中學數學教科書中問題設置的分析與啟示

王 嶸 王翠巧

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

問題在數學中的重要性不言而喻.最新課程文件《普通高中數學課程標準(2017年版)》[1]首次明確了數學課程的“四能”：從數學角度發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力.那么教科書中關于問題及問題能力構建的情況如何呢？為此，我們從教科書中問題設置數量的歷史性變化入手，分析問題設置的變化以及新變化帶來的學習機會，以期在義務教育數學教科書修訂之際，為數學教科書中的問題設置及問題能力構建提供一些有益的啟示與建議.

1 問題設置的歷史變化

對于基礎教育課程，2000年是教學大綱向課程標準的變化節點.鑒于此，通過統計人教版九十年代和2000年之后共三個版本的中學數學教科書[2-7]中的問題數量，我們發現初中教科書中問題的數量逐套減少，而高中教科書中問題的數量逐套增加.為了進一步了解問題數量變化之處，根據問題在教科書中所處的位置，我們又將教科書劃分為正文和習題部分，而正文又進一步劃分為知識講解和例題部分，這三部分的問題數量統計數據如圖1和圖2所示.

圖1

圖2

可以看到，無論是初中還是高中，九十年代教科書中的問題，基本就是題目，其中又以習題，即用于學生練習的題目為主，比重達到了81%；2000年以后，習題的比重下降了近20%，而知識講解部分比重增加了近20%.

事實上，作為教科書主體問題的例題和習題，因其在知識學習和能力培養方面的重要價值，一直是我國數學教科書的特色之一，而教師由教科書中的眾多經典例題和習題出發編制變式問題進行教學，也成為我國中學數學教學的特色之一[8].如今，與以往教科書相比，在2000年后的中學教科書中，問題不僅是例題和習題，知識講解部分增加了大量的新問題.那么這些新問題作為數學學習活動的載體，它們為數學學習提供了哪些機會，又從哪些角度培養了數學能力呢？

2 新問題及其類型的分析

數學問題能夠把學生的注意力引向特定的學習內容，促使他們積極思考、理解和運用數學.不同認知要求的問題往往會帶來不同的學習機會，而高認知要求的問題需要學生進行有聯系、綜合地思考.教科書中的知識講解本身就是一個新知識學習的過程，那么知識講解中的問題必然承擔著為學生提供學習機會的任務.因此，我們采用從一個問題所提供的學習機會角度對問題進行分類，將知識講解中的問題分為兩種機會五種類型：如果是讓學生擁有一項知識，根據認知水平，分為了解和理解兩類；如果是讓學生經歷一個思維過程，根據思維方式，分為抽象與概括、探究與發現、反思與歸納三類.

根據這種分類方法，我們從類型分布和知識領域分布兩個角度分別統計了現行中學教科書[4][7]中這五類問題的數量，來分析新問題為學生提供學習機會的情況.

2.1 知識講解部分問題的類型分布

圖3是初中和高中知識講解部分中不同類型問題數量的百分比，可以發現初中階段了解和理解并重，高中階段更加注重知識的理解；同時，初高中都很注重讓學生去探索與發現.

圖3

具體到每一類，在初中，探索與發現占比最高，將近40%，其次是了解和理解，這三者之和占比約85%；在高中，探索與發現、理解的占比幾乎一樣高，這兩者占比達到了70%.同時，無論是初中還是高中，反思與歸納占比都最低，分別為3%和6%.

2.2 知識講解部分問題類型的知識領域分布

圖4和圖5分別是初中和高中知識講解部分問題在不同知識領域的數量百分比.結合各個領域的課時量，四個知識領域中問題數量的分布很均衡，每課時約2個問題.

圖4

圖5

在初中階段，函數和概率統計領域為擁有知識和經歷思維過程提供了幾乎同等的學習機會，而代數和幾何領域為經歷思維過程提供了更多的學習機會；四個領域為經歷思維過程提供的學習機會，主要都是探究與發現，尤其是概率統計，“經歷思維過程”就是探究與發現，幾乎沒有抽象與概括、反思與歸納.

在高中階段，函數和幾何領域為擁有知識和經歷思維過程提供了幾乎同等的學習機會，而代數和概率統計領域則為擁有知識提供了更多的學習機會，特別是代數領域；函數領域更加偏重探索與發現，代數、幾何、概率統計中理解、探究與發現并重.

總的來說，初中階段的四個領域一致偏愛探究與發現；高中階段，代數領域更偏愛擁有知識，而函數領域對擁有知識和經歷思維過程則同等對待.

3 問題設置的啟示與建議

問題及問題能力培養一直是我國數學課程的關注點.相應地，教科書編者也在培養學生問題能力方面不斷地做出努力，從例題、習題到知識講解部分新問題的設置.可以說，在問題設置上，教科書已經發生了巨大的變化，這種變化給我們帶來了一些啟示，同時由于這種變化比較新，需要未來教科書編寫研究的關注和完善，我們也提出一些相關的建議.

3.1 啟示

(1)教科書的新特征：問題引導學習

近三十多年來，教科書中問題的分布和關注點在改變.九十年代及以前，問題基本上就是題目——例題和習題，教科書示范如何解決問題和為學生提供解決問題的機會；2000年以后，問題遍布了教科書的各個角落，特別是知識講解部分，增加了大約500個問題，這些問題為學生提供了與擁有知識同等比重的經歷思維過程的機會，即讓學生知道如何去思考.

從初中到高中教科書的知識講解部分，四個知識領域中問題數量的分布也很均衡，大約都是每課時2個問題；而且呈現問題的方式比較多樣化，既有專門的問題欄目，如“觀察”“思考”“探究”“歸納”，又有穿插于正文的問題和作為旁注的思考小貼士.這都說明“問題引導學習”已經成為2000年后教科書的一個較為穩定又顯著的特征.

(2)豐富的問題類型：提供多種學習機會

知識講解部分的問題，不僅類型豐富，而且每一類型下又有各種不同的表現形式.其中，很多形式的問題改變了我們對教科書的固有認識，讓我們意識到問題可以很豐富，理解和做數學的方式可以多樣化，而且多種學習機會還可以滿足不同水平學生的需求.

例如在理解型問題中，教科書有兩種特別的表現形式：舉例說明和多元表示(意義)之間的解釋和轉換.對于前者，教科書在給出一個概念后，要求學生舉各種例子：數學例子和實際例子，正例和反例.例如集合知識講解部分有4個這類問題，“舉幾個空集的例子”“舉例說明，用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點”等. 舉例說明的一個好處是學生為了給出適切的例子，就需要思考“概念的內涵是什么”，有助于概念的理解.對于后者，隨著年級的上升，這種多元表示(意義)之間的解釋和轉換的要求越來越多，特別是高中后期，在學習解析幾何、向量、復數、概率統計時，這類問題很常見，“聯系地”學習成為一種常態.

再如在探究與發現型問題中，有這樣一類問題，它們通常出現在教科書的節引言中，例如問題“同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示，類似地，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢？”，我們認為這是一個“大問題”，即可以引出或分解成幾個問題，產生一些新知識或方法，具有一定的延展性.類似于這樣的大問題，可能會為有能力的學生打開自主探究的一扇門，另辟蹊徑，突破教科書已有的學習路線.

3.2 建議

雖然問題引導學習成為教科書的一項特征，但是問題類型的分布存在差異，特別是有的問題類型在某些領域中就沒有；而且，研究過程中分析問題時，有些現象也讓我們感到困惑，例如，某些問題在教科書中似乎并沒有起到引導思考的作用等.因此，我們認為無論是問題類型的分布還是問題本身，都需要進一步精致化.

(1)問題設置：一種系統的規劃

數學教科書中知識講解部分的問題，需要一個系統的考慮.就像教科書中的習題有不同的層次一樣，各類問題的比例也需要一種系統規劃.我們認為至少可以考慮如下兩點：一是調整某些問題類型的占比，比如初中教科書中“探究與發現”型占比近50%，“反思與歸納”型占比才3%.每一種類型對學生的思維有不同的作用，帶給學生的學習機會也不同，就像反思與歸納，既是提高問題解決能力的關鍵環節，也有助于問題提出能力的培養.因此，各種類型問題的占比需要系統考慮，就目前狀況而言，反思與歸納型問題、抽象與概括型問題需要加強.二是突破某些知識領域中問題類型的空白，比如初中概率統計領域中幾乎沒有抽象與概括、反思與歸納，高中代數領域幾乎沒有抽象與概括.雖然知識領域對于問題類型的偏好和知識的特點有一定的關系，但是偏好到幾乎空白的程度仍然是不恰當的.因此，各個知識領域也需要系統考慮問題的類型，以實現合理配比.

(2)問題設置：提升問題的有效性

在教科書中，有些問題似乎是為了引出下文，而不是在于引發學生的思考，例如，緊隨問題“怎樣判斷直線與平面平行呢？”之后就是“根據定義，判定直線與平面是否平行，只需要判定直線與平面有沒有公共點”.類似于這種自問自答方式下的問題，我們感覺更多地是改變平鋪直敘的行文方式，至多激發學生的一點興趣，并不能為學生提供充分的思考機會，沒有充分發揮知識講解部分“問題引導學習”的作用.因此，類似于這種問題，我們建議改變問題的呈現方式，提升問題的有效性，以保持教科書問題引導學習特征的一貫性.