概率論與數理統計課程中事件獨立性的教學思索

◇東華理工大學理學院 蔡奇嶸 楊志輝

事件的獨立性關系是事件之間的一種特殊關系，在教學過程中通過教師引導、精心設疑，利用多種類型實例的引入，讓學生既能了解獨立性的含義，又能理解獨立性在實際問題中的運用，領會獨立性應用的廣泛性，學會用概率解決生活中的問題。

1 引言

作為理工科大學生，概率論與數理統計課程是一門非常重要基礎課程，而事件的獨立性是概率論與數理統計課程中十分重要的內容，是事件之間的一種特殊關系，對前面所學條件概率的概念與性質做了進一步的延伸，與概率性質的計算也有非常密切的聯系。該內容一般放在學習教材第一章的最后一節，應注意到這也為后續我們將要學習的“兩個相互獨立的隨機變量”的提供了基礎，同時在數理統計部分的基本概念和公式也將運用到這部分的知識。因此，在反復思考總結本節教學過程的基礎上，希望通過本文能對教師在本節教學設計上有所幫助，并且希望能幫助到學生了解獨立性的概念及其應用，通過生活中常見的具體有趣的實例，學生會發現事件的獨立性來源于實際生活，同時可以為我們實際生活服務，體會獨立性應用的廣泛性，從而提高概率論與數理統計的學習興趣。

2 教學過程設計

2.1 復習回顧

復習前面互不相容事件及和事件的概率公式，條件概率概念、理論及計算公式。

2.2 講授新課

（1）新課導入：精心設疑，通過生活中的例子，讓學生了解事件獨立性的含義。教師提出問題：有四張獎券，只有一張可以中獎。現在由四名學生順次無放回地進行抽取。問：最后一名抽簽學生的中獎概率會否受到第一名抽簽學生是否中獎的影響？假設事件A表示“第一名學生沒有中獎”，事件B為“最后一名學生中獎”，那么有什么聯系？通過這個問題，激發學生的學習興趣，再順勢引入兩個事件獨立性的概念。

（2）介紹概念及性質：通過引例，介紹兩個事件相互獨立的概念和性質，并進一步引申至多個事件的相互獨立的概念及性質。注意提醒學生兩兩獨立的事件與相互獨立獨立的事件是不同的概念，且在實際問題中，關于事件是否相互獨立，往往不是依據定義而是根據問題的實際情況來判斷的。

（3）互動環節：教師提出問題“兩事件相互獨立與兩事件互不相容的聯系與區別是什么”，學生討論回答。為了讓學生更易理解，教師可以舉例，讓學生判別下列事件之間的關系：①觀察某人甲某天的身體情況，健康與生病；②觀察處于兩個不同城市的兩人甲、乙某天的身體情況，甲生病與乙生病。顯然第一個問題兩事件是互不相容的，而第二個問題兩事件是相互獨立的，但是卻并不是互不相容的。要讓學生理清相互獨立與互不相容這兩種極易混淆的關系，讓學生通過這一環節進一步掌握獨立性的概念。

（4）補充和引申：補充介紹常用公式，即多個相互獨立事件同時發生的概率，當相互獨立，則：

即n個相互獨立事件至少有一個發生的概率=1-各自對立事件概率的乘積。

（5）討論環節：俗語說“三個臭皮匠頂個諸葛亮”，這是對人多智慧廣，人多方法多的一種贊美。這句話到底有沒有道理呢？教師讓學生思考討論這句話是否可用事件獨立性原理論證。我們做出假設，某問題諸葛亮有85%的把握能解出，第一個臭皮匠有55%的把握，第二個只有50%的把握，第三個只有45%的把握，那么這三個臭皮匠能頂過一個諸葛亮嗎？引導學生利用剛剛學過的公式，若每個臭皮匠能否解出問題是相互獨立的，則可計算出三個臭皮匠中至少有一人能解出問題的概率為87.625%。即這三個并不算聰明的臭皮匠解出這個問題的可能性已經超過了聰明的諸葛亮。接下來，我們可以做問題引伸，當增加臭皮匠人數到10人，每個臭皮匠能夠解出問題是相互獨立的，概率都為0.45，則至少有一人解出問題的概率約為0.9975，即問題基本上都能解出。教師再提出問題：考慮在什么樣的情況下“三個臭皮匠會頂不上一個諸葛亮”？學生自由探討，提出自己的看法。教師提醒學生注意公式成立的條件，即需要事件滿足獨立性，個人加入到集體中，若喪失了自己獨立思考問題的能力，那么三個臭皮匠就無法頂過一個諸葛亮。通過這個案例讓學生認識到團隊的每一位成員要在充分發揮各自的才智前提下，精誠協作，形成超越個體發展之上的綜合才智，那么任何困難都能得以克服。

補充例題：俗語說“三百六十行，行行出狀元。”若把一個人的才能分成了三百六十方面，因孔子是一位偉大的學者，假設他在任何一行位于前列的概率均為99%，我們分析“三人行，必有我師”這句話，是否合理呢？

（6）教師總結歸納：根據俗語“三個臭皮匠頂個諸葛亮”及成語“三人行，必有我師”的概率論證，讓學生思索生活中有哪些問題可以用事件的獨立性知識去解決，去考慮生活中所謂的常理能否用我們所學過數學知識來推敲，嘗試自己去解決實際問題，讓學生理解事件獨立性在實際問題中的應用。進一步希望學生在學習中學會用概率解決生活中的問題，培養質疑精神和舉一反三的能力。

教學流程圖如下所示。

3 反思與總結

（1）從課堂教學效果來看：該教學過程增強了教學的直觀性，能夠促使學生參與其中，引導學生積極發現、探索，在實踐的過程中獲得知識，激發了學習的興趣，多數學生在學習的過程中找到了成就感，增強了自信心，享受了學習的過程。同時在教學中引入我們生活中常見的俗語、成語等案例，也體現了數學建模的思想，使得數學更生活化、多樣化，學生發現和獨立運用數學解決問題的能力有了提高，培養了創新意識。

（2）實施過程需注意的問題：在教學過程中我們要知道，首先，學生占據的是主體地位，想達到一個較好的教學活動效果，需要學生的知識基礎非常扎實，同時需要學生有良好的自控能力和與他人的溝通交流合作的能力。其次，教師指揮整個課堂教學的進行，作為靈魂人物貫穿始終，因此這要求教師能精準掌控整個課堂的節奏，既要做到引領學生完成所有學習任務，又要充分調動學生參與課堂討論、學習的積極性。

（3）課堂完善建議：針對以上問題，可以在以下兩方面進行完善：一是在課前可要求學生充分預習，查找資料，在課堂討論的過程中，學生的討論可以分小組進行，讓學習主動性好的同學充分帶動學習主動性差的同學參與其中，讓學生充分理解該案例的涵義；二是在課堂上，教師要準確定位自己，既要善于傾聽學生發言，又要當好帶領者，引導學生開拓思路，還要在適當的時候協助學生補充自己想要表達的東西，防止課堂冷場。