淺談數學分析中極限的求法

馬金玲 (吉林師范大學，吉林 長春 130000)

在數學分析的學習中，我們發現數列和函數極限的形式很復雜，因此,求解極限的方法也多種多樣，當然，對于不同的方法有其各自的優勢及適用范圍.本文通過對典型例題的探究求解，歸納總結出一些常用的求解方法，以探究數學中的技巧性，提升學生對數學知識體系的梳理能力.另外，本文旨在通過應用無窮小量、重要極限、洛必達法則等方法，在求解極限的過程中體會數學思維的轉化，感受數學知識的緊密聯系，構建條理清晰、邏輯嚴謹的數學知識框架.

一、極限的定義

數列極限的ε—N定義設{an}為數列，a為定數.若對任給的正數ε，總存在正整數N，使得當n>N時有

|an-a|<ε，

則稱數列{an}收斂于a，定數a稱為數列{an}的極限，并記作

函數極限的ε—δ定義設函數f在點x0的某個空心鄰域U°(x0；δ′)內有定義，A為定數.若對任給的ε>0，存在正數δ(<δ′)，使得當0<|x-x0|<δ時有

|f(x)-A|<ε，

則稱函數f當x趨于x0時以A為極限，記作

二、極限的求解

1.單調有界定理

定理1在實數域中，若數列{an}單調且有界，則數列{an}一定存在極限.

注(1)在應用單調有界定理求解極限時，首先要滿足數列{an}是單調數列，即滿足an≤an+1(或an≥an+1)，其次要保證數列{an}有界.

(2)證{an}的單調性：

① 考察an+1-an的符號；

③ 若得到一個一元可導函數的遞推公式an+1=f(an)，則可求導，然后根據f′(x)的符號來確定其單調性.

證{an}的有界性常利用數學歸納法或已知不等式推證.

歸納小結在應用單調有界定理求解數列極限時，首先要證明的是數列存在極限，也就要證明數列滿足單調性和有界性.證明單調性的過程考查了學生對初等數學中數列知識的掌握，其證明方法的選用要根據具體問題而定；而在證明有界性時常應用數學歸納法.在證明極限存在時應分兩步走，且將高等數學的問題轉化為初等數學的知識，讓難題迎刃而解，最后依據極限的唯一性求出極限值.值得注意的是，單調有界定理只適用于滿足條件的數列求解極限問題.

2.迫斂性

所以，由迫斂性得

歸納小結在應用迫斂性求解數列或函數極限時，可將對極限的直接求解轉化為先對極限變量進行放縮，再找出易求得極限的上下界，從而間接求得原極限.值得注意的是，在遇到極限變量可以進行放縮的求解極限問題時可以優先考慮迫斂性.

3.兩個重要極限

注在應用重要極限求解極限時，首先要進行初等變形.這里的初等變形是指用初等數學的方法將數列或函數轉化成上述兩個重要極限的形式.

解將原式中的函數湊成如下形式，

于是有

注歸結原則在數列(離散變量)極限與函數(連續變量)極限之間建立起了橋梁，使二者在一定條件下可以相互轉化，這對處理極限問題起到了重要的作用.

由歸結原則，得

歸納小結在應用兩個重要極限求解極限問題時，首先要應用初等數學的方法將數列或函數化成兩個重要極限的形式之一，再進行求解.應用該方法的關鍵就在于將原極限形式“湊成”上述兩個重要極限.值得注意的是，在遇到三角函數形式和“1∞”形式的極限問題時要優先考慮應用兩個重要極限.另外，在求解“1∞”形式的數列極限時，要結合歸結原則將數列問題轉化成函數問題，再進行求解.

4.洛必達法則

洛必達法則是求不定式極限的重要方法，它將兩函數之比的極限求解問題轉化為兩函數導數之比的極限求解問題.其幾何意義是：兩曲線上的點的縱坐標之比的極限可轉化為兩曲線上的點的切線斜率之比的極限.

定理3若函數f(x)與g(x)滿足條件：

(ⅱ)在點x0的某空心鄰域U°(x0)上，f(x)與g(x)都可導，且g′(x)≠0；

則

故由洛必達法則求得

定理4若函數f(x)與g(x)滿足條件：

(ⅰ)在U°+(x0)上二者皆可導，且g′(x)≠0；

則

歸納小結應用洛必達法則求解極限問題，其實質在于將求解兩個函數之比的極限轉化為兩函數導數之比的極限，使得復雜函數的求極限問題轉化為簡單函數的求極限問題.但在應用洛必達法則時有些需要注意的問題：

(1)不是所有比式極限都可以應用洛必達法則求解，一方面必須注意它是不是不定式極限，另一方面要看是否滿足洛必達法則的應用條件；

(2)在求解極限的過程中，有時可能需要對f′(x)與g′(x)再應用洛必達法則，甚至有時需要對f(x)與g(x)的高階導數反復使用洛必達法則.

5.定積分

利用定積分求極限，通常有兩種類型：一種是應用定積分的定義求解數列極限，另一種是應用變限積分和洛必達法則求解極限.

(1)用定積分定義求解數列極限

解做如下變形：

解做如下變形:

(2)應用變限積分求解極限

恒等變換后有

于是有

歸納小結應用變限積分求解極限的過程中，主要是將原函數存在定理與洛必達法則相結合，進而求得原極限.

三、結 語

本文主要介紹了求解極限的多種方法.在極限理論中，求解極限問題占據著重要地位，由于極限的類型復雜繁多，我們根據對典型例題的探究，歸納總結了求解極限不同方法的適用條件及其中所蘊含的轉化思想.因此，在面對極限求解問題時，我們首先要判斷所求極限的類型，再選取合適的方法進行求解.當然，在選擇方法時，要注意其適用條件，這一過程是非常重要的，否則會得出錯誤的結論.另外，在求解極限的過程中，數學思維的多樣轉化也讓我們體會到了數學知識之間的緊密聯系，從而建立了邏輯清晰的數學知識體系.