基于稀疏正則化和漸近邊界假設的運動模糊圖像盲復原

龔 平， 賀 杰a, 2， 劉 娜， 盧振坤

(1. 梧州學院a. 廣西高校圖像處理與智能信息系統重點實驗室， b. 電子與信息工程學院， 廣西梧州543002；2. 湖南大學信息科學與工程學院， 湖南長沙410082； 3. 重慶大學計算機學院, 重慶400044；4. 廣西民族大學電子信息學院， 廣西南寧530006)

在圖像成像的過程中，因相機抖動而產生運動模糊圖像的現象普遍存在。在圖像處理的相關研究中，將模糊圖像復原成清晰圖像是一個重要研究內容。圖像去模糊的過程中，根據模糊核已知與否的性質可劃分為盲復原和非盲復原。對于真實拍攝環境中形成的運動模糊圖像，通常模糊核是未知的，模糊圖像盲復原的關鍵是找到圖像的退化模型或點擴散函數(PSF)，并采取相反的過程來得到清晰圖像。運動模糊盲復原是圖像復原中一個極具挑戰的重要研究課題。

利用圖像的稀疏性和自然圖像的重尾分布作為先驗知識，模糊圖像盲復原取得了較好的研究成果。Fergus等[1]提出一種基于變分貝葉斯的消除相機抖動模糊圖像的盲復原方法，利用零均值的混合高斯分布來擬合圖像梯度的重尾分布，利用混合指數分布來擬合運動模糊的點擴散函數的分布，并提出多尺度復原的思路由粗至細估算模糊核。Krishnan等[2]采用L1/L2、L1范數作為正則項，建立了基于圖像梯度的盲復原目標函數，并通過交替最小化方法求解清晰圖像和模糊核的估計值，該方法應用于真實模糊圖像的復原效果良好。Xu等[3-4]提出一種基于L0范數的稀疏表示方法用于模糊圖像盲復原，利用L0梯度最小化的優化框架實現模糊核盲估計，該優化框架可以全局控制產生非零梯度的數量，以稀疏控制的方式逼近突出結構。針對相機抖動產生的模糊文本圖像，Pan等[5]提出基于圖像梯度和像素稀疏特性以L0為正則項建立目標函數，利用半二次方分裂法和Fletcher-Reeves(FR)型共軛梯度法交替求解未知的清晰圖像和模糊核，該方法也適用于一些自然場景模糊圖像。

近年來，以圖像的稀疏特性為基礎，運動模糊圖像盲復原研究中涌現了不少新思路。余義斌等[6]利用卷積核譜特性和清晰圖像梯度域超拉普拉斯先驗聯合建立了含噪圖像的盲復原模型，通過迭代策略交替細化模糊核和清晰圖像，最后針對超拉普拉斯先驗項提出變量分離法計算清晰圖像，并采用快速傅里葉變換及封閉閾值公式以提高速度。秦緒佳等[7]在綜合考慮圖像邊緣幅值和梯度的基礎上，篩選出用于模糊核估算的圖像子區域，并對模糊核的稀疏性進行超拉普拉斯約束以快速、精確地估算模糊核。王凱等[8]針對單幅運動模糊圖像建立了基于加權L1范數的模糊核盲估計模型，同時通過迭代收縮閾值數值算法求解模糊核盲估計值，最后基于超拉普拉斯先驗對模糊圖像進行快速非盲復原。李正周等[9]結合空間目標圖像梯度的稀疏特性，采用圖像梯度的L0范數提取有利于模糊核估計的圖像顯著邊緣信息，采用Lp范數和L0范數對圖像的梯度分布和空間域進行稀疏約束，最后采用拉普拉斯分布先驗對模糊核進行約束，采取交替迭代策略求解模糊核和空間目標圖像。岳有軍等[10]提出一種基于暗通道與低秩先驗的圖像盲去模糊方法，利用圖像暗通道的稀疏性進行中間復原圖像估計，并引入帶權值的低秩先驗約束抑制中間復原圖像中的噪聲，通過交替迭代的優化策略得到模糊核的估計值。Cho等[11]在圖像梯度稀疏性的基礎上提出基于能量函數自動選擇模糊核尺寸的模糊核估計算法，取得了較好的復原效果。許影等[12]以二值圖像為研究對象，利用L0梯度圖像平滑方法獲得明顯的圖像邊緣以估計模糊核。耿源謙等[13]提出了一種混合正則化約束的模糊圖像盲復原方法，采用L0范數正則項對模糊核進行稀疏約束，根據圖像梯度的稀疏性，采用混合一階和二階圖像梯度的L0范數對圖像梯度進行正則化約束，并通過交替方向乘子法對模型進行求解，最后非盲復原階段采用L1范數數據擬合項和全變分(TV)的方法復原得到清晰圖像。該方法復原的圖像具有較清晰的細節和邊緣信息。耿文波等[14]根據自然圖像的稀疏特性，提出一種結合梯度域和空間域的稀疏先驗模型對復原圖像進行正則化約束，并根據運動模糊核的稀疏平滑特性提出結合L0先驗和Lp(0

為了進一步提升盲復原效果，一些研究者通過假設復原模型中圖像的邊界條件來抑制振鈴。經典的邊界條件有零邊界、循環邊界、Neumann邊界、抗反射邊界等。這些邊界條件在傳統的非盲復原中能比較有效地抑制振鈴，但是不適用于許多新的復原方法。Liu等[16]提出了一種簡單的平滑擴展邊界方法，將該邊界條件的優點與快速傅里葉變換的有效性相結合，在很大程度上減少了由邊界值問題引起的視覺偽影。Zhou等[17]提出一種基于反卷積框架的邊界條件，將卷積矩陣看成部分卷積矩陣與邊界條件矩陣的結合，通過計算邊界條件矩陣的伴隨矩陣來求解清晰圖像。趙明華等[18]提出一種正弦積分擬合的圖像復原邊界振鈴效應抑制方法，能夠有效地控制計算量，并且能夠較完整地保留圖像邊緣信息。

為了減少振鈴干擾，本文中提出一種新的漸近邊界作為邊界假設條件，在盲復原方面，建立基于Lp范數的稀疏表示方法用于估計模糊核，更好地保持模糊核的稀疏性；利用Lp范數表示圖像梯度域的超拉普拉斯稀疏先驗，結合TV范數有效地保持圖像的結構信息；基于漸近邊界條件進行圖像復原，更好地消除振鈴影響。

1 盲復原模型

在不考慮噪聲的情況下，運動模糊圖像的形成定義為

y=k?x，

式中：y為觀察到的運動模糊圖像；k為模糊核；x為清晰圖像； ?為卷積符號。

運動模糊盲復原是在k和x都未知的情況下，通過y得到估計的k和x。圖像的梯度先驗知識廣泛應用于運動模糊圖像的去模糊，已有研究證明，它們在抑制偽影方面是有效的。文獻[5，19]中的研究表明，模糊圖像的梯度非零值比清晰圖像的分布更密集，也就是說，模糊圖像的梯度具有明顯的稀疏性。鑒于此，本文中采用Lp范數(0

大量研究和模擬實驗表明，相機抖動的模糊核也具有明顯的稀疏性，因此本文中以Lp范數 (0

建立求解k、x估計值的目標函數為

(1)

1.1 清晰圖像的估計

根據式(1)建立的目標函數，對于給定的k，求解x估計的公式為

(2)

采用半二次方分裂法求解， 引入2個額外的參數u和g=(gh,gv)分別近似x和x， 其中gh為水平方向的梯度，gv為垂直方向的梯度。 式(2)改寫為

(3)

式中λ、μ為正則化參數。

在交替求解x和k的過程中，求解x的公式為

(4)

x的閉合解為

(5)

對于u和g，有

(6)

(7)

進而有

(8)

式中dTV(u)為矩陣u的TV范數的導數。

對于式(7)，Lp范數是凸函數；但是不可導，因此用可導的近似函數作為Lp范數的近似替代。在交替求解的迭代過程中，g的近似求解公式為

(9)

(10)

1.2 模糊核的估計

根據式(1)，對于給定的x，求解k的估計的公式為

(11)

大量的實驗研究驗證了基于圖像梯度的方式具有更好的效果，因此將式(11)改寫為

(12)

(13)

式中:ki為模糊核k中的每項元素；σ為常量且趨于0。 模糊核k中的元素應具備大于或等于0的特點， 此外， 為了保證算法的穩定性， 應對k進行歸一化處理。

2 邊界條件

圖像復原的結果通常會受到振鈴干擾，其中一種有效的減少振鈴影響的方法是假設邊界條件。本文中提出一種基于鄰近像素的漸近邊界假設條件，將運動模糊圖像y通過8個附加區域進行擴充為I，如圖1所示。

1—8—區域編號。

假設模糊圖像y的高度為H(單位為像素)、 寬度為W(單位為像素)，即y的尺寸為H×W，運動模糊核的尺寸為n×n， 圖1中區域5—8的大小均為n×n。區域1、 4的像素通過靠近模糊圖像y的方向上的3個相鄰像素取均值并逐行填充。區域2、 3的像素通過靠近模糊圖像y方向上的3個相鄰像素取均值并逐列填充。特別地，端點像素取靠近y方向的2個像素的均值。

以區域1、 2為例。對于區域1，

y(i+1,n+j+1)], 1≤i≤n，1≤j≤W；

(14)

對于區域2，

y(n+j+1,i+1)], 1≤i≤n，1≤j≤H。

(15)

填充的順序由內向外，如圖1中箭頭方向所示。因為填充方式呈現對稱性，所以區域3、 4采用同理的方法進行填充。

然后對區域1—4實施漸近變化的處理，

(16)

區域5—8分別用區域1—4最鄰近的行與列填充其上三角部分或下三角部分，如圖2標注的箭頭方向所示。以區域5為例，該區域的上三角部分通過區域1最左側的一列進行填充，下三角部分通過區域2的最上方的一行進行填充，對角線上的元素取二者的均值。

1—8—區域編號。

通過上述8個附加區域對模糊圖像填充完成之后，在式(2)—(10)的計算中用I代替y。

3 算法描述

在盲復原階段，通過交替求解x和k最終確定模糊核的估計值。具體算法描述如下。

輸入：進行了邊界條件假設的運動模糊圖像I。

輸出：估計的模糊核k。

初始化：設置金字塔等級N，初始化模糊核k，并將清晰圖像估計值x賦初值為I。

循環從1到N進行：

1)通過式(5)求解x；

2)通過式(12)求解k；

3)通過金字塔的遞進關系調整模糊核k的尺寸。

得到模糊核k的估計值后，相機抖動運動模糊圖像復原問題變為非盲復原問題。通過再次求解式(2)進行最終的非盲復原。由于擴展了模糊圖像的邊界，因此需要按模糊圖像y的尺寸截取x，從而得到清晰圖像。

4 結果與分析

實驗分為2個部分： 1)對比模糊核盲估計， 針對相機抖動運動模糊圖像對比不同復原算法得到的模糊核估計值； 2)對比邊界條件對盲復原的影響， 利用不同的邊界條件， 對比盲復原效果。 實驗參數設置如下：α=4×10-3，β=4×10-3，φ=10-4，τ=10-6，σ=10-6， 式(10)中p取值為2/3， 式(12)中p取值為0.1。 部分實驗用圖像如圖3所示。

4.1 模糊核盲估計實驗

與文獻[5，20]中的盲復原算法進行對比實驗，比較不同算法得到的模糊核估計值，部分實驗結果如圖4—6所示。

從圖4—6中可以看出，本文中提出的方法得到的模糊核估計值與文獻[5，20]所得到的模糊核具有相似的結構，說明本文中提出的方法是可行的。

4.2 模糊圖像盲復原實驗

將本文中所提出的邊界假設條件與文獻[16]中所提出的邊界條件、 經典的循環邊界條件和Neumann邊界條件進行對比實驗， 部分復原效果如圖7—9所示。

從圖7—9中可以看出，采用經典的循環邊界、Neumann邊界作邊界條件時復原結果中具有明顯的振鈴效應，復原效果明顯劣于文獻[16]中的方法和本文中提出方法的復原效果。從主觀評價的角度來看，本文中提出的方法在一些圖像細節上的復原效果比文獻[16]中的方法略好。在客觀評價上，采用灰度平均梯度值(GMG)和圖像熵作為客觀評價圖像復原效果的指標。GMG值越大，表示圖像越清晰，噪聲越小，細節越完整，圖像恢復質量越好；圖像熵值越大，說明圖像的信息量越大，保留的細節越豐富，相應圖像的恢復質量越好。本文中提出的方法與文獻[16]中的方法復原效果客觀評價結果見表1。由表可知，針對不同的相機抖動運動模糊圖像，與文獻[16]中的方法相比，本文中提出的方法的復原結果具有更大的灰度平均梯度值和圖像熵值，說明用該方法恢復的圖像質量更好。

表1 不同邊界條件復原圖像效果的評價

5 結論

針對相機抖動引起的全局運動模糊圖像盲復原問題，本文中提出了基于圖像梯度Lp范數結合圖像TV范數作為正則項建立模型求解清晰圖像的圖像復原方法，得到如下結論：

1)該方法能夠有效地優化復原圖像的視覺效果并保持圖像的結構。

2)利用Lp范數作為稀疏約束正則項用以求解模糊核，有效地增加了模糊核估計值的準確性。

3)提出一種漸近邊界作為圖像未知邊界的假設條件，在很大程度上抑制了振鈴干擾。實驗證明，方法可行，并且能夠取得較好的圖像復原效果。