數(shù)：

(2)

任意選定整數(shù)d，0dm,其中

(3)

(4)

(5)

為滿足插值條件r(xs,yt)=f(xs,yt),(s=0,1,…,m;t=0,1,…,n),引入以下偏逆差商.

定義1

(6)

(7)

(8)

稱(6)式-(8)式確定的φ[xp,…xq;yr,…,ys]為f(x,y)在給定矩形網(wǎng)格上的偏逆差商.

定理1對s=0,1,…,m;t=0,1,…n，令

則由(2)式定義的r(x,y)滿足插值條件

r(xs,yt)=f(xs,yt),(s=0,1,…,m;t=0,1,…,n).

證明由(5)式可得：

=φ[xi,…,xs;y0]+(yt-y0)φ[xi,…,xs;y0,y1]+…+(yt-y0)…(yt-yt-1)φ[xi,…,xs;y0,y1,…,yt]

=φ[xi,…,xs;y0]+(yt-y0)φ[xi,…,xs;y0,y1]+…+(yt-y0)…(yt-yt-2)φ[xi,…,xs;y0,…,yt-2,yt]

=φ[xi,…,xs;y0]+(yt-y0)φ[xi,…,xs;y0,yt]=φ[xi,…,xs;yt]

記

I={0,1,…,n-d},J={i∈I|s-dis}

由(3)式可知: 當(dāng)i∈I/J,ui(xs)=0,當(dāng)s-did，有

2 誤差估計

f(x,y)∈C(m+n+2)，有

其中

證明設(shè)E(x,y)=f(x,y)Qm,n(x,y)-Pm,n(x,y)，由r(xi,yj)=f(xi,yj)得

E(xi,yj)=0,(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)

于是

E[x0,…,xi;y0,…,yj]=0,(i=0,1,…,m;j=0,1,…n.)

其中E[x0,…,xi;y0,…,yj](i=0,1,…,m;j=0,1,…n.)表示E(x,y)在定義的矩形網(wǎng)格上的Newton差商.

將E(x,y)用Newton插值公式展開可得

從而

3 數(shù)值算例

(i,j=0,1,2).

解利用逆差商的遞推算法(6)-(8)式，列表計算見表2-表5：

表2 計算結(jié)果Tab.2 The calculation results

表3 計算結(jié)果Tab .3 The calculation results

表4 計算結(jié)果Tab.4 The calculation results

表5 計算結(jié)果Tab.5 The calculation results

由(5)式得：

u0(x)=x2-x=2-x,u1(x)=x-x0=x.

由(2)式可得

從而

容易驗證r(x,y)滿足所給的插值條件.

采用本文的方法得到的插值函數(shù)為

分別繪制f(x,y),R(x,y),r(x,y)的圖像，見圖1-圖3.

圖1 原函數(shù)f(x,y)Fig.1 The function f(x,y)圖2 插值函數(shù)R(x,y)Fig.2 The interpolation function R(x,y)圖3 插值函數(shù)r(x,y)Fig.3 The interpolationfunction r(x,y)

從圖1-圖3可以看出，本文方法得到的插值函數(shù)r(x,y)光滑性好，無奇異點，比R(x,y)逼近速度更快，逼近的精度更高,可見此算法的正確性與高效性.