注重概念的生成過程，促進學生對概念的內化
——以“弧度制”教學為例

郭森林 (福建經貿學校，福建 泉州 362000)

弧度制是中職數學階段學習的一個比較抽象的數學概念，《中等職業學校數學課程標準(2020年)》要求學生“了解1弧度的定義及弧度制；理解角度制與弧度制的互化，了解弧度制下的弧長公式和扇形面積公式”.教材上，弧度制定義出現得有些突兀，對應的素材不夠豐富，對于教師和學生來說都是一個教學和學習的難點.但是，弧度制是學習三角函數必不可少的工具，對弧度制理解不夠透徹將會影響接下來的學習，也會增加學生學習三角函數的心理障礙.因此，如何做好有效的教學設計是弧度制教學的一大難題.

一、弧度制教與學的現狀

在弧度制的教學方面，大部分教師在教學過程中都能夠注重教學情境的創設和以HPM視角來發掘數學史的教學價值，從而激發中職學生的學習積極性，提高學生的課堂參與度.徐稼紅在2019年江蘇省高中青年教師優秀課評比中指出：幾乎所有的選手對弧度制概念引入的必要性都缺乏具有說服力的解釋，這樣學生很難體驗角度制與弧度制相互轉化的數學價值.在中職數學弧度制課堂中，因學生的數學基礎及學習積極性都較為欠缺，中職教師面臨的問題將更加棘手，對弧度制的教學設計更容易暴露出以下問題：直接拋出弧度制的概念然后進入弧度與角度的轉換，對于缺乏學習動力的中職生來說，很難提起學習的興趣；未考慮學生的實際情況和接受能力，牽強引入各種學生聽不懂的數學歷史發展過程和案例，將相關史料以故事的形式作為課前導入，或者課中圖片展示，又或者課后史料補充，而且用時較多，這樣既有可能忽視“數學史”所體現的數學思維方法，又因缺失了學生的主動參與而影響了課堂效果，不利于學生對于弧度制概念的生成.

在弧度制的學習方面，對于三角函數這一章節的陌生增加了學生內心的恐懼.具體到弧度制這節，學生不明白為什么要用弧度制來度量角的大小，他們已經習慣了用角度制來度量；也不理解為什么要把180°轉換成一個無理數π，對學生來說，更能接受的是明確可知的數字180°，對無理數本身感到陌生和抗拒.

二、注重概念生成的教學設計

弧度制的教學應該認清知識點的本質，不是先給出概念再來驗證，而是要給出概念的生成過程，以學生的基礎為立足點來展開弧度制概念的教學，幫助學生深入理解弧度制的由來.

師：請同學們拿起尺子在紙上畫一個角，并觀察角是由什么組成的.

生：一個頂點和兩條邊.

師：請仔細觀察，角的大小跟兩條邊的長度有關嗎？

生：沒有關系，因為兩條邊都是射線，而射線是可以無限延長的.

師：很好！因此，我們就不能以這兩條邊的長度來度量角的大小，那要怎么度量角的大小呢？

生：看兩條邊張開的大小.

師：我們怎么知道這個大小呢？下面同學們來回憶一下我們初中時是怎么定義1度角的.

師：很好，那我們怎么得到1度角呢？

生：畫一個圓，然后將圓周360等分，每一份所對的圓心角就是1度角了.

師：沒錯，現在大家用圓規在紙上畫一個半徑為1 cm的圓，并將它的圓周360等分.

生：圓畫出來了，但是不知道怎么進行360等分.

師：這么看來，我們并不容易畫出1度角.

生：可以借助量角器來畫.

師：沒錯.不過請大家思考一個問題：角和量角器哪個先出現的呢？

生：是角，因為量角器是發明出來測量角的.

師：沒錯，那問題就來了，量角器誕生前我們是怎么測量角的呢？人類又是怎么制造出量角器的呢？

生：不知道.

師：大家先思考另一個問題：怎么測量圓的面積？

生：不能測量，是用圓的面積公式計算出來的.

師：我們需要知道什么數值才能計算呢？

生：半徑的長度.

師：沒錯，半徑的長度我們很容易測量出來.那角的大小能不能也像面積一樣借助半徑的長度來度量呢？

(學生陷入沉思)

師：接下來請同學們拿出課前準備好的漆包線進行裁剪，同一個小組內的成員的漆包線長度各不相同.每個成員以各自的漆包線的長度為半徑畫一個圓，再將自己的漆包線彎成弧形來截取這個圓的一段弧，畫出這段弧所對的圓心角，并剪下這個圓心角和這段弧所圍成的扇形.然后將小組各成員所得到的扇形紙片進行重疊，觀察每個成員所得到的圓心角的大小有什么關系.(如圖1)

圖1

生：(動手操作后)相等.

師：現在同學們已經能夠很輕易地畫出1 rad的角了，那么利用剛才手中的工具，你能畫出3 rad、6 rad、10 rad的角嗎？

生1：可以，截取等于三段半徑長度的弧長，它所對的圓心角就是3 rad的角.

生2：截取等于六段半徑長度的弧長，它所對的圓心角就是6 rad的角.

生3：截取等于十段半徑長度的弧長，它所對的圓心角就是10 rad的角.

師：很好，按這種方法我們就可以畫出任意一個nrad(n∈N*)的角了.

師：大家再思考一個問題：如果已知的是弧長，你可以得到這個弧長所對的圓心角是多少弧度嗎？(如圖2)

圖2

生：用弧長除以半徑就可以了.

生：補上符號 “±”.

教師在進行弧度制概念教學時，應該讓學生明確本節課學習的對象是熟悉的角，是學習除角度制外的另一種新的角的度量方式，而不是直接面對弧度制.從角、1度的角等學生熟悉的知識點出發，圍繞“如何度量角”這一核心問題來引導學生對弧度制進行探索，從情感上學生也會減少對本節課的畏懼心理.

師：由此能得到的弧長公式是什么呢？

生：l=|α|r(其中，l是弧長，α是該弧長所對的圓心角，r是圓的半徑).

師：有誰還記得初中學過的弧長公式呢？

師：接下來大家再回顧一下初中所學的扇形面積公式.

師：學習完弧度制，我們可以得到一個新的扇形面積公式嗎？

師：學習完弧度制對我們有什么影響呢？

生：公式變得簡單好記了！

師：沒錯，這也是我們在有了角度制后還要學習弧度制的一個很重要的意義，它使得科學上的很多公式得以簡化.

師：大家再觀察一下弧長公式和扇形面積公式，在角度制和弧度制下同一個公式分別應用了什么進位制？

生1：角度制下圓心角是六十進制的，而其他量是十進制的.

生2：弧度制下所涉及的量都是十進制的.

師：這么看來弧度制不止簡化了公式，還統一了進位制，這將便于后續的計算.以后我們就可以用弧度制對角進行度量了，單位(rad)可以省略.

(教師用表1的形式展示給學生)

表1 角度制與弧度制的區別

教師以表格對比的形式讓學生直觀地感受在已經學習了角度制后再學習第二種角的度量方式——弧度制的意義，激發學生學習弧度制的動力.

師：我們知道周角在角度制下表示為360°，你能用弧度制來表示它嗎？

師：很好，那2π弧度到底有多大呢？大家知道，這里的π是一個無理數，約等于3.14，即2π≈6.28，所以，我們就可以很清楚地知道2π弧度大約等于6.28弧度.

這里把學生“捉摸不透”的無理數2π用6.28來表示，對于數學基礎薄弱的中職學生來說是非常有必要的，它可以降低學生學習數學的恐懼感，將抽象的數學知識直覺化，方便學生自由運用，也有助于弧度制概念的順利構建.

師：大家再思考一下，平角等于多少弧度呢？

師：很好，那π(rad)換成具體數字大約是多少呢？

生：3.14弧度.

師：好，那我們現在總結一下角度與弧度的轉換.(板書)

1周角=360°=2π(rad)≈6.28 rad

1平角=180°=π(rad)≈3.14 rad

師：現在請同學們完成表2中角度與弧度之間的轉換.

表2 角度與弧度之間的轉換

教師圍繞“角的度量”引導學生一起探討了“如何畫出給定弧度數的角”和“如何用弧度制表示給定的特殊角”兩個問題，讓學生盡可能參與到具體的教學情境中，加深學生對弧度制的理解，有助于弧度制概念的生成.

師：上節課我們剛剛學習了角的概念的推廣，認識到角有正角、負角、零角之分.現在我們學習了弧度制，是否也可以用弧度制表示出所有的角呢？

生：能表示的角的范圍是負無窮大到正無窮大，在這個范圍內可以表示出任意實數的角度.

師：沒錯，所以我們規定：正角的弧度為正數，負角的弧度為負數，零角的弧度為零.采用弧度制之后，每一個角都對應唯一的一個實數；反之，每一個實數都對應唯一的一個角.這樣，角與實數之間就建立了一一對應關系.(如圖3)

圖3

至此，學生在教師的指引下，全程參與了弧度制的概念建構過程，對于弧度制已經有了一個初步的認識.接下來，教師可以結合學生和課堂的實際要求，進行適當的歷史介紹，從度量角的演化史出發讓學生更深刻地感知人類發展的探索歷程，這樣能夠讓學生更加深刻地理解學習弧度制的原因，增強學習弧度制的動力和信心.

三、教學反思

在“弧度制”這節課，我們不能只是單純地向學生展示現成的知識，那樣不利于學生對弧度制概念的內化.筆者從學生熟知的知識點出發，設置了一系列學生“夠得著”的問題來引導他們進行思考，通過動手操作、畫圖等多個活動環節讓學生更充分、更深切地參與到整個教學環節中，并在教師的適當指引下一起探索弧度制概念的生成過程.同時，教師通過對角度制和弧度制相關內容的直觀對比，引導學生對已有知識結構進行更新、重組，將碎片化的知識點結構化，讓學生深刻體會學習弧度制的目的.