解決離心率試題的四重境界

王淼生 黃勇

摘? ? 要：離心率的大小決定圓錐曲線的類型，因此離心率是圓錐曲線的核心概念，也是考查的熱點、重點與難點.求解離心率一般分為純代數解法（坐標運算）、純三角解法（焦點三角形結合正弦定理實施轉化）、二級結論法（借助相關結論）、解析方法（將代數運算、平面幾何性質與圓錐曲線定義深度融合）等四重境界.

關鍵詞：離心率;圓錐曲線;四重境界

例題? ?已知[F1]，[F2]分別為雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的左右焦點，過[F2]且與[C]的漸近線平行的直線與[C]相交于[P]，[PF1⊥PF2]，則雙曲線[C]的離心率為（? ? ? ? ? ）

[A]. [2]? ? ? ? [B]. [3]? ? ? ? [C]. [2]? ? ? ? [D]. [5]

例題為廈門市2020屆高三畢業班一道質檢題.這是一道典型的離心率綜合試題，主要考查直線方程、圓的方程、雙曲線方程、漸近線定義、離心率定義、向量數量積及直線平行、直線垂直、直線與雙曲線相交等基礎知識，主要考查數學運算、邏輯推理與分析問題及解決問題的能力.

一、第一重境界：依賴坐標運算的純代數解法

既然解析幾何出發點是為了借助代數運算，因此純代數解法通常成為學生首選.請看以下解法.

解法1? ?由題意可知直線[F2P]的方程為[y=bax-c]，聯立直線[F2P]的方程與雙曲線的方程得到[y=bax-cx2a2-y2b2=1][?][x=a2+c22cy=-b32ac][?][Pa2+c22c，-b32ac].

據此得到

[? ? ? ? =-c-a2+c22c，b32ac]，[? ? ? ? =c-a2+c22c，b32ac].

注意到已知條件：[PF1⊥PF2]，即[PF1] ·[PF2] =0，則有

[-c-a2+c22cc-a2+c22c+b32ac2=0]

[?][-c2+a2+c224c2+b64a2c2=0]

[?][-4a2c4+a2a2+c22+b23=0]

[?][-4a2c4+a2a2+c22+c2-a23=0]

[?][-4a2c4 + a2a4 + c4 + 2a2c2+][? c6-]

[3c4a2+3c2a4-a6][ =0]

[?][c6-6c4a2+5a4c2=0]

[?][c4-6c2a2+5a4=0]

[?][c2-5a2c2-a2=0]

[?][c2-5a2=0]（[c2-a2=0]，舍去）

[?][e=5].

解法2? ?由已知條件[PF1⊥PF2]可知點[P]在圓[x2+y2=c2]上，聯立該圓的方程與雙曲線的方程，得到點[Pac2+b2c，-b2c]，并代入直線[F2P]的方程求解離心率（解答過程略）.

解法3? ?我們還可以將直線[F2P]的方程：[y=bax-c]與圓的方程：[x2+y2=c2]聯立，得到點[P]坐標，并代入雙曲線方程：[x2a2-y2b2=1]求解離心率（解答過程略）.

解法4? ?借助上述解法1、解法2及解法3所得到的點[P]的坐標，顯然點[P]橫坐標（或縱坐標）相等，由此得到

[a2+c22c=ac2+b2c]

[?][a2+c2=2ac2+b2]

[?][a4+c4-2a2c2=4a2b2]

[?][c2-a22=2ab2]

[?][b2=2ab]

[?][b=2a]

[?][e=5].

解法1、解法2、解法3及解法4總體上側重于代數運算，屬于通性通法，但運算量明顯較大.導致運算量較大的主要原因在于純粹采取代數計算，弱化了圓錐曲線本質屬性.表面看起來，似乎解法4運算量并不大，其實運算量更大，只不過其運算過程被解法1、解法2、解法3分擔而已.

二、第二重境界：利用正（余）弦定理轉化為純三角解法

離心率試題往往與圓錐曲線中焦點三角形密切相關.借助正（余）弦定理來解決離心率，也是學生常常使用的方法.請看以下解法.

解法5? ?設漸近線傾斜角為[α]（[α]為銳角），在[Rt△PF1F2]（焦點三角形）中，由正弦定理可得

[PF1sinα=PF2sinπ2-α=F1F2sinπ2]（正弦定理）

[?][PF1sinα=PF2cosα=F1F21]

[?][PF1-PF2sinα-cosα=F1F21]（初中代數等比性質）

[?][2asinα-cosα=2c1]（雙曲線定義）

[?][ac=sinα-cosα]? ? ? ? ? （*）

[?][ac2=sinα-cosα2]（回到三角）

[?][a2c2=1-sin2α]

[?][a2c2=1-2tanα1+tan2α]（三角萬能公式）

[?][a2c2=1-2ba1+ba2]（利用[tanα=ba]）

[F1]，[F2]分別為雙曲線[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的左、右焦點，[F2]關于漸近線的對稱點[P]恰好落在以[F1]為圓心、[OF1]為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

命題教師給出類似于上述解法1的純代數計算方法，十分復雜，呂老師則給出以下賞心悅目的解析方法.

解：如圖2，連接[F1P]，設[F2P]與漸近線相交于[Q]，由題意可知[Q]為線段[F2P]的中點且[OQ⊥F2P]，又[O]為[F1F2]的中點，則[OQ//F1P]，故[F1P⊥F2P]（充分利用平面幾何性質）.

在Rt[△][F1PF2]中，[F1P=c]，[F1F2=2c]，所以[∠PF1F2=π3]，即漸近線[OQ]傾斜角為[π3]，則[ba=tanπ3=3]，于是[e=2]（充分利用圓錐曲線性質）.

精準應用圓錐曲線定義（包括漸近線、離心率等）解題，困難不在于圓錐曲線定義自身，關鍵在于初中平面幾何性質（尤其是圓的切線、三角形中位線等），并將平面幾何相關性質恰當遷移到圓錐曲線“身邊”，喂到圓錐曲線“嘴巴”，順其自然地運用圓錐曲線定義.只有對初中平面幾何性質熟練掌握（這正是呂老師任教十年初中的優勢），才有可能真正融入圓錐曲線定義，這才是呂老師頻頻“奇思妙解”的原動力.其實，這不是“奇思妙解”，而是實實在在的通性通法，更是原汁原味的回歸定義.他山之石，可以攻玉，他人之解呢？可以模仿，發揚光大.上述例題的解法8與解法9就是筆者長期“偷學”呂老師的收獲.

在處理離心率問題時，既要通性通法，夯實基礎，腳踏實地（如解法1、解法2、解法3及解法4），又要形數兼顧，比翼雙飛，多管齊下（如解法5），還要善于借助外力，牢記結論，多快好省（如解法6、解法7），更要回歸定義，高屋建瓴，勇于創新（如解法8、解法9）.尤其第四重境界——演繹定義，充分凸顯圓錐曲線自身特定的內涵（比如雙曲線定義、離心率與漸近線傾斜角含義、虛半軸本質及相關性質、結論等），精準應用平面幾何相關性質（尤其圓的切線、三角形中位線等），熟練掌握數學運算（優化運算對象、探究運算方向、選擇運算方法等）.優勢互補，強強聯手，將解析幾何的精髓——數形結合以及圓錐曲線的源頭——定義優先，演繹得精彩紛呈、賞心悅目.

參考文獻：

[1]王淼生，黃昌毅.焦點三角形性質歸類[J].數學通訊（教師刊），2016（9）：41-45.