數學問題解答

2021年11月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(河南省周口師范學院計算機科學與技術學院 李居之 孫文雪 4660011)

>sinA+sinB+sinC

>sinA+sinB+sinC

>sinA+sinB+sinC，

=sinA+sinB+sinC,

三式相加即有

2632如圖，過圓O外一點Q作圓的切線，切點為點P,N，過點Q作圓的割線交圓于點A,C，過點A作直徑ND的垂線交直線CN于點B，直線PN交線段AB于點M，求證：AM=MB.

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

證明由題意知QN⊥ND,AB⊥ND，則AB∥QN.設直線AC交直線PN于點E，

在△PQN中，QP=QN，由斯特瓦特定理得

?QE2=QP2-AE·CE

?QE2=QA·QC-AE·CE;

?QA·QC-AE·QC=QA·QE

?QA·QC-AE·QC=(QE-AE)·QE

?QA·QC+AE(QE-QC)=QE2

?QA·QC-AE·CE=QE2;

故AM=MB.

2633如圖，兩同心圓上任作兩割線AXYB和MPQN，求證：AB2+PQ2=MN2+XY2.

(華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心 彭翕成 430079；常州九章教育科技有限公司 曹洪洋 213002)

證明首先證明AX·AY=MP·MQ.設直線AO交小圓于S、T，則根據圓冪定理AX·AY=AS·AT，也就是兩半徑之差乘以兩半徑之和，是一個定值，同理MP·MQ也等于這一定值，所以AX·AY=MP·MQ.

設XY的中點為K，顯然K也是AB中點，于是AX=AK-XK=BK-YK=BY.

AB2+PQ2=(2AX+XY)2+PQ2

=4AX(AX+XY)+XY2+PQ2

=4AX·AY+XY2+PQ2，

同理MN2+XY2=4MP·MQ+XY2+PQ2，

命題得證.

2634求證：關于x、y的方程2x2+y2=2020沒有正整數解.

(山東省臨清市北門里街頤清園小區19號樓7單元2樓西戶 劉繼征 252600)

證明由已知方程得y只能為偶數，

不妨設y=2y1,y1∈N*，

這樣x必為偶數，設x=2x1,

則y1為奇數，設y1=2y2-1，

可知x1必為偶數，設x1=2x2，代入上式，

解得0

x2取1，2,3,4,5,6,7，

經檢驗，當x2取上述整數值時，

因此關于x、y的方程2x2+y2=2020沒有正整數解.

2635如圖1，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，AE、AF的延長線分別與DC、BC的延長線交于G、H，GR⊥EF于R,HS⊥EF于S,連接AR、AS.∠RAS=90°,△ARS的面積等于正方形ABCD的面積.則∠EAF=45°.

(江蘇省無錫市碩放中學 鄒黎明 214142)

證明如圖，作AN⊥RS于N,因為∠RAS=90°，所以AN2=RN·NS.

記AB=a,AN=p·RN=q,NS=r,

所以p2=qr,因為GR⊥RS,得到GR∥AN,

因為BC∥AD,

得到判別式Δ≥0，

因為 ∠ECG=∠ERG=90°，

所以EG2=ER2+RG2=EC2+CG2,RG≤CG,

同理r≥a,得到qr≥a2,p2≥a2,p≥a，

所以p=a.所以AN=AD,AF=AF,所以Rt△ANF≌Rt△ADF,所以∠NAF=∠FAD,同理∠NAE=∠BAE,所以∠EAF=45°.

2021年12月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(浙江湖州市雙林中學 李建潮 周秋斕 313012)

(北京師范大學附屬實驗中學 白玉娟 100032；北京市朝陽區郎各莊村21號 郭璋 100121)

2638在△ABC中,三邊長為a,b,c,面積為Δ,且外接圓與內切圓半徑分別為R,r,則

a2+b2+c2

(天津港職工培訓中心 黃兆麟 300456)

2639如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，且(CD·AB)2=2CA·AD·DB·BC.求證：CD平分∠ACB.

(江蘇省溧陽市光華高級中學 錢德全 213300;江蘇省溧陽市永平小學 張曉蔚 213333)

(江西省共青城市國科共青城實驗學校 姜坤崇 332020)