變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式的推廣及其應(yīng)用

張磊 王利巖 楊盛武

摘?要：本文在常見變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式基礎(chǔ)上，探究含參變量的積分函數(shù)求導(dǎo)問題，給出含參變量積分函數(shù)求導(dǎo)公式，并結(jié)合算例給出公式的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變限積分函數(shù);含參變量;求導(dǎo);應(yīng)用

中圖分類號：O172?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

變限積分函數(shù)是聯(lián)通微分學(xué)和積分學(xué)的橋梁，它的求導(dǎo)問題是高等數(shù)學(xué)考查的重點，也是研究生入學(xué)考試解答題中常見的綜合形式之一。在教研過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對變限積分函數(shù)變化型的求導(dǎo)方法掌握欠佳，尤其是含參變量函數(shù)的求導(dǎo)計算極易出錯。為此，童旭輝等[1]討論了變限積分函數(shù)的連續(xù)可導(dǎo)性，王澤暉[2]給出了含參變量積分在重積分下的推廣公式，鈕宏霞[3]將變限積分求導(dǎo)推廣到高維空間中的典型立體上并給出其應(yīng)用。本文在以上理論基礎(chǔ)上，對變限積分函數(shù)基本求導(dǎo)公式進(jìn)一步推廣，結(jié)合實例梳理不同類型變限積分函數(shù)求導(dǎo)方法，并建立相應(yīng)變化型函數(shù)的求導(dǎo)公式。

一、變限積分函數(shù)及其求導(dǎo)公式

在高等數(shù)學(xué)中，有如下定義及定理：

值得注意的是，結(jié)合例4.2對比例4.1③的兩種方法易見，公式法用于完成被積函數(shù)為具體函數(shù)時的求導(dǎo)計算更方便，當(dāng)被積函數(shù)為抽象函數(shù)多用變量替換法或定積分的齊次性先對積分函數(shù)整理再使用變限求導(dǎo)公式。

五、小結(jié)

本文介紹了幾類變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，并給出了相關(guān)定理的證明。對于工科學(xué)生來說，掌握變限積分函數(shù)求導(dǎo)的一般公式并熟練使用公式做題是教學(xué)重點，相關(guān)定理的證明是這部分學(xué)習(xí)的難點，證明過程有助于學(xué)生復(fù)習(xí)和加深前期理論，帶動學(xué)生思考問題積極性，教師在設(shè)計本次教學(xué)時可以提前給出儲備知識減弱學(xué)生負(fù)擔(dān)。另外，教師在授課過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多觀察，勤思考，找準(zhǔn)異同點，排除干擾，注重不同類型積分函數(shù)求導(dǎo)法的歸納整理，積極創(chuàng)造條件讓學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識和基本技能有效解決做題中遇到的困難，提高學(xué)生的學(xué)生微積分的積極性和學(xué)習(xí)效率。本文適合作為初學(xué)高等數(shù)學(xué)的課堂同步輔導(dǎo)，高數(shù)期末復(fù)習(xí)以及考研第一輪復(fù)習(xí)時的參考資料。

參考文獻(xiàn)：

[1]童旭輝，張海亮，楊傳勝.被積函數(shù)含間斷點的變限積分的連續(xù)可微性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（5）：123-126.

[2]王澤暉.含參變量函數(shù)積分求導(dǎo)的推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21（3）：104-105.

[3]鈕宏霞.變限積分求導(dǎo)公式在高維典型立體上的推廣[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2008，38（20）：234-238.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2015.

基金項目：遼寧省教育廳青年項目（L201730）;遼寧省科技廳博士啟動項目（201601173）

作者簡介：張磊（1986—?），女，博士研究生，碩士生導(dǎo)師，講師，研究方向：控制論、微積分。