考慮驅動和負載狀態的三自由度超聲電機接觸模型研究

李 爭，趙 亮，郭 鵬, 于絮澤

(河北科技大學 電氣工程學院，石家莊 050018)

超聲電機是1980年以來前景較好的一種新型微電機。超聲電機通過壓電陶瓷的逆壓電效應將輸入的電能轉化為振動機 械能，再通過振動的疊加組合和摩擦力驅動轉子[1-4]，它在很多方面優于電磁電機，如：毫秒級響應速度、可斷電自鎖、大轉矩、高精度、抗電磁干擾[5-9]，在微機械、醫療器械、精密加工和航空航天等領域具有廣泛應用和廣闊的前景[10-14]。

由于超聲電機的定子-轉子間通過摩擦傳遞能量，所以其接觸面的摩擦特性對超聲電機的性能很重要。目前，國內外學者對此做出了很多研究。Zhu[15]提出了一種基于彈性力學和摩擦層形變的接觸模型。Duan等[16]提出了壓電耦合定子，轉子和接觸界面之間完全耦合的有限元框架，并分析了有限元法對壓電驅動的一般間歇接觸問題的不足。Sun等[17]提出了一種定子摩擦層為黏彈性的接觸模型，并將該模型與滑塊為柔性、定子為剛性的模型比較，結果證明基于該模型的電機將獲得更大的失速扭矩和更大耐磨性。蔣春榮等[18]提出了一種摩擦層在定子上、轉子為剛性的接觸模型。

本文提出了一種對于三定子多自由度超聲電機的新型的接觸模型。首先，介紹了多自由度超聲電機的基本原理和結構；計算得出了壓電驅動的轉矩公式；引入Hertz接觸理論和Mindlin理論分析接觸層摩擦力的分布，建立考慮非線性的摩擦界面模型，最后通過轉矩公式和摩擦模型得出不同驅動、運動狀態下的多自由度超聲電機接觸面的摩擦力分布以及定子軸與xoy平面的夾角對轉矩的影響。

1 多自由度超聲電機結構和原理

多自由度超聲電機主要由三個環形定子(定子S1、定子S2、定子S3)和一個球形轉子組成，三個定子對稱分布于球形轉子內部，如圖1所示。

(a)外部結構

三個定子均由兩相空間相位差為π/2的壓電陶瓷片組成，其均沿厚度方向極化且相鄰壓電陶瓷片為相反的極化方式，每個壓電陶瓷片長λ/2。對定子施加兩相等頻、等幅、相位差為π/2的交流電時，兩相壓電陶瓷上產生的振動經過彈性體放大和疊加后在齒上形成行波，再通過摩擦作用驅動轉子旋轉。同時由于三個定子不共面，球形轉子可以在三個驅動轉矩的共同作用下產生任何一個方向的旋轉運動，實現電機的三自由度驅動。

多自由度超聲電機的連接方式和預壓力結構,如圖2所示。支撐體、基體和預壓力桿材料均為鋼材且傾角一致，行波定子通過三個螺栓裝置與支撐體上部分的圓盤固定連接，支撐體下部分的圓柱與基體的圓形開孔直徑相等且可沿開孔軸向滑動。預壓力桿頂端錐形結構與支撐體圓柱部分為剛性接觸，底端通過螺栓結構基體底端連接，通過在預壓力桿底端螺栓結構可以使預壓力桿上下移動，推動支撐體的軸向位移，從而增大或減小行波定子和轉子的預壓力。由于基體和行波定子空間上均為對稱結構，所以三個定子和轉子之間的預壓力大小保持一致。

圖2 預壓力結構截面圖

對電機定子-轉子建立正交坐標系，如圖3所示。三個定子在周向均勻分布且軸線與xoy平面夾角為α。由于三個定子角速度矢量的合成矢量可分解到x軸、y軸、z軸，因此電機可以實現三自由度運動。設定子角速度合成矢量為ωt，其在定子軸S1、S2和S3方向的分量分別為ω1、ω2和ω3，表達式為：

圖3 超聲電機內部結構及坐標系

ωt=ω1u1+ω2u2+ω3u3

(1)

式中，ω1、ω2和ω3為標量，其大小由施加到定子上的激勵電壓的大小、頻率、相位差決定，u1、u2和u3分別為三個定子軸的方向向量，沿球心向外。u1在oxyz坐標系下的表達式為：

u1=[cosα0 sinα]T

(2)

由于u2和u3分別為u1為繞z軸旋轉2π/3和4π/3，所以u2和u3經過轉換矩陣A02和A03變換后可得，其表達式分別為：

(3)

當球形轉子旋轉時受到接觸面摩擦力的影響，所以超聲驅動的模型包括來自3個定子的摩擦力矩與定子的角速度矢量關系。令ω表示球形轉子的角速度矢量，其與定子S1的線成ψ1角，如圖4所示。

圖4 轉子相對于定子的角速度和轉矩

轉子角速度矢量ω的標量為ω。定義定子S1的角速度為ω1，定子S1的接觸半徑為r。定子和球形轉子之間的預壓力為P。定子S1和球形轉子之間的總轉矩T1包括驅動轉矩。

Ta1和摩擦轉矩Tf1，表示為：

T1=Ta1u1+Tf1uf1

(4)

式中,uf1為摩擦轉矩的方向向量。

由于轉子角速度可以分解為平行和垂直于定子S1的兩部分，所以驅動轉矩Ta1由定子S1速度快于轉子平行轉速而產生的摩擦力決定，摩擦轉矩Tf1由定子速度慢于轉子相同轉向的速度產生的摩擦力和與定子速度方向垂直的轉子方向產生的摩擦力驅動。驅動轉矩Ta1可表示為：

Ta1=cd(ωS1-ωcosψ1)rP

(5)

摩擦阻力矩Tf1表達式為：

Tf1=-(cdcosψ1+crsinψ1)ωrP

(6)

式中:cd為周向摩擦因數，cr為徑向摩擦因數，如圖5所示。

圖5 徑向摩擦因數和周向摩擦因數

uf1在如圖4所示坐標系中為周向旋轉提供的摩擦阻力和球形轉子垂直于定子角速度產生的摩擦阻力矢量和的單位向量，轉換到oxyz坐標：

(7)

式中:γ1為定子S1坐標系平面與z軸夾角。

uf2和uf3分析方式與uf1相同，在取值γ2、γ3和ψ2、ψ3的基礎上，可表示為：

(8)

式中,ψ1、ψ2、ψ3可以根據電機角速度方向通過幾何關系得到。

轉子角速度矢量與定子S2、S3軸線的夾角分別為ψ2和ψ3，定子S2和定子S3的轉矩T2和T3分析方法與T1相同。

2 三自由度超聲電機接觸狀態分析

三自由度超聲電機由三個定子的合成轉矩作為輸出轉矩，因為轉矩是摩擦力的函數，且驅動摩擦力和摩擦阻力均垂直于壓電定子徑向，即其夾角為90°。由轉矩-力的關系可知摩擦力F=T/r，因此可通過第二章求得轉矩進而得出接觸面摩擦力的大小，再通過下述的摩擦模型可得出摩擦力分布。

三自由度超聲電機不同的驅動狀態接觸面摩擦力分布不同，添加負載后電機的運動也狀態不同，所以其接觸狀態分布會改變。電機的運動狀態可以分為以下幾類：堵轉運動；自轉運動；偏轉運動；帶負載運動。

2.1 摩擦模型

由于定子-轉子接觸面有很多非線性因素，因此假設：

1)電機定子、轉子為剛性體；

2)定子表面連續，忽略定子齒槽的影響。

由于定子-轉子間接觸層徑向接觸寬度遠小于周向接觸長度，徑向形變可忽略不計，所以可以降維建立二維接觸模型，如圖6所示。

圖6 定子-轉子接觸模型

通過位移-應變-應力的關系得出預壓力可表示為[14]:

(9)

根據摩擦驅動模型，摩擦因數的大小與滾輪和平板的相對速度大小呈線性關系，摩擦力表示為：

τ(x)=cd(ωs-ωr)p

(10)

式中:cd為定子周向摩擦因數，p為接觸面垂直方向的壓力分布，ωs為壓電定子角速度，ωr為轉子角速度，可通過實驗測量得到。

兩個物體受到法向壓力P和切向摩擦力F作用，法向壓力分布等效為Hertz接觸理論，切向摩擦力由Mindlin理論求得，其計算值與處于穩態的彈性物體近似。當彈性安定時，假設接觸壓力保持不變。

在二維情況下，由Hertz接觸理論可知其法向壓力分布為：

(11)

式中:p0為法向壓力最大值，即p在x=0處的值，a為摩擦層接觸長度的1/2。

電機運行過程中，摩擦層處既有摩擦驅動力，也有摩擦阻力，在任意轉速下其矢量和最大值都大于相同轉速下靜摩擦力。由Mindlin理論可得接觸面切向力表示為：

(12)

式中:c為實際摩擦力F的函數，表達式為：c/a=[1-(Fmax-F)/2μP]1/2，根據圖6，Fmax為定子最大摩擦力，其大小由周向驅動摩擦力和徑向摩擦力矢量和決定，實際摩擦力由周向驅動摩擦力、周向摩擦阻力和徑向摩擦阻力的矢量和決定，μ為當前速度下的摩擦因數。

2.2 堵轉運動

當壓電驅動激勵施加到電機時，如果電機處于堵轉狀態，即ω=0，則定子-轉子接觸層僅有摩擦阻力。此時，其轉矩表達式由式(4)～式(6)給出，并且摩擦力分布可以從等式T=F×r和摩擦模型獲得。

2.3 多自由度空載運動

通常，有三種方法可以調節電機轉速：調壓，調頻和調相位差。其中，調壓的線性相關性最好。

如果對三個壓電定子施加同幅、同頻、同相位差的交流電壓，則三個定子產生幅值相等、速度的大小和方向均相同的行波，并且轉矩在空間上對稱，電機可實現自轉運動。

如果三組激勵電壓的相位差不相等，則三相定子產生空間上不對稱的行波，所以轉矩也是不對稱的。此時，電機實現偏轉運動。其轉矩表達式由式(4)～式(6)給出，并且摩擦力分布可以從等式T=F×r和摩擦模型獲得。

2.4 帶負載運動

負載轉矩可分解到三個定子軸方向，與不同的驅動方式產生的轉矩疊加等小成定子轉矩，當負載轉矩與水平面垂直時，其沿三個定子軸方向的大小均為TR/(3sinα)；當負載轉矩不與z軸平行時，其分解轉矩表示為：

(13)

所以轉矩方向不與z軸平行的負載轉矩對三個定子接觸狀態的影響也不相同。壓電定子的驅動轉矩和阻力轉矩由式(4)～式(6)得出，摩擦力分布可由公式T=F×r和摩擦模型得到。

3 三自由度超聲電機接觸狀態計算

在該實驗中，為了測量樣機在不同驅動和負載條件下的轉速，首先用阻抗分析儀(HT2829A，Tonghui，China)分析壓電定子在不同驅動頻率下的阻抗。阻抗分析儀夾具分別連接樣機定子的通電端和接地端，如圖7所示，這樣可測量出壓電定子阻抗和頻率的關系，得出定子的諧振頻率，實現最大的輸出性能以方便測量，其中定子的阻抗-頻率關系如圖9所示。由于每個定子均有兩相壓電陶瓷，對這兩相壓電陶瓷的測量結果是一致的；對于三個定子，由于制作、安裝的微小誤差導致的不對稱，其測試結果也具有微小的偏差，所以分別對三個定子的進行了測試，其諧振頻率分別為40.350 kHz、40.360 kHz、40.365 kHz，取其平均值為40.358 kHz。

圖7 樣機阻抗-相位測量平臺

圖8 樣機性能測試平臺

圖9 樣機的阻抗-頻率關系圖

然后，通過上位機調整驅動電壓的頻率到諧振頻率，并通過MPU-9250九軸姿態傳感器實時記錄樣機的轉速和歐拉角，通過滑輪-線-砝碼裝置增加負載。實驗平臺如圖8所示。由于通過調壓調節壓電驅動的輸出性能具有最好的線性相關性，測試了壓電驅動裝置轉速-驅動電壓幅值的關系，結果如圖10所示。從圖10中可知，當電壓低于450 V時，樣機的轉速-電壓關系近似線性。當驅動電壓大于450 V時，轉速的增加幅度逐漸降低。

圖10 樣機轉速-電壓關系圖

為了使結果更加明顯，根據以上實驗，以下均為樣機，電壓幅值為400 V、電壓頻率為40.356 kHz情況下測試的電機轉速進行的計算。

3.1 堵轉運動

當壓電驅動激勵應用于三自由度超聲電機并且電機處于堵轉狀態時，由于轉子速度為零，定子-轉子接觸層僅有摩擦阻力，并且由于定子和轉子之間的平均轉速之差最大，接觸層的所以平均摩擦力最高。摩擦力分布,如圖11所示。

圖11 堵轉時接觸層摩擦力分布

3.2 自轉運動

對三個定子分別施加三組兩相等幅、等頻和等相位差的電壓，由于三相定子空間對稱，而且激勵電壓相同，因此三相合成轉矩也關于z軸對稱。通過等式(4)～式(6)可得出電機的輸出轉矩平行于z軸，電機實現圍繞z軸的旋轉。另外，三個定子-轉子的相對速度是相同的，因此其接觸狀態相同。摩擦力分布,如圖12所示。

圖12 施加對稱激勵電壓時三相定子接觸層摩擦力分布

3.3 偏轉運動

將三組不對稱激勵電壓施加到三個定子，此時由壓電定子產生的扭矩的大小和方向是不對稱的。原型的總輸出扭矩不平行于z軸，電機實現偏轉運動，偏轉方向與原型的總輸出扭矩方向一致。當偏轉角為θ= 27.4°，φ=22.3°時，三相定子接觸層的摩擦分布如圖13～15所示。

圖13 施加不對稱激勵電壓時定子1接觸層摩擦力分布

圖14 施加不對稱激勵電壓時定子2接觸層摩擦力分布

可以直觀地從圖13～圖15中得出，三個定子摩擦力的大小和分布是不同的，并且由于定子S2的旋轉方向是-94.32°，所以定子S2的接觸表面的摩擦力對于球形轉子接近摩擦阻力，降低了電機的輸出性能。

圖15 施加不對稱激勵電壓時定子3接觸層摩擦力分布

3.4 帶負載運動

當負載轉矩為120 N·mm時，由于負載對電機運動狀態的影響，電機的轉速降低，但定子的行波速度是恒定的，這導致球形轉子和壓電的相對速度相較于無負載狀態更大，所以定子-轉子接觸面的摩擦力增大，摩擦力分布,如圖16所示。

圖16 帶負載時定子接觸層摩擦力分布

3.5 定子軸與xoy平面夾角對壓電自轉轉矩的影響

電機定子軸線與xoy平面的α夾角選值不同，電機的輸出轉矩也會隨之改變，如圖17為三相激勵電壓相同時不同α值對應的z軸輸出轉矩。

圖17 定子軸與xoy平面夾角對壓電自轉轉矩的影響

由圖17可知，當α為0時，z軸輸出轉矩為0，電機不能圍繞z軸旋轉，此時該電機失去一個自由度，為二自由度電機。α值越大，z軸轉矩越大，當在結構允許范圍內，α接近極值π/2時，z軸轉矩達到最大值。

x軸輸出轉矩和y軸輸出轉矩不僅和α角相關，也和三相電壓是否相同以及負載轉矩方向相關，若三相電壓相同且負載方向平行于z軸，則x軸和y軸轉矩為0，若電機運行角速度方向不平行于z軸，則x軸轉矩和y軸轉矩與cosα成正比。

4 結 論

建立壓電定子-轉子界面接觸模型是建立三自由度超聲電機耦合系統的動力學模型中的關鍵之一。三自由度超聲電機的驅動狀態和負載不同，電機的運動狀態和轉矩也不相同，三個定子的接觸層摩擦力分布通過壓電轉矩和摩擦擦模型得出，為接觸層摩擦界面的優化設計提供了依據。

首先介紹了三自由度超聲電機的基本原理和結構；通過解析法得出電機轉矩；通過對非彈性體移動接觸的分析，并引入Hertz接觸理論和Mindlin理論對接觸層摩擦力分布進行分析，建立了考慮了非線性部分的摩擦界面模型，最后通過求出的轉矩和摩擦模型結合，用Matlab得出不同驅動、運動狀態下的三自由度超聲電機的接觸面摩擦力分布圖。

通過對三自由度超聲電機轉矩的詳細分析，可以得出壓電驅動轉矩會對接觸狀態產生影響，壓電驅動轉矩由定子角速度、球形轉子角速度矢量和負載情況決定，再根據摩擦模型得出最終的接觸狀態，且定子與球形轉子的相對速度與摩擦力成正比，驗證了三自由超聲度的可行性，分析了不同驅動狀態、負載下接觸層摩擦力的分布，對認識定子-轉子接觸機理、進一步優化摩擦界面提供了支持。