電機定子鐵芯振動特性分析的一種解析方法

屈仁浩，蔣偉康

(上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240)

電機作為電動汽車的主要噪聲源之一，近年來逐漸成為電機設計中的研發熱點。電機噪聲的主要噪聲源是定子，主要由氣隙中的電磁力激發定子振動以及定子的磁致伸縮振動產生[1]。目前研究最多的是定子的電磁振動噪聲，降噪設計的主要手段是準確分析定子鐵芯的振動特性，優化結構參數，使其固有頻率遠離電磁激勵力頻率，避免共振。

目前電機定子鐵芯的振動特性分析普遍采用有限元法[2]。Boesing等[3]使用磁固耦合有限元模型，將電磁力施加到定子齒面上，計算了定子的振動響應。鄧文哲等[4]通過模態試驗測定電機的模態參數，再通過有限元建立等效模型，研究了外部連接對定子固有頻率的影響。韓偉等[5]建立了疊片鐵芯的有限元模型，研究了疊片結構對固有頻率計算的影響。有限元模型雖然計算精確，適用范圍廣，但計算時間長且不易修改，而在電機的減振設計和優化階段，需要大量的模型修改與測試[6]，使用有限元法的效率會大打折扣。

解析計算方法只需要實體的簡化模型，修改也十分方便[7]。使用解析模型可以快速計算出電機振動的頻率范圍，并給出電機噪聲和結構參數的數學關系，讓設計者能實時修改優化方案并快速得到反饋，從而提高設計效率。陳永校等建立了電機定子的雙環解析模型計算固有頻率，Islam等[8]使用環模型分析了永磁同步電機定子鐵芯的振動模態，并對其施加二維電磁激勵力，計算了振動響應。環模型計算雖然簡單，但不能分析定子的軸向模態，因此，目前對于定子鐵芯的研究，使用較多的解析模型是殼模型。Shen等[9]將定子鐵芯等效為圓柱薄殼，使用解析法計算了電磁力與定子鐵芯的振動響應；邱家俊等[10]建立了水輪發電機定子系統的雙薄殼模型，并采用梁函數來表達不同的邊界求解定子系統的固有頻率。殼模型的計算雖然已經成熟，但由于忽略了定子齒部的影響，誤差較大。Singal等[11]采用殼模型計算了短定子鐵芯的固有頻率，經試驗驗證：前7階固有頻率誤差為15%。

為了能夠在電機初步設計階段，快速便捷地預測定子振動噪聲特性，或進行低噪聲電機定子的優化設計，本文建立了一種能快速準確計算定子鐵芯振動特性的解析模型，提出了一種可以考慮定子齒變形的厚殼-梁耦合簡化模型；推導了耦合模型的能量變分方程，使用Rayleigh-Ritz法計算了定子鐵芯的固有頻率與振型。與有限元方法進行對比驗證，所提解析算法計算準確，且無需建模與網格劃分，效率更高。仿真結果還表明，定子齒對鐵芯振動特性的影響不能忽略。

1 定子鐵芯的簡化模型

由于解析模型只適用于簡單的板、殼或梁結構，因此首先需要對定子模型進行簡化。本文提出了一種厚殼-梁耦合簡化模型。去除定子表面的凹槽與齒上的圓角等細節，定子鐵芯的簡化模型與相應坐標系如圖1所示。由于定子軛厚與半徑比值較大，使用薄殼理論建模會有較大的誤差，厚殼模型更加合理。軛上分布著若干齒，定子齒采用計入扭轉變形的梁模型進行建模，以表達齒的彎曲和扭轉剛度。由于齒寬度遠小于定子周長，因此可以假設厚殼模型和梁模型間為線接觸[12]，接觸線為P，本文建立的解析方法均基于此簡化模型。

圖1 定子鐵芯簡化模型與坐標系

2 定子鐵芯的變形方程

2.1 定子軛的變形方程

對圖1所示的圓柱厚殼，曲線坐標1,2,3分別對應殼中面坐標系下的xs,θs,zs方向，該坐標系下圓柱厚殼的應變表達式為：

(1)

式中：R是殼中面半徑。在式(1)的基礎上，引入零剪切應變等假設便可得到薄殼的方程，若不對式(1)進行假設，則是適用于厚殼的一般殼體力學方程。

殼體內的應力分布通過材料剛度矩陣與應變表達，由于定子是疊片結構，軸向與周向、徑向的機械特性不同，因此應使用正交各相異性結構的本構關系：

(2a)

(2b)

式中:σi,i=xs,θs,zs表示正應力，τij,i,j=xs,θs,zs表示剪切應力，Cij是各相正交異性材料剛度矩陣中的元素，各項的表達為：

Cii=ηEi(1-νjkνkj),

Cij=ηEj(νij+νikνkj),

(3)

采用Mindlin板中的一階剪切變形理論，如圖2所示，變形后的殼面法線保持直線但不再垂直于殼面[13]，而會產生轉角φxs。假設殼中面軸向、切向和徑向的變形分別為us,vs,ws，則厚殼中任意一點的變形可以表示為：

圖2 一階剪切變形理論

uxs=us(xs,θs,t)+zs·φxs(xs,θs,t)，

uθs=vs(xs,θs,t)+zs·φθs(xs,θs,t)，

uzs=ws(xs,θs,t)+zs·φzs(xs,θs,t)

(4)

式中：t表示時間項，φxs,φθs分別表示厚殼截面變形后在xszs面和θszs面內的斜率，即變形時的轉角，而φzs則表示厚殼在zs方向變形的變化率。

2.2 定子齒的變形方程

為了能計入定子齒的剛度與變形，定子齒必須單獨建模。由于電機中的電磁力主要是徑向和切向分量[14]，因此本文主要研究定子齒在徑向的彎曲變形以及繞軸向扭轉變形。采用歐拉梁理論進行建模，同時計入梁的扭轉變形。在圖1所示的直角坐標系xb,yb,zb下，齒的變形方程為：

uyb=vb+zb·φyb，

uzb=wb

(5)

式中:ui,i=xb,yb,zb表示梁上任意一點沿xb,yb,zb三個方向的變形分量；而ub,vb,wb則分別表示梁軸線的變形分量，φyb表示繞xb軸的扭轉角。根據彈性力學理論，梁的彎曲應變εxb與扭轉應變εφb分別為：

(6)

3 定子鐵芯的振動方程

3.1 定子軛和齒的能量

根據結構力學的能量理論，圓柱殼在變形時產生的彈性勢能為[15]：

Πs=?Vπs(uxs,uθs,uzs)(R+zs)dzsdθsdxs,

(7)

式中，πs是單位體積的應變能。

將式(1)～(4)代入式(7),可以得殼體應變能關于中面變形表達式式(8)。

(8)

為將3維問題簡化為2維，式(8)已在厚度方向zs上積分，hs表示殼體的厚度，coi,i=1,2,3是在厚度方向積分時產生的系數項，分別為：

(9)

圓柱厚殼變形在體積Vs上產生的總動能為式(10)：

(10)

式中：同樣是對厚度方向積分后的結果，ρs表示定子材料的密度，點號表示對時間求導。

同理，根據歐拉理論，可以寫出定子齒的彈性勢能Πb與動能Tb的表達式：

(11)

式中：Eb,Gb分別表示梁的拉伸和剪切模量，Vb表示梁的體積。

3.2 定子軛與齒耦合

由于定子軛與齒能量的推導分別在柱坐標系xs,θs,zs與直角坐標系xb,yb,zb下，為了研究定子整體的能量，必須統一坐標系。電機振動時定子的輻射噪聲主要是圓柱面振動產生，因此，可將圖1中圓柱坐標系x,θ,r作為整體坐標系，將定子鐵芯的變形在整體坐標系下進行表達。

由圖1可知，整體坐標系的x坐標與xs,xb均相同，表示定子軸向；θ坐標與θs相同，表示定子周向。圖1中定子軛和齒的耦合直線P的局部坐標分別為θs=θP,zs=-hs/2；和zb=hb/2,yb=0。在此直線P上，由位移連續條件，梁和殼體的位移相等，且繞x軸的扭轉角相同。耦合條件可以表達為：

(12)

式中：上標b,s分別表示梁和殼的局部坐標系，u表示直線變形，φ表示扭轉變形。將式(4)、式(5)以及P的坐標代入式(12)，可以推導出定子齒變形與厚殼變形的關系表達式為：

(13)

將式(13)代入式(11)，可以得到定子齒在整體柱坐標系x,θ,r下的的彈性勢能和動能為：

(14)

(15)

式中:Jb表示矩形截面梁的扭轉剛度，需根據梁截面的形狀進行近似計算[13]。N表示定子齒的數目，Iyy是定子齒軸向截面關于yb軸的轉動慣量。

將式(8)、(10)分別與式(14)式(15)相加，可以得到定子整體的拉格朗日能量泛函為：

L(us,vs,ws,φxs,φθs,φzs)=Ts+Tb-(Πs+Πb)

(16)

3.3 定子鐵芯振動特性求解

根據哈密頓原理，彈性體的運動變形必使能量泛函的積分作用量取得極小值，即：

(17)

在力學中，能量變分方程的求解，可以使用Rayleigh-Ritz法，首先假設出中面在兩端簡支約束下的位移試探函數：

(18)

式中：x,θ表示圖1中的總體坐標系，中i表示虛數符號，αm=m·π/L表示x方向的半波數，n表示θ方向的波數，ω表示振動的頻率。

將式(18)代入式(17)中，利用振型函數的正交性，可以得到(m,n)階振動的能量泛函為：

(19)

以Umn,Vmn,Wmn,Ψmn,Φmn,Θmn作為廣義坐標，對能量泛函Lmn進行廣義變分處理，最終可以得到定子結構的廣義剛度矩陣Kmn和廣義質量矩陣Mmn：

(20)

式中：Dmn即為廣義位移向量[Us,Vs,Ws,Ψs,Φs,Xs]′，Kmn和Mmn分別為：

(21a)

(21b)

4 數值計算與仿真驗證

為了驗證解析方法的準確性，使用解析法與有限元方法計算一6相8極表貼式永磁同步電機定子鐵芯的固有頻率，在去除圓角，凹槽等細節之后，簡化的定子模型尺寸如表1所示。表1可知，定子軛厚度與半徑比值超過1/6，屬于厚圓柱殼。由于定子的疊片結構，定子軸向和橫向的機械性能存在差異，因此材料屬性等效為橫觀各向同性，即軸向參數與徑向、周向不同。根據鄧文哲等對疊片結構的定子各向異性等效彈性模量試驗測定，對周向、徑向彈性模量有Eθs,Ezs=0.85E，軸向為Exs=E，而對于剪切模量則有Gzsθs=0.85G，Gxsθs,Gxszs=0.14G。其中E,G分別為各向同性硅鋼片的楊氏模量和剪切模量。

表1 數值與仿真驗證定子參數

有限元模型如圖3所示。圖3(a)是定子鐵芯模型，定子軛采用殼單元劃分，定子齒采用梁單元劃分，共計5 982個節點，11 550個單元，殼兩端施加簡支約束。此外，為了證明定子齒變形對固有頻率的影響，同時建立了一個質量等效的厚殼有限元模型，如圖3(b)所示，殼的尺寸為定子軛的尺寸，將齒的質量增加到殼體后，等殼厚殼的密度變為10 741 kg/m3，其他參數與條件均保持不變。

(a)定子鐵芯模型

表2中m表示定子x軸向的模態階數，n表示定子θ周向的模態階數，軸向模態的差異可以從n=0的模態中看出。相對誤差標準值均基于定子鐵芯有限元計算結果。由圖4可知，所研究定子的前6階固有頻率主要集中在2～7 kHz內，若不考慮齒變形，僅做質量等效，則計算的0節圓(m=1)的低階模態的固有頻率誤差為12%以內，單節圓(m=2)低階模態的誤差高達28%，說明定子齒的變形不能忽略，間接證明了本文研究的必要性。本文所提解析方法可以準確計算出定子鐵芯對應振型的固有頻率，0節圓各階模態固有頻率的相對誤差小于3%，單節圓各階模態誤差小于5%，滿足工程計算精度，證明了解析方法的正確性。該解析方法只需輸入結構的外形尺寸，計算無需網格劃分，因此與有限元相比更為簡單，同時，參數的修改也十分容易，無需重劃網格。

表2 定子鐵芯模態振型計算結果

(a)定子鐵芯的固有頻率比較

5 結 論

本文研究了一種解析方法快速計算電機定子鐵芯的振動特性。提出了一種可考慮定子齒變形的厚殼-梁耦合簡化模型，推導了耦合結構的能量變分方程，并使用Rayleigh-Ritz法求解了模態振型和固有頻率。經驗證，本文提出的解析方法計算得到的各階模態的固有頻率，與有限元仿真結果的相對誤差在5%以內，滿足工程計算的精度要求；若不考慮定子齒變形，低階固有頻率誤差為12%，說明定子齒的影響不能忽略；所提解析方法省去了有限元計算時的建模與網格劃分過程，提高了計算效率，可用于需快速預測定子振動噪聲特性的電機初步設計階段。