深入淺出：數學概念教學的備課歷程與教研思考①
——以“函數的概念”為例

張 敏

(江蘇省沙溪高級中學 215421)

1 問題提出

眾所周知，備課對課堂教學具有定向作用，備好課是上好課的一個必要條件. 備課的結果往往是以一份教學設計呈現出來，在“互聯網+”時代，教師想獲取一份質量較高的教學設計不是一件難事，問題在于拿著這樣一份優秀教案未必能演繹一節精彩的課，究其原因，就是呈現出來的教學設計已經掃除了備課時的痕跡，沒有親自經歷“深入”備課的研究歷程，由此很難做到“淺出”.在平時與同行的交談中還發現另一種現象，有些教師在備課時確實花了很多時間和精力，可備出的課還是不盡如人意.因此，在當前新課標新教材的背景下，加強備課研究，理應成為提高工作質量和效益的最重要的教研環節.

函數概念是中學數學中最重要的概念之一，其在整個數學發展中具有突出的地位，函數的思想和方法貫穿高中數學課程的始終，并且函數概念因為其高度的抽象性成為師生最難把握的概念之一，是培養學生數學核心素養的良好載體. 有鑒于此，本文以“函數的概念”為例，結合自身備課經歷，就如何進行數學概念教學的備課談一點拙見和思考，敬請同行專家們批評指正.

2 備課歷程

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱“新課程標準”)強調：要將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程；要深入理解數學學科核心素養的內涵、價值、表現、水平及其相互聯系；要關注數學學科核心素養目標在教學中的可實現性.理解數學概念能較好讓數學核心素養落地，重視數學概念已成共識，數學概念的教學研究更要“不惜時、不惜力”. 這是因為數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學地認識事物的思想精華，是數學家智慧的結晶，蘊含了最豐富的創新教育素材.

就目前現狀而言，針對數學概念，無論是教師的教還是學生的學，都存在諸多困難. 從意義創生的角度，教師對教材的理解可分為意義復原式教材理解和意義創生式教材理解.傳統的教師一般只停留在意義復原式教材理解的層面，但優秀的教師會從意義復原式走向意義創生式，這是優秀教師對于教材理解的轉向.教師對教材創生式理解的過程同時也是一種教師自我理解的過程，筆者結合自身教學實踐，梳理了數學概念的備課歷程，就好比建造房屋，需要經歷“打地基、搭框架、精裝修”三個階段，也就是說“前理解—理解—自我理解”是意義創生式教師教材理解的邏輯框架，以此實現教師對教材的自我理解.“一切理解都是自我理解”，教師教材理解應在整體性視域中根據數學學科課程標準和學生的需要，從整體上理解教材的編寫思路，深入挖掘教材中隱含的思想、觀點和方法，從而增強教師對新課標新教材的自我理解能力，提高教學設計的科學性和課堂教學的實施能力.

2.1 打地基——自我理解

這個階段所做的工作就是廣泛學習，以己昭昭才能使人昭昭，實現自我理解. 理解數學概念的意義以及所教數學知識的程度是制約教學設計水平提高的重要因素. 理解什么，怎么理解，下面從三個方面闡述.

(1)理解數學

章建躍博士指出：“理解數學是教好數學的前提. 大量課堂觀察表明，數學教學質量低下的原因，追本溯源，主要來自于教師的數學理解不到位. 很難想象一個對所教知識似懂非懂的人能引導學生的數學思考. ”其中，理解數學概念主要從以下幾個方面入手.

我們在針對某一數學概念進行備課時，不妨按照以上列表進行資料的收集與整理.真正做到“入乎其內”，深入理解數學概念，為后面進行教學設計打下堅實的基礎.

(2)理解學生

理解學生的核心是理解學生的數學思維規律，而數學概念的理解主要讓學生經歷完整的抽象過程，并概括出概念的本質特征.

對于函數概念而言，學生已掌握了初中函數的概念，集合的基本知識，學生的難處在于從“變量說”到“集合——對應說”的轉變，尤其是學生初中時期主要是用解析式表示函數，對圖象、表格表示的函數往往認識不到位，所以要想辦法幫助學生認識“對應關系”這一函數概念的核心.

(3)理解教學

數學是思維的科學，數學學科的特點決定了數學教學的特點和規律，只有遵循規律，教學質量和效益才能得到保證.

教之道在于度，教師所儲備的知識也不是一次性和盤托出.通過“理解數學”環節，獲取的是數學知識的“學術形態”，而“理解教學”環節就是基于“理解學生”，開發出數學知識的“教育形態”，從而實現數學知識從“冰冷的美麗”到“火熱的思考”.

“打地基”的目的就是以己昭昭，在備課過程中如何獲取這些知識，可以圍繞新課標、新教材，以及優秀專業論文汲取養分，也可以向優秀教師學習借鑒.當然，這個過程也要循序漸進，螺旋式上升，不斷充實與更新.在此階段，我們還要廣泛涉獵，收集一些有利于理解數學概念的試題，以備后用.比如，在“函數概念”備課時，可類舉如下備用試題：

試題下列哪些y是x的函數，為什么？

(2)y=1(x∈R)；

(5)如果集合A=B={x|-5≤x≤5}，那么以下四個圖像所表示的x與y之間的關系是集合A到B的一個函數關系嗎？為什么？

(6)某位學生的幾次考試成績情況如下：

序號數x123456成績y909390缺考9892

2. 2 搭框架——科學設計

中學階段學習數學概念，通常采用的是概念形成的方式，即從典型、豐富的具體實例出發，經過自己的實踐活動，由具體到抽象，由特殊到一般，從中歸納、概括出一類事物的共同本質特征，從而理解和掌握概念.

就函數概念教學而言，關鍵是要為學生鋪設概括函數概念的通道，模擬數學家們發現概念的過程.基于以上對函數概念的認識和理解，我們搭建如下的框架結構.

其中，創設情境：給出了三到四個具體情境，每個情境的函數表示方法各不相同，讓學生感知圖象、表格、解析式等都只是函數的表示形式，而非函數的本質屬性.歸納共性：分析實例，逐個歸納，提煉共性，重點是讓學生理解函數的本質是一種對應關系，這種對應關系就像“住酒店”(每個人只能住一個房間，多個人可以住同一個房間，但一個人不能住多個房間)，為后面從對應關系視角建構新的函數定義做好鋪墊.概括定義：三種數學語言準確嚴謹建構出新的函數概念，當一個核心概念建立后，為了表述和研究方便，往往需要建立相應的輔助性概念，進而給出定義域、值域的定義.深化理解：即數學運用環節，正反舉例，及時鞏固、深化學生對函數概念的認識.這是一種創造性理解，“理解不是一種單純重構過程，而始終是一種創造過程”，是需要發揮自己的創造力，顯然，沒有師生的創造性理解，再好的教材也很難在教學實踐中發揮出良好的作用。

2.3 精裝修——精致優化

精裝修的過程就是一個反復打磨的過程，注重對細節的雕琢.就“函數的概念”一課，主要針對實例的選擇和問題的提出進行精雕細琢.

(1)實例的精致

鑒于函數概念的抽象性，教學中應通過具體的、現實的、學生熟悉且感興趣的情境加深學生對函數概念的理解.在函數概念的引入、表示、性質和應用等各階段都要注重實例，為學生提供理解函數概念的“參照物”.選取的實例要具有承上啟下的作用：既是對初中已學的函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合的語言刻畫函數概念的本質做好伏筆.此外，實例要符合學生的認知規律，化抽象為直觀，使得學生容易理解，有助于學生有效地區分函數的表示形式與函數的實質.

(2)問題的精致

一個好問題勝過一千次說教.教學中設置的問題質量直接決定著課堂的教學效果，設計的問題一定要“基于學生已知，通向學生未知”，能夠促進學生理解，揭示問題的本質.問題的提出要“適時適度”.比如，本課例中，設置如下情境引導學生思考.

情境一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標. 炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規律是h=130t-5t2，那么炮彈距離地面的高度h是時間t的函數嗎？為什么？

表2

課例中給出的幾個實例分析思路一致，不妨教師示范一個，然后讓學生嘗試獨立完成其余的實例，教師適時給予指導，帶領學生分析每個實例時要注意強化以下三點：①顯化兩個集合；②體驗對應關系；③揭示共同屬性.板書如下：

3 教研思考

3.1 概念教學要緊扣教材

緊扣教材就是要求教學要特別重視對基本概念和課本上的基本問題的研究.教師和教材是一個整體，教師的教材理解應樹立整體性觀念.教師對教材的理解過程也即教師自我理解、自我精神獲得提高的過程.對數學的每一個概念，不僅要講清它的背景，創設適切的情境，設計相應的問題，還要理解課本上相應的例題、習題和復習題的價值所在.通過這些深入的教材研究，整體把握教學內容，深刻理解教材編寫意圖，讓學生進一步理解新概念的學科價值與育人價值，以及基于課本的對概念的發展而精心設計一個主題、一個單元、一個章節的課堂教學，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.這是一種教學藝術與智慧.比如，本文中表1提及的“函數概念的來源、本質、表述、聯系”問題，通過新舊知識的廣泛密切聯系， 揭示了函數的概念抽象的思維方式，增大了知識的容量， 使概念得到進一步鞏固和深化， 增加了知識的靈活運用能力， 有利于數學結構化和系統化觀念的形成.此方法若在新授課能加以很好的研究與運用，并進行一定的聯系與拓展，那么學生不僅能加深對函數的基本概念的理解，同時也掌握了運用類比思想和發展的眼光看待新舊概念的聯系與發展，這樣在面對新的數學概念時，就會運用課本上所體現的數學方法和數學思維，對新概念進行深入研究，促使教師把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，引導學生在平凡的問題中發現數學的真善美.

表1

3.2 概念教學要重視生成

教學實踐告訴我們，在概念教學過程中，重視并恰當地解決好“生成”是新課程所倡導的返璞歸真及努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質的最好抓手.其次，課堂“生成”產生和解決是培養學生能力的重要平臺.課堂“生成”的基本特質就是“提出問題”和“解決問題”．這個過程更側重的是人的能力的培養．知識是會遺忘，能力卻是永恒的.再次，重視生成的課堂才是本真的課堂.課堂上由于每個個體知識、閱歷、認知水平等方面的差異性，使得學生們對同一個問題有不同的思考與認知，由此會產生不同的“生成”．當學生并不完全行走在教學預設的軌道上時，師生進行互動調整，積極利用生成的教學資源，這是一種本真的課堂，是一種以人為本的課堂．概念教學只有重視生成，學生就會嘗試用自己的語言闡釋數學概念， 結合文字、符號、圖形或表格等多種語言來描述概念.反之，如果一堂概念教學新授課只有預設，而無生成，那么數學課堂改革對培養學生創新能力的意義將不復存在.課堂要真正還給學生，必須要讓預設與生成形成有機統一，這樣才能真正打造出更加真實和精美的課堂．

3.3 概念教學要突出思維

培養學生的思維能力是概念教學的靈魂.概念教學要突出思維，首先要重視數學概念具體化.在具體化世界，個體通過對外部世界的感知和操作認識事物，教學中要將概念與具體情境聯系在一起．具體化圖形演示可以促進學生對相關知識的認知，提高教學高效性．根據函數概念發展的抽象性，教師可以利用動態幾何軟件演示函數的概念源于運動，本質是對應關系，對比初中函數的概念定義，高中階段選擇集合語言描述更加科學，并借助精準的數學語言，進一步幫助學生深刻理解函數的定義.因此，隨著數學內容變得越來越復雜，由具體化向符號化的轉化是必要的．其次，要抓住概念的本質.在中學階段，函數概念幾經擴充已經建立起來.教師所做的工作是進一步深化、揭示它的本質.應該強調指出，函數三大要素之間所必須滿足的條件:定義域集合中的任一個元素x，通過對應關系f，在值域集合中有唯一確定的一個元素y和它對應，只有這樣，y才是x的函數.在這里唯一確定性是至關重要的.我們還必須指出對應關系f的形式是次要的.不管它具有怎樣的具體形式，只要滿足構成函數的條件即可.只有這樣，我們才能更有效地培養學生把握全局、抓主要矛盾的能力，才能在紛繁復雜的學習過程中領悟數學的內在本質，進一步提升學生思維水平.教育應該是一種慢藝術，缺乏思維空間的學習，正如缺乏空氣、缺乏水份的植物，怎會生長出讓人賞心悅目的美景？我們必須要從突出思維的角度開展概念教學.

本文所闡述的“備課三步曲”——“打地基、搭框架、精裝修”，其實就是撰寫出教學設計的三個流程，經歷了自我理解、科學設計、精致優化的過程.唯有深入備課，方能“淺出”一份高質量的教案；唯有課前教師的深入，方能在課堂上庖丁解牛般游刃有余的“淺出”.深入淺出，既要做到入乎其內，還要出乎其外.每一步都是一次自我歷練和提升的過程，教師的專業素養和教學智慧必將得到很大提升.當然，再好的設計還要到教學實施中接受檢驗，需要實踐后進行反思再優化.