為運算找出路 發展運算素養①
——以2020年高考數學山東卷第22題為例

郭建華 于 健 寧連華 張云飛

(1．江蘇省南京市金陵中學 210005； 2．南京師范大學數學科學學院 210023；3．南京市鼓樓區教師發展中心 210017)

1 問題提出

圓錐曲線是一個重要的數學模型，具有很多優美的幾何性質，在日常生活、社會生產及科學技術中都有著重要而廣泛的應用．運用代數方法解決幾何問題是解析幾何的核心思想，其中圓錐曲線綜合題是每年高考的必考題型，它也是高中數學教學的難點之一．雖然學生在考前都做了大量的習題，但是考生在考場上遇到圓錐曲線綜合題時，還是束手無策、舉步維艱．“會而不對，對而不全，全而不優”的現象普遍存在，究其原因是學生害怕其“運算”，具體表現為對運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算程序的設計和運算路徑的選擇上存在不足．因此，在平時的教學中教師要不斷為學生創造自主探究的機會，調動學生的多種感官，在做中學、學中悟、悟中思，加強對運算能力的培養．教師在常態課堂教學中應多關注學生的運算過程，指導和幫助學生為“運算”找出路，通過運算教學促進學生思維的發展，從而形成規范化思考問題的品質，發展學生的數學運算素養．

日前，筆者所在學校高三的一次月考中，選用了2020年山東省數學高考第22題作為壓軸題，學生的卷面反應與教師的預期差距較大，結果不甚理想．筆者借此機會進行了一些思考，并嘗試在課堂上和學生一起探究，反饋效果較好．現將拙見整理成一些文字，望得到讀者的指正.

2 真題再現

(1)求C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

本題以考查橢圓中的定點問題為載體，其背景熟悉、表達簡練、內涵深刻．試題蘊含了等價轉化、數形結合、函數與方程等數學思想．同時實現了對基礎知識、基本技能和基本數學思想的考查，能較好地甄別學生的思維水平和檢測學生的數學素養及學習潛能．

試題的命題特色如下：一是動靜結合，化動為靜；二是化繁為簡，實現質的突破．這兩點既是本題的亮點，也是難點．

3 解法探究

處理圓錐曲線問題一般要經歷以下幾個環節：首先要明晰解決的目標是什么樣的幾何問題；其次要尋找解決目標所需要的代數條件是什么，再把幾何問題代數化(有時候這個代數化的過程不是很直觀，需要把幾何問題轉化為另一個等價的幾何問題后再進行代數化)；第三步是利用已知的題設條件，分析這些條件的關聯，研究并解決轉化之后的代數問題；最后要返回去研究幾何問題[1]．

(2)這是一道與定點有關的問題，定點在哪兒，哪兒有定點?這是本題求解的關鍵點和難點．根據解題活動經驗，定點一般存在于變化的直線或曲線中．注意到本題中的曲線為定的，而動的直線有四條，即：AM，AN，AD，MN，其中前三條都經過定點A，我們要找的定點不在這三條直線上，它最有可能在動直線MN上．利用教學軟件GeoGebra演示，發現動直線MN的確過定點E，如圖1．

圖1

為了更利于學生理解直線MN過定點，設計其思維導圖如下：

只有想得到，才能算得好．下面重點從運算的視角針對(2)中直線MN過定點問題做一些探究．

3.1 理解運算對象，為運算找出路

對于第(2)問，其中一部分同學的想法：先求出點M，N的坐標，寫出直線MN的方程，再依據直線MN方程的結構特征探究它是否過定點．由于直線MN的斜率和它在y軸上的截距都是與k有關的變量，二者之間的關系比較隱蔽，學生未能理解運算對象間的內在關聯，導致解題失敗．其解法如下：

解法1：如圖2，當直線AM的斜率存在時，設直線AM：y=k(x-2)+1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入橢圓C的方程，消去y得

圖2

(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+8k2-8k-4=0①，

由題意得2為方程①的一個根，

又AM⊥AN，

由直線MN：y-y1=kMN(x-x1)得

大部分同學寫到這里就做不下去了．

教師可利用這個契機，讓學生重新認識直線過定點的問題，并聯想與定點相關的直線方程的形式：(1)點斜式：y-y0=k(x-x0)，直線過點(x0，y0)；(2)將直線方程轉化成關于參數λ為主元的方程，即λ(A1x+B1y+C1)+A2x+B2y+C2=0，直線過兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點；(3)斜截式：y=kx+b．讓學生思考：如果直線過定點，那么該定點與k，b存在怎樣的關系?引導學生發現和提出問題，讓學生動手操作，得出結論：(1)當b為定值時，直線過定點(0，b)；(2)當b=mk時，直線過定點(-m，0)；(3)當b=mk+n時，直線過定點(-m，n)，這種情況更具有一般性．于是上述學生的困難，便迎刃而解．其解法如下：

整理得(2t-m)k2-(3m+3t+3)k-2t+m=0，

于是得直線MN：

如圖3，當直線MN的斜率不存在時，

圖3

由于|AE|為定值，并且AE為直角△ADE的斜邊，所以AE中點Q滿足|DQ|為定值，即

3.2 掌握運算方法，為運算找出路

也有同學這樣想：既然目標是探究直線MN過定點，設直線MN：y=kx+m進行求解，但依然會被運算擋道．其解法如下.

即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0①，

當直線MN的斜率存在時，

設其方程為y=kx+m，并聯立橢圓C的方程，

消去y得 (1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0，

由韋達定理得

將y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①中得

(1+k2)x1x2+(mk-k-2)(x1+x2)

+(m-1)2+4=0④，

再將②、③代入④中，得

+(m-1)2+4=0，

上式可化為4k2+3m2+8mk-2m-1=0⑤.

一部分學生費了九牛二虎之力得到⑤式，后面就不知道如何計算了．

教師提出問題：觀察運算對象所滿足方程的結構特征，同學們能想到什么?停頓，讓學生分析和思考．學生2提出了自己的想法：把⑤式看做以k為“主元”的一元二次方程，其判別式Δ=16(m+1)2>0(m≠-1，否則直線MN過點A)，

利用求根公式求得

于是⑤式可化為

即(2k+3m+1)(2k+m-1)=0⑥，

由于點A不在直線MN上，所以2k+m-1≠0，

于是2k+3m+1=0，

在學生2的啟發下，學生3也提出自己的想法：其實，對⑤式的處理其本質是“降次”，而因式分解又是“降次”的工具，利用兩次因式分解便可完成，即4k2+8mk+(m-1)(3m+1)=0，從而得⑥式．后面的解答同解法1．通過求根公式、因式分解等方法的選擇，將運算目標分解并有機地融合到代數運算體系中，感悟因式分解在運算中的必要性，從而為運算找到出路．其目的是培養學生發現問題和解決問題能力，積累問題解決的基本活動經驗，提高學生的認知水平．

3.3 借助平移變換，為運算找出路

圖4

設M′(x3，y3)，N′(x4，y4)，由OM′⊥ON′，

當直線M′N′斜率存在時，設直線M′N′：

y=kx+m(m≠0)，即點O不在直線M′N′上，

聯立直線M′N′與橢圓D的方程，

消去y并整理得

(1+2k2)x2+(4mk+4k+4)x+2m2+4m=0，

由韋達定理，得

將y3=kx3+m，y4=kx4+m代入①中，

整理可得

(1+k2)x3x4+mk(x3+x4)+m2=0④，

上式可化簡為m(3m-4k+4)=0⑤，

當直線M′N′的斜率不存在時，易證直線M′N′也過定點E′，

即直線MN過定點E，以下同解法1．

在平時的教學中要讓學生關注和了解一下平移變換的實質，即：平移變換僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大小．利用平移變換得到的⑤式明顯比解法2得到的⑤式簡潔，并且將變量m與k的線性關系由“隱性”變為“顯性”，降低了運算難度．平移變換為該題求解提供了一個工具，也為簡化運算找到一個新的出路．

3.4 深度理解方程，為運算找出路

將①式變形為x2+2y2+4x+4y=0②，

當直線M′N′的斜率存在時，設直線M′N′：

將③代入②中，

化簡并整理為

設直線OM′，ON′斜率分別為k1，k2，

由題意得k1，k2為方程④的兩個相異實根，

又OM′⊥ON′，得k1·k2=-1，

解法一出，同學們便自發地鼓掌，感嘆其思維深刻、解法巧妙、運算簡潔．緊接著讓學生感悟、反思、梳理巧法背后所隱藏的思維路徑．

在解法不斷優化的過程中，讓學生感受“數”與“形”的對立統一，滲透運動變化、相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義觀點，發展學生的數學運算素養，培養學生良好的思維品質．

4 結論推廣

學生9提出：如果本題中直線AM與AN的斜率之積為某一定值，那么直線MN是否過定點?能否得到一個更一般的結論?學生9將問題的探究又向前推進一步．經過筆者和學生一起探索，得到如下結論.

點M，N按向量n平移后分別對應點M′，N′，由橢圓D得

聯立方程①、②得

b2x2+a2y2+2b2x0x+2a2y0y=0③，

當直線M′N′的斜率存在時，

將其代入③式得

化簡并整理為

a2(m+2y0)y2+(2b2x0-2a2y0k0)xy+b2(m-2k0x0)x2=0④，

將④式兩邊同時除以x2(x≠0)，得

a2(m+2y0)k2+(2b2x0-2a2y0k0)k+b2(m-2k0x0)=0⑤，

由題意得k1，k2為方程⑤的兩個相異實根，

設平移前直線MN過定點E(x1，y1)，由題意，得

所以平移前直線MN過定點

當直線MN的斜率不存在時，易證點E也在直線MN上，綜上，直線MN過定點

結論1的證法與結論2完全相同，本文不再贅述．

通過對一般性結論的探索，讓學生體會平移法在解決圓錐曲線問題中的優越性，讓學生感悟整體法在處理圓錐曲線運算中的妙用．學生在探索優化運算的過程中，應養成獨立思考和勇于質疑的習慣，同時也應學會與他人交流合作，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神[2]．

教師繼續拋出探究問題，在雙曲線和拋物線中是否也存在類似的結論．供有興趣的同學開展課外研究性學習．

5 結語

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養．它不僅是一種特殊的邏輯推理，而且能較好的甄別學生解決問題的能力．數學核心素養的四個方面“情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思”在這道高考題的探究中得到較好的體現和詮釋，為促進學生數學思維發展，形成規范化思考問題的品質提供載體．由于解析幾何是運用代數的方式解決幾何問題，涉及到“數”與“式”的靈活轉換和整合，“運算”便成了問題解決過程中的“攔路虎”．因此，在平時教學中要引導學生從多元視角分析影響運算的主要因素，加強對理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路等數學運算本質的理解和運用，不斷滲透數學思想和方法，從而發展“四基”和提高“四能”．通過提升學生的運算素養，讓學生養成用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維分析和解決問題，用數學的語言表達和交流問題的習慣，將數學運算素養的培養落到實處．