初中數學數形結合思想在教學中的應用與實踐

洪海文

【摘要】近年來，隨著中考數學科的不斷改革，數形結合思想題型已被廣泛應用到初中數學中考考試中。為了適應中考數學考試，并有效利用數形結合思想，教師使用數形結合思想開展教學活動，使學生從中掌握解題策略，可以將復雜的數學知識變得更加具體形象，便于學生透徹地理解所學知識，在應對中考數學試題時能更加得心應手。本文對初中數學數形結合思想在教學中的應用與實踐作了探討。

【關鍵詞】數形結合思想;解題策略;得心應手

數學相對于其它學科來說，有著一定的邏輯性以及復雜性。數與形作為數學教學中的重點內容，通過數形之間的轉換，能夠使學生的解題過程變得更加輕松，提高學生學習興趣。數形結合思想，對于初中數學教學有著十分重要的作用。因此，初中數學教師在開展教學活動時，須不斷提高自身的知識技能，豐富課堂教學的內容，將數形結合思想靈活地應用到課堂教學中，提高學生的解題能力，鞏固學生的數學基礎，增強解題意識，促使數學教學活動有效展開。

一、初中數學數形結合思想基本含義

“數”與“形”是數學領域兩大研究主題，“數”就是數量關系，準確、可操作、易于掌握，“形”則是空間形式，生動、直觀、易于理解。數形結合可以把二者進行轉化統一，從而結合二者的優勢，達到認識數學本質的效果。在初中數學課堂中運用數形結合思想方法進行教學，不僅能讓學生理解數學知識的本質和內涵，還能提高課堂效率、優化教學方法。數形結合對初中數學教學而言，就是將數學中使用圖像或者圖形的方法，充分展現在學生的眼前，便于學生更好地理解數學知識以及數學的理念，從而體現出數學思想的實際應用意義。

二、數變形，直觀發現數的關系

由于數與形本來就存在一種對應關系，把“數”轉換成“形”，利用圖形解決有關數量的問題。數變形的意義在于：一是將抽象的數量關系轉化為幾何直觀，可以避開復雜的計算或推理;二是通過直觀的幾何圖形幫助學生理解和闡述抽象、難懂的代數關系，從而簡化問題解決的過程;三是優化教師的教學過程，加深學生的理解，提高學習效率。下面以一道例題來說明如何在教學中實現數變形。

例如，求|x-5|的最小值。分析：對于剛學習完絕對值知識的學生而言，解這道題不是很難。這時，我們應引導學生將其與已經學過的知識建立聯系。首先，提問：|x-5|有最小值嗎？最小值是啥？學生回答：|x-5|的最小值是0。此時，x=5。老師：是的，絕對值運算的結果都是非負數，這是什么原因？學生回答：絕對值代表的是一段距離，是兩點之間的距離，如：|-5|就是-5到原點的距離是5，|m|就是m到原點的距離，那么|x-5|可以看成兩點之間距離嗎？是哪兩點之間距離呢？可以看成x到5的最短距離呢？應該是0.這是我們從幾何角度對|x-5|的最小值進行分析。下面我們進一步討論|x-5|+|x+8|的最小值。|x-5|+|x+8|的最小值就是|x-5|的最小值與|x+8|的最小值之和，也就是x到5的距離與x到-8的距離之和。這時我們可以借助數軸，在它上面找到5，-8的位置，記為A、B兩點。由于x可以看成一個動點C，可以在數軸上取任意一點，當在數軸上標出5和-8的位置時，觀察在x變化過程中，動點C落在哪個位置時式子|x-5|+|x+8|的值最小。此時，可讓學生之間交流討論，根據數軸分析A、B兩個定點及動點C，發現當點C落在A、B之間任意位置時，點C到A、B的距離之和都等于點A與點B之間的距離13，但當動點C落在點A的左邊和點B的右邊位置時，點C到點A、B的距離之和都大于13，因此：|x-3|+|x+8|的最小值就是5與-8的距離13.解題過程中最重要的一步，便是將絕對值的運算變成幾何方面的問題，借助圖形研究數量把數變形，體現數形結合思想。

三、應用數形結合思想解決概念問題

教師應引導學生深入了解數學概念，培養學生良好的解題思路，使學生遇到相關的概念問題時，能夠應用數形結合思想進行解題，從而增強學生的解題效率，使學生樹立起學習信心。例如，在學習人教版初中數學七年級下冊《平行線與相交線》這一內容時，教師應要學生掌握公理：垂線段最短。教師若只是使用文字為學生講解，學生很難理解這一數學概念，多數學生會采取死記硬背的方式進行記憶，一定程度上影響著學習效果。而教師運用數形結合的方式進行講解與驗證，例如直角三角形的直角邊總是比斜邊短，就是應用“垂線段最短”這一概念。將教學內容更加生動形象具體地展現出來，鞏固學生基礎數學知識，增強學生的應用能力以及理解能力。

四、應用數形結合思想解決代數問題

學生在進行練習及考試時，時常會遇到十分復雜的代數問題，若學生花費大量的時間進行計算，會影響著學生的解題效率。因此，教師應引導學生應用數形結合思想進行解題，當遇到相關數學難題時，將其轉化為幾何圖形，更加輕松得出問題的答案。例如，在學習人教版初中數學九年級下冊《反比例函數》這一內容時，其中有一道例題：P是反比例函數y=2/x，在第一象限分支中的一個動點，PA垂直于x軸，PB垂直于y軸，垂足分別為A、B。并隨著x不斷變大，請問四邊形APBO的面積會發生怎樣的變化？這是一道典型的例題，教師可以引導學生應用數形結合思想，將其轉化為具體的幾何形象進行解題。最終得知四邊形APBO是矩形，它的面積并不會隨P點的變化發生改變，接下來進行驗證發現面積都等于2，從而得出答案。

五、應用數形結合思想解決函數問題

教師在講解數學函數知識時，可以將數形結合思想應用其中，當學生遇到較為復雜的圖形時，引導學生聯系已學知識，充分利用已知條件，并探尋出題目所包含的隱含條件，最終輕易破解數學難題。例如，在學習人教版初中數學九年級上冊《二次函數》這一內容時，在解決習題二次函數y=x2-bx+c的圖像與x軸相交于A（1，0）C，交y軸于點B，對稱軸是x=2。（1）求拋物線的解析式。（2）點P是拋物線對稱軸上一個動點，是否存在點P，使三角形PAB的周長最小？如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由。教師可以引導學生將數形結合思想運用到解題過程中，將圖形與代數方法有機整合，轉換它們之間的關系，尋找出最佳的解題思路，從而使學生的解題過程更加通暢。

六、應用數形結合思想拓展教學內容

在教學的過程中，對數學重難點的知識內容，可以通過使用數形結合的教學思想，提高實際的教學效果，并突出數學教學課堂中的主要部分，讓學生正確掌握數學知識內容。例如，在講解人教版初中數學八年級下冊《勾股定理》這一內容時，教師可以通過多媒體教學的方法，將證明勾股定理的“趙爽弦圖”通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，它充分體現我國古代數學的驕傲，同時被選為2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽。這樣使學生充分了解到勾股定理的數學知識內容及形成。通過這一數形結合的方法，不僅可以提高學生對數學知識的理解，還將數學知識靈活應用到實際生活中，從而解決更多的數學問題。

七、數學教師需要重視思想方法引導

教師在實際教學的過程中，需要將數形結合的思想充分運用在課堂教學中，讓學生逐漸習慣數形結合的思想，最終理解、吸收數形結合思想的相關內容，尤其是在數學教學的初始階段，教師需要重視引導學生的學習方法，使學生充分掌握數形結合的思想方法。例如，一種進價為40元的衣服，若銷售單價為60元，則每周可賣出300件為了提高利益，需對該衣服進行漲價銷售，經過調查發現，當每件漲價1元時，每周要少賣出10件。請確定該衣服漲價后每周的銷售利潤y元與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并求出銷售單價定為多少元時，每周銷售利潤最大。利用數形結和思想在日常生活中的實踐，才能充分體現出它的價值。

綜上所述，初中數學教師將數形結合思想應用到教學活動中，不但能提高數學課堂教學質量，還能夠讓學生掌握所學知識，大幅度提升學生的學習效率。同時，教師應遵循以人為本這一理念，根據學生的不同特點，合理制定數形結合思想應用的深度，選擇符合學生學習內容，使學生的數學解題能力得到提高。另外，教師應該循序漸進地滲透數形結合思想，根據學生的實際學習情況，適當調整數學教學的內容，最終提高學生的數學水平，為學生今后的數學學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]張瑞.數形結合思想在初中數學教學中的滲透與應用[J].中國校外教育，2020（02）：79-80.

[2]楊延偉.數形結合思想在初中數學中的應用研究[J].中學生數理化（教與學），2020（01）：79.