一類根與系數(shù)關(guān)系不對(duì)稱解析幾何題解法探究與原因探析

王弟成

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

1 困惑

在解析幾何問題求解中多次遇到韋達(dá)定理不好用的問題，主要是兩根之和用不上，求解過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)形如2x1-3x2不對(duì)稱結(jié)構(gòu)形式．面對(duì)這樣結(jié)構(gòu)如何解決？又為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？遇到問題解決問題，是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的最好契機(jī)，本文對(duì)此進(jìn)行探究．

(1)若QF=2FP，求直線l的方程；

(2)設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2．是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解(1)略.(2)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，

得(4+3m2)y2+6my-9=0，

x1=my1+1，x2=my2+1，所以

證明設(shè)直線l方程為y=k(x-4)，

點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)．

得(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0，

則點(diǎn)S的橫坐標(biāo)滿足方程

代入y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)，得

分子出現(xiàn)-4x1+2x2，分母出現(xiàn)-2x1-4x2，

2 探求

2.1 化為變量k

兩題的本質(zhì)是相同的，結(jié)構(gòu)相似，以案例2為例進(jìn)行探究．

2.2 化積為和

所以點(diǎn)S在定直線x=1上．

2.3 消常數(shù)

即8=5(x1+x2)-2x1x2．所以

3 追因

這樣探尋到解決此類問題的多種方法，找到造成根與系數(shù)關(guān)系不能用的原因．在解決此類問題時(shí)結(jié)合橢圓性質(zhì)，用同一個(gè)頂點(diǎn)(相同點(diǎn))表示相關(guān)直線的斜率，自然出現(xiàn)根與系數(shù)關(guān)系正適合情況．案例1亦可用上述方法解決．

4 拓展

3.如圖，過(guò)點(diǎn)E(4,0)的直線l與圓C:x2+y2=4交于P，Q兩點(diǎn)，圓C與x軸交于A，B，連結(jié)AP，BQ，AP，BQ交于點(diǎn)S，求證：點(diǎn)S在一條定直線上．