淺談高考立幾題的幾種求解方法

冷幫銀

摘要：立體幾何是在高考中常考不衰的考點。其中求平行關系和角更為突出。通過探討高考中相關題目的解題方法和及思路，會有助于教學方法的進一步完善。以及能讓學生更深層次的學習此內容。

關鍵詞：高考;立體幾何;平行;角

1 ?立體幾何的高考背景

立體幾何是高考必考內容，立體幾何的考查主要有以下幾個方面：一是幾何圖形的三視圖;二是點、線、面之間的位置關系，其中重點是平行關系、垂直關系、異面關系;三是空間角度，命題的重點是二面角、直線與平面所成角、異面直線所成角，在這三個求角的類型以求二面角為高考常見大題。以下則是高考中立體幾何的幾個典型例子及幾種常見解法。

2 ?立體幾何的幾種題型的求解方法

2.1 ?三視圖

2.1.1 ?主視圖和左視圖

主視圖和左視圖都是三角形的必然是椎體。還有兩種特殊的情況：一是棱錐和半圓錐的組合體;二是半圓錐。如何確定就是通過俯視圖的觀察。

（1）若俯視圖是三角形時是三棱錐;

（2）若俯視圖是多邊形時是多棱錐;

（3）若俯視圖是圓時是圓錐。

2.1.2 ?求表面積

在求表面積的時候，應先求出立體幾何，在根據表面積的公式求出答案，特別注意，如果是幾何體組合，應去掉重合的部分。

2.1.3 ?體積

在求體積的時候，應先求出立體幾何，在根據體積的公式求出答案，如果是幾何體組合，應分別求出然后再相加。

例1.在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F，G.該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應的側視圖是

A. B. C. D.

小結：根據三視圖定義解決問題。

解析 ?下圖是還原后的幾何直觀圖，分別取BC、AD的中點E、F，連接SE、SF、EF.由已知數據有

AB=BC=CD=DA=SE=EF=2，BE=EC=1，

∵△SBC是等腰三角形，

∴SC=SB=，

又∵△SDA是等腰三角形，

∴SF⊥AD，∴SF=，∴=4，S△SCD=2，

S△SBA=S△CDS=，S△ADS=，

∴SS-ABCD=6+2（+），

∴.

小結：此類題目一般都是先根據題目數據判斷出立體圖形的結構，根據分析出來的結果，利用所學的基本公式求解。

2.2 ?點、線、面之間的位置關系

2.2.1 ?定理的應用

點、線、面之間的位置關系主要是考查定理的應用。一般出現在選擇題和填空題中。

2.2.2 ?空間中的平行關系

此內容一般考點在直線與平面平行的判定及其性質，平面與平面平行的判定及其性質以及運用定理證明一些空間平行關系。

例2 ?三棱柱ABC-DEF的底面是正三角形，側面與底面垂直，點G是DF的中點，求證：BF∥平面AEG.

方法一 ?連接DB，設AE∩DB=O，則O為DB的中點，連接OG，則OG為△DBF的中線，

∴OG∥BF，∵OG平面AGE，∴BF∥平面AGE

方法二 ?延長AG與CF的延長線交于O，連接EO，

∵G為DF的中點，且GF∥AC，

∴==，

∴OF=FC=EB，又∵FC∥EB，

∴四邊形BEOF為平行四邊形，

∴BF∥EO，又∵平面AGE， OE平面AGE

BF∥平面AGE （根據判定定理）.

小結：方法一和方法二都是利用判定定理來解的，由線線平行線面平行。所以此類題目主要抓?。壕€線平行線面平行面面平行，那么做此類題目就輕松。

2.3 ?求解角

2.3.1 ?線面角求解

在求解線面角的時候，有兩個大方向。一是找到直線在平面里內的射影，而找到射影的關鍵就是找到直線上一點到平面的射影。這樣就可以解出線面角。二是利用向量，我們找出直線上一個向量和平面的法向量，求出兩個向量的夾角，就求出線面角了。

例4 ?正三棱柱ABC-FGH中，BC=2，AF=，D、E分別是AF、GH的中點，求直線FG與平面BCD所成角.

法一 ?∵AB∥FG，∴FG與平面BCD所成的角就是直線AB與平面BCD所成的角過A點做AL⊥DF于L點連接BL，

∵BC⊥平面AFE， ∴BC⊥AL

∴AL⊥面BCD

∴∠ABL為AB與平面BCD所成角

∵BC=2，AF=，∴AD=，AE=，

在中，AL=1，在Rt△ABL中AL=1，AB=2，

∴∠ABL=30°，FG與平面BCD所成角為.

小結：在求線面角直接求的時候，特別要找準直線上的點在平面內的射影，在這個過程中大多數都用到了三垂線定理。還有是最后算出的結果是平面法向量與直線的夾角，那么應該用減去算出的角才是線面所成角。

3 ?高考中立體幾何試題的特點及解題應注意的問題

總之，我個人認為在今后的高考中，立體幾何的綜合題出現的機率非常大，因此我覺得考立體幾何的綜合題仍會成為高考的熱點和重點之一。因此，對即將成為高三教師的我而言，在這部分內容的教學過程中會特別注意以下問題：

（1）一定要重視基礎知識的講解，讓學生完全理解。也就是說通過講解，讓學生能真正理解平行的判定定理以及在求線面角和二面角的解題思路。

（2）讓學生在綜合運用中去體會解題策略，具體措施則為：以求解平行關系和求解角的問題為主，突出求解立體幾何的綜合應用。達到學生在立體幾何部分不丟分。

4 ?總結

立體幾何的解題方法多種多樣，有時會因為你作的輔助線不同解題方法不同，也有可以因為你作的空間坐標系不同，導致數據不一樣，但是最后的結果是一樣的。因此，我今后在講授這一知識點時，一定要講解透徹，以理論聯系實際，讓學生自己總結出做此類題的方法，最終達到解題的目的。