感悟方程本質，建立模型思想

李靜

【摘 要】在小學階段，就方程的概念學習來說，概念的意義比概念的定義更為重要。史寧中教授認為：一元一次方程比較全面地展示了建模思想——用等號將相互等價的兩件事情聯立，等號的左右兩邊等價。這是數學建模的本質表現之一。可見，認識方程的核心在于認識其內在的“等價關系” 模型。我們知道，方程的歷史演變經歷了文辭式方程、縮寫式方程、符號式方程三個時期。教學時，我們可以由方程外在描述性的定義出發，去感悟概念的豐富意義，感悟方程的模型思想。

【關鍵詞】方程的概念 等價關系 模型思想

【教學內容】

蘇教版數學五年級下冊第1頁例1、例2，“練一練”和練習一第1、2題。

【課前慎思】

如何感悟方程本質，建立模型思想呢？本課以蘇教版數學五年級下冊《認識方程》第一課時為例進行設計。首先，引導學生認識天平，感受平衡，關注等量關系;其次，引領學生共同探究，經歷方程概念的形成過程;最后多樣練習，深度建模，學生在嘗試應用中鞏固方程模型。

課前談話。猜蹺蹺板謎語，說說玩蹺蹺板的經驗。

師：讓我們回到童年，一起用動作體驗玩蹺蹺板。（師生共同用雙手做動作，感受平衡、不平衡的狀態）

一、認識天平，感受平衡

師：今天我們一起來認識方程。 關于方程，你們有什么問題要問？

生：什么是方程？怎么列方程？學習方程有什么用？……

師：今天，我們重點研究什么是方程，怎么列方程。

師：學習方程離不開一件工具。（出示天平圖，圖略）認識嗎？誰來介紹？

生：這是天平，當天平兩邊稱的物體一樣重時，天平就會平衡。

師：像這樣，（用雙手表示平衡）我們就說天平處于平衡狀態。

生：當天平兩邊稱的物體不一樣重時，天平就會向左傾斜，或者向右傾斜。

師：像這樣，（用雙手表示不平衡）我們就說天平——

生（齊）：不平衡。

……

【思考】數學知識來源于生活，數學教學應以學生的認知水平和已有經驗為基礎。“蹺蹺板”作為兒童生活中較為熟悉的游戲活動，有著與天平相似的工作原理，作為課前談話，既可以激起學生的學習興趣，又可以為后面的學習做鋪墊。

二、共同探究，了解方程

（一）用等式表示天平平衡狀態

師：你看到了什么？想到了什么？（觀察圖1）

生：左邊一個50克的雞蛋和一個50克的砝碼，右邊一個100克砝碼，天平平衡。

師：你能用一個式子表示出天平現在的狀態碼？

生1： 50克的雞蛋+50克的砝碼=100克砝碼。

生2： 50克+50克=100克。

生3： 50+50=100。

師：比一比，你最喜歡哪個式子？

生：第三種50+50=100，最簡潔。

師：天平左邊是50+50;右邊是100。圖中哪有“=”？

生：天平是平的，（邊說邊用動作表示平衡）說明天平左右兩邊相等。

師：我們以前也學過等式，你能舉例嗎？

（生舉例）

【思考】天平直觀地呈現，激活了學生的已有經驗，學生通過天平的狀態用數學語言建構等式及不等式，真正認識到等號的本質意義，表示兩邊的等價關系。

（二）用含未知數的式子表示等量關系

師：在天平左邊放一個物體，天平兩邊物體的質量關系可以怎樣表示呢？（觀察圖2）

生1：這個物體不知道多重。

生2：可以用字母x表示，字母可以表示不知道的數。

師：哦，看來這里的未知數和已知數在一起，有點“已知數”的味道了。

師：為了使天平達到平衡，老師用砝碼進行了各種調整，請你用關系式記錄你看到的情況。學生在材料紙上完成，并匯報交流。（詳見圖3）

展示學生記錄：（1）一個物體x克+50克的砝碼>100克砝碼;（2）x+50>150;（3）150-50=x;（4）x+50=150;（5）x+50<150;（6）x+x=200;（7）2x=200。

師：比較一下，你們有什么想說的？

生1：我覺得（2）簡單些，（1）的記錄比較麻煩。

生2：我認為（3）是在算x等于多少，不是天平現在的樣子。

生3：不需要改變未知數的位置，（4）的記錄反映了天平的狀態，簡潔清楚。

生4：我認為（6）的x+x就是2x，（7）的2x=200更簡潔。

師：是呀，數學關系式記錄，就是用數、符號、字母等進行最簡單的表述。

【思考】在教學中引導學生展開觀察、比較、交流，學生就能深刻感受到在客觀描述天平狀態時，已知量和未知量是平等的。同時感受到“=”是描述天平兩邊的等價關系，而不是以往經驗中，從已知到未知的推算。感悟建構方程模型的方法：客觀闡述等價關系。

（三）分類、比較，揭示方程的意義

師：你能將黑板上的式子分分類嗎？

生1：把相等關系的式子分成一類，不相等關系的式子分成一類。

生2：這些表示相等關系的式子都可以叫等式。

師：今天學的等式和以前學的等式有什么不同？

生：今天學的等式里有字母，以前學的等式里沒有字母。

師：像x+50=150、2x=200這樣含有未知數的等式就是方程。

師：老師用一個圈把所有的方程都圈起來，那么，你能圈出所有的等式嗎？

展示學生圈的情況（如圖4）。

師：沒有圈到的可以叫——

生：不等式。

師：看看這兩個圈，你們有什么發現？

生1：等式里面包含方程。

生2：所有的方程都是等式。

師（總結）：方程一定是等式，而等式不一定是方程。

【思考】描述現實世界中數量關系的式子有多種，讓學生從常見的關系式中，通過觀察、比較、分類、抽象、概括逐步歸納出方程的概念，明確概念的內涵與外延，自主建構對概念本質特征的認識。

三、多樣練習，深度建模

（1）看圖列式。（如圖5）完成后小組內交流，說說你是怎么想的。

展示：①4x>800;②250=x+y;③5A+300=800;④50+12=62。

生1：我覺得②250=x+y、③5A+300=800是方程，其他不是。

生2：有兩個未知數，為什么也是方程？

生3：因為只要是相等的式子，而且含有字母就是方程。

生4：③不是沒有天平了，怎么還能列出方程？

生5：因為5個小杯的容量加上300毫升就是總共的800毫升。

師：看來，沒有天平了，你們也能找到平衡。這就是數量之間的一種關系，數學上稱為——

生（齊）：等量關系。

師：大家都覺得④不是方程，誰能修改一下，讓它變成方程？

（生匯報）

師：其實，早在一、二年級時，咱們就已經接觸到了方程：（ ? ? ）+5=8，（ ? ? ）×6=18，（ ? ? ）÷5=2。

（2）看圖列方程。（如圖6）

（3）用方程表示下面的數量關系。（如圖7）

師：其實，我們生活中的衣食住行等各方面都隱含著很多的相等關系，這些相等關系都能用方程表示出來。

【思考】方程留在學生腦海中的不僅是“含有未知數的等式”這樣一句話，重要的是明確列方程的過程，學會把已知數當成未知數一起找等量關系，列出方程，從而深刻建立方程的模型。

四、回顧總結，積累經驗

師：同學們掌握得真不錯，那學習方程有什么用呢？未知數該怎樣求呢？關于方程更多的問題，我們以后繼續研究。