隱性軌跡題型面面觀

■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) (特級教師)

我們在解題時常碰到隱性軌跡問題，隱性軌跡就是軌跡不太明顯，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。理論上說，我們學(xué)過的軌跡都可能成為隱性軌跡，下面我們就談?wù)劤Ｒ姷碾[性軌跡問題。

1.隱性軌跡是直線或在直線上的某些點

例1已知圓C1：x2+y2=4與圓C2：(x-3)2+(y-3)2=4，過動點P(a，b)分別作圓C1，圓C2的切線PM，PN(M，N分別為切點)，若|PM|=|PN|，則a2+b2-4a-6b+13的最小值是( )。

解析：由題意知PM⊥C1M，PN⊥C2N，C1(0，0)，C2(3，3)。

由|PM|=|PN|，得|PC1|2-4=|PC2|2-4，即a2+b2=(a-3)2+(b-3)2，則a+b=3。

a2+b2-4a-6b+13=(a-2)2+(b-3)2。

圖1

至此，我們有兩種解決問題的方法。

法一：這式子可看成是定點(2，3)到直線x+y=3 上動點(a，b)的距離的平方，在直線外定點到直線上動點的距離中，垂直線段最短。

故(a-2)2+(b-3)2的最小值為最短距離的平方，即=2。選B。

法二：(a-2)2+(b-3)2=(a-2)2+a2=2a2-4a+4=2(a-1)2+2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取得最小值2，選B。

點評：法一通過隱性軌跡轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，法二通過配方法求得最小值。

例2設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若(m≠n)，則Sm+n-4的符號是( )。

A.正 B.負

C.非負 D.非正

2.隱性軌跡是圓或圓弧

例3(2020年北京卷第5題)如圖2，已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3，4)，則其圓心到原點距離的最小值為( )。

A.4 B.5

C.6 D.7

圖2

解析：設(shè)圓心為C(x，y)，則，化簡得(x-3)2+(y-4)2=1。

由圖知，|OC|+1≥|OM|=5，即|OC|≥5-1=4，當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號，選A。

點評：圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1 為半徑的圓，所以|OC|的最大值是|OM|+1，最小值是|OM|-1。

例4(龍巖市2020 年5 月質(zhì)檢題理數(shù)第11 題)如圖3，在棱長為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是正方形ADD1A1內(nèi)(包括邊界)的動點，M是CD的中點，且∠PBA=∠PMD，則當(dāng)△PAD的面積最大時，|PA|的值為( )。

解析：由題意可知，|PA|=2|PD|，以AD所在直 線 為x軸，AD的 中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(-1，0)，D(1，0)。設(shè)P(x，y)，所以(x+1)2+y2=4(x-1)2+4y2。

圖3

點評：本題是立體幾何與解析幾何的綜合問題，難點之一是要探求點P在平面ADD1A1滿足的條件，難點之二是在此條件下求出點P的軌跡(阿波羅尼斯圓弧)。

例5(龍巖市2020 年高中畢業(yè)班3月月考卷)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2+，則a1+a2020的最大值是( )。

3.隱性軌跡是橢圓

根據(jù)橢圓性質(zhì)，可得|PE|的最大值為3。

點評：說是通過定義解答了本題，其實是從許多的隱性軌跡轉(zhuǎn)化而成的，一是點A在以E為圓心，4 為半徑的圓上，即得到|AE|=4;二是PQ為線段AF的中垂線;三是點P在AE上，然后落實在|PE|+|PF|=4這個定值上，點P在右端點時取到最大值。

4.隱性軌跡是拋物線

圖4

例7如圖4，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點，且|AB|=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段。假設(shè)d是△AMN的外心C到直線c的距離，試探求：當(dāng)△AMN的外心C在什么位置時，d+|BC|最小，最小值是多少?

解析：以直線b為x軸，以過A點且與直線b垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系。

設(shè)△AMN的 外 心 為C(x，y)，則A(0，p)，M(x-p，0)，N(x+p，0)。

由題意知|CA|=|CM|，故：

化簡得x2=2py。

點C的軌跡是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線E。

由此可得直線c恰為軌跡E的準(zhǔn)線。

由拋物線的定義知d=|CF|，其中是拋物線的焦點。

則d+|BC|=|CF|+|BC|。

線段BF與拋物線的交點即為所求的點。

點評：求出點C的軌跡是解決問題的關(guān)鍵。本題似曾相識，卻又很新穎，有較強的探究性。