直擊圓錐曲線最值問題的解題策略

■江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)

圓錐曲線的最值(范圍)問題，因考查知識(shí)容較多、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)。由于這類問題解法靈活且綜合性較強(qiáng)，故而成為高考的一大難點(diǎn)。那么，突破這一難點(diǎn)有哪些基本策略呢? 下面舉例說明。

一、利用圓錐曲線定義

圖1

例1如圖1，已知點(diǎn)P在離心率為2 的雙曲線=1的左支上，A(0，)，F(xiàn)是 雙 曲 線 的 右 焦點(diǎn)，若△PAF周長(zhǎng)的最小值是20，則此時(shí)△PAF的面積為( )。

解析：先由雙曲線的定義可知△PAF周長(zhǎng)的最小值等于|AF1|+|AF|+2a，再根據(jù)離心率的值可求出雙曲線方程，然后直線AF1與雙曲線聯(lián)立即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用S△PAF=S△AF1F-S△PF1F求出面積。

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由題可知，|PF|-|PF1|=2a，|PF|=2a+|PF1|。

圖2

如圖2，△PAF的周長(zhǎng)=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+|AF|+2a≥|AF1|+|AF|+2a，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。

因此，|AF1|+|AF|+2a=20。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于某些橢圓或雙曲線中的最值問題，通常利用定義把到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，反之亦然;對(duì)于拋物線中的最值問題，同樣可依據(jù)定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，反之亦然。這些方法的本質(zhì)是利用幾何關(guān)系求最值。

二、利用基本不等式

例2(1)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=120°。過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為( )。

(2)設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F，過F的直線交該拋物線于A、B，則|AF|+4|BF|的最小值為_____。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)依據(jù)題意得到關(guān)于求最值的表達(dá)式含有兩個(gè)未知數(shù)時(shí)，一般利用基本不等式求最值，但必須先要判斷是否滿足“一正二定三相等”。

三、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

圖3

例3在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x，其 中x∈(0，1)。以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2，若對(duì)任意x∈(0，1)，不等式t＜e1+e2恒成立，則t的最大值為( )。

解析：在等腰梯形ABCD中，由余弦定理得：

點(diǎn)評(píng)：依據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍，同時(shí)注意在求函數(shù)的最值時(shí)，遇到復(fù)雜函數(shù)采用換元法可以化繁為簡(jiǎn)，還要關(guān)注函數(shù)的單調(diào)性。

鞏固練習(xí)

1.已知點(diǎn)R(0，2)，曲線C：y4=(px)2(p＞0)，直線y=m(m＞0且m≠2)與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若△RMN周長(zhǎng)的最小值為2，則p的值為( )。

A.8 B.6

C.4 D.2

2.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為_____。