氣墊導軌上橡皮筋滑塊系統(tǒng)自由振動研究

何松林, 黃 焱

(1.昆明學院 機電工程學院,昆明 650214；2.昆明學院 物理科學與技術學院，昆明 650214)

橡膠具有高彈性、絕緣性、不透水和不透空氣等優(yōu)良性質，使得它成為日常生活和生產中廣泛使用的材料。橡膠材料具有兩方面的特點，其一，無論是天然橡膠還是合成橡膠采用諸如硫化、參雜和塑化等不同的工藝加工之后，其性質差異巨大；其二，橡膠材料會出現老化，其優(yōu)良性質會隨時間推移逐漸散失，而老化的快慢程度與橡膠材料所處的外部環(huán)境如溫度、氧氣和臭氧氛圍、水分及油分等密切相關。這些特點使得橡膠材料性質隨工藝或環(huán)境狀況改變的情況一直是研究的熱點[1-3]，而力學性質的研究一般局限于拉伸實驗相關參數和壓縮永久形變測量。現有的橡膠力學性質測量的國家標準也多是針對靜態(tài)拉伸和壓縮的，有關橡膠材料動態(tài)力學性質的測量和研究較少[4]。在所見到的涉及橡膠動態(tài)力學性質測量的文章中[5]，采用了靜態(tài)彈性模量和動態(tài)彈性模量不同的方式進行處理，但在采用的微分方程中出現了應該由系統(tǒng)性質確定的圓頻率這樣的可測量，使得物理意義不明確。因此，探索橡膠材料運動時的普遍性質，確定描述其動態(tài)力學性質的參數，具有積極意義。

氣墊導軌裝置中氣泵產生的壓縮空氣，可使導軌和滑塊之間形成氣墊層，實驗過程中可以忽略摩擦力的影響，使實驗更加突出主要因素的作用,因此在氣墊導軌上研究物體的運動成為現代大學物理力學實驗最常見的方式[6]，比如牛頓第二定律的驗證、碰撞實驗以及簡諧振動研究等經典力學實驗均可在導軌上進行研究。在導軌上進行振動研究，常采用兩根分別固定在導軌兩端的金屬彈簧拉住滑塊的方式進行。橡皮筋雖然也具有彈性，但由于其力學性質的復雜性，在大學物理力學實驗中沒有用橡皮筋替代金屬彈簧的情況。

本文將采用市售橡皮筋代替彈簧組成橡皮筋滑塊系統(tǒng)進行實驗，觀察振動情況，測量振動特征參量，并設法進行理論分析，得出有用的信息。

1 氣墊導軌上橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動

將通過拉伸實驗檢驗的具有相同靜態(tài)彈性系數的兩根橡皮筋的一端與滑塊相連，另一端分別固定在氣墊導軌的兩端，滑塊處于調平后的氣墊導軌上，可左右移動。在滑塊左右移動的范圍內保證兩根橡皮筋均處于拉伸狀態(tài)。將滑塊靜止時，其上的I型擋光片的一端對應位置選為原點，并且將光電門置于原點處，光電門與計時器連接，可測多個振動周期的時間。實驗發(fā)現，橡皮筋滑塊系統(tǒng)振幅衰減較快，難以準確辨別滑塊振動的位置，故采用手機進行滑塊運動全過程的視頻錄制。由于導軌側面附著直尺，滑塊移動的位置可以由視頻逐幀回放準確確定。滑塊與橡皮筋質量用電子天平稱量。

1.1 滑塊運動觀察

將滑塊沿水平方向拉離平衡位置，使滑塊運動過程中兩根橡皮筋均處于拉伸狀態(tài)，觀察滑塊振動情況。

滑塊被釋放后，圍繞平衡位置左右往復運動，但每次振動振幅都發(fā)生較大衰減，一般振動十幾次(與滑塊初位置有關)就靜止在平衡位置。更換不同的橡皮筋進行實驗，發(fā)現橡皮筋的橡膠類型及橡皮筋的粗細程度都會影響滑塊的運動情況，最明顯的是振幅衰減的快慢程度會發(fā)生變化。

但無論橡皮筋怎樣更換，氣墊導軌上的橡皮筋滑塊系統(tǒng)，當滑塊被拉離平衡位置后，將作振幅衰減的振動。

由于滑塊與導軌間存在氣墊，它們之間的摩擦力可忽略，因而使滑塊振幅衰減的阻力只能來源于橡皮筋自身，我們將其稱為“內稟”阻尼振動。

1.2 實驗研究

利用計時計數儀，測量滑塊振動10個周期所需時間，算出每個周期的時間；通過慢放觀看錄制的視頻，讀出經歷1個周期后滑塊的振幅值，算出振動的對數減縮。

2 理論分析

若將橡皮筋滑塊系統(tǒng)(如圖1)看成受黏性阻尼作用的諧振子，設系統(tǒng)質量為μ,兩根橡皮筋的彈性系數相同，設為k，源于橡皮筋自身性質的黏性阻尼系數為c,由牛頓第二定律可得

圖1 橡皮筋滑塊系統(tǒng)

(1)

化為常見形式

(2)

當0<ξ<1時，系統(tǒng)做衰減振蕩，運動方程為[7]

x=Ae-ξω0tsin(ωd+θ)

(3)

由表1的數據可知，橡皮筋滑塊系統(tǒng)的折合質量μ=M+2m0/3=215.26 g=0.215 26 kg,而由橡皮筋拉伸實驗測得的兩根橡皮筋的彈性系數k=4.232 Nm-1,從而算得T0=1.002 02 s;由表2中的對數減縮和周期值，利用Λ=ξω0T，可得ξ=0.044 4。若按黏性阻尼考慮，Td≈1.002T0，將使振動周期比T0略大。但實驗測出的該橡皮筋振動系統(tǒng)的周期T=0.940 69 s,比T0還小6.1%。

表1 橡皮筋振動系統(tǒng)參數

表2 滑塊振動測量數據

從上面的分析可見，對由雙橡皮筋和滑塊構成的橡皮筋滑塊系統(tǒng)按諧振子受黏性阻尼振動模型處理是失效的，或者說不能將橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動視為諧振子的粘性阻尼振動。

3 含分數階導數的振子模型

3.1 模型建立

橡膠材料是既有高彈性也存在黏彈性的高分子材料，而對材料黏彈性描述的最新模型是分數階導數模型[8，9]。若設橡皮筋的黏彈性力與伸長量隨時間的分數階導數成正比，分數階導數采用Caputo定義[10]，其階次0<α≤1，我們將其稱為黏彈度，記為α，是一個無量綱的純實數；將分數階導數項的系數稱為黏彈系數，記為kv，單位為Nsαm-1。黏彈度和黏彈系數由構成橡皮筋的橡膠材料性質及幾何尺寸決定。由牛頓第二定律，可將滑塊運動微分方程寫為

(4)

改寫成常見形式

(5)

3.2 數值模擬

當δ≠0，0<α<1時，式(5)表示的分數階常微分方程的精確解難以求出，至今未見報道。為考察該方程代表的系統(tǒng)的運動特性，我們擬采用數值方法得出具體參數下系統(tǒng)的數值解。利用分數階導數運算的可加性，對方程式(1)進行降階處理。令

(6)

(7)

采用預估校正方法[11]對式(7)進行迭代，

(8)

(9)

(10)

相應的預估值為

yp(k+1)=

(11)

(12)

(13)

圖2是ω0=πs-1，δ=0.5sα-2，α分別取0.2、0.5、0.8和1.0時位移隨時間的變化情況，從圖中可以看出，隨分數導數階次α的增大，系統(tǒng)的振幅衰減加快，表明分數導數的階次越大，系統(tǒng)所受阻尼越大。

圖2 不同分數階系統(tǒng)的位移時間圖

圖3是ω0=πs-1，α=0.5，δ分別取0.1s-1.5和0.5s-1.5時位移隨時間的變化情況，從圖中可看出分數導數項的系數不僅影響振幅衰減的快慢程度，同時也影響了振動的周期。隨分數導數項系數的增加，系統(tǒng)振幅衰減加快，同時振動周期減小。

圖3 不同分數導數項系數系統(tǒng)的位移時間圖

總結數值模擬情況，可以看出：含分數階導數振子自由振動時，表現為阻尼振動，分數階導數的階次(黏彈度)及分數階導數項的系數(黏彈系數)將同時影響系統(tǒng)振動的周期及振幅衰減的快慢程度。這表明，模型至少在定性上與橡皮筋滑塊系統(tǒng)的運動是一致的。

3.3 近似解析解

為探究分數導數項的階次及系數如何影響系統(tǒng)的運動特性，我們采用弱非線性系統(tǒng)振動分析中行之有效的平均法，求解方程式(5)的近似解析解。當方程中的δ很小時，可設式(5)的解具有簡諧振動的形式即

x(t)=A(t)cosψ

(14)

(15)

且位移對時間的α階分數導數為[12]

(16)

式中，ψ=ω0t+φ(t)。

將式(14)對時間求導，并與式(15)比較可得

(17)

將式(15)對時間求導數得

(18)

將式(14)～式(16)和(18)代入方程式(5)得

(19)

由式(17)×cosψ+式(19)×sinψ得

(20)

由式(17)×sinψ-式(19)×cosψ得

(21)

按平均法的思想，將式(20)、(21)右端由其在ψ的一個周期(2π)內的平均值代替，得

(22)

(23)

(24)

(25)

將式(24)、(25)代入式(14)得方程式(5)的近似解析解為

(26)

3.4 模型理論與實驗數據對照

由式(26)可以看出，含分數階導數項的振子模型的振動圓頻率為

(27)

則模型振動周期Tm

由于分數階導數項的存在，階數α和系數δ均不為零，由式(26)可以看出，含分數階導數項的振子振動的振幅將指數型衰減，這與實驗觀察到橡皮筋滑塊系統(tǒng)做振幅衰減的振動情況一致。

由式(27)可得

(28)

利用對數減縮的定義，由式(26)可得

(29)

由式(28)、(29)可得

(30)

利用T0的表達式得

(31)

由kv=μδ及式(29)可得

(32)

利用表2中實驗測得的周期和對數減縮值，代入式(31)可得到本次實驗所用橡皮筋的黏彈度α=0.381，黏彈系數kv=0.332 Nm0.381m-1。

圖4 橡皮筋滑塊系統(tǒng)數值仿真與實測位移值的比較

4 結 論

本文在氣墊導軌上進行了橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動實驗，觀察到系統(tǒng)作振幅衰減的振動，測量了振動周期和對數減縮。理論分析發(fā)現將橡皮筋滑塊系統(tǒng)視為諧振子阻尼振動處理是失效的；數值模擬和近似解析解分析證明，本文提出的含分數階導數振子自由振動模型可以解釋橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動實驗，橡皮筋的力學性質可以由彈性系數、黏彈度和黏彈系數三個表征材料自身性質的物理量確定。

綜上所述，本文所做工作，為橡膠類材料力學性質的研究提供了一種新的思路。當然，用彈性系數(模量)、黏彈度和黏彈系數三個量表征同時具有高彈性和黏彈性材料力學性質的有效性還需在今后的工作中進行更廣泛的研究。