蝴蝶定理、牛頓定理之間的聯(lián)系

李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

蝴蝶定理過(guò)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，作連心線的垂線，該垂線被四邊形對(duì)邊所截線段等長(zhǎng).

文[1]記錄了蝴蝶定理的證明、變形與推廣，這一發(fā)展歷程顯示了該定理與笛沙格對(duì)合定理之間的聯(lián)系.實(shí)際上對(duì)角線的交點(diǎn)是一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)，但是另一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)為什么是該垂線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)？

當(dāng)對(duì)角線的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部時(shí)，該問(wèn)題是顯然的；當(dāng)對(duì)角線的交點(diǎn)在圓的外部時(shí)，再?gòu)臍W氏平面看，直觀性就不強(qiáng)了.這也是為什么平面幾何中對(duì)對(duì)角線交點(diǎn)在圓的內(nèi)部和外部分別予以證明的原因.

從射影平面看，二者是統(tǒng)一的.因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)與圓心連線，其極點(diǎn)恰恰是該垂線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).所以對(duì)角線的交點(diǎn)、該垂線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和分割該垂線與圓相交所成點(diǎn)對(duì).這一點(diǎn)就可以解釋另一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的確是該垂線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

牛頓定理圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線.

文[2]記錄了牛頓定理證明較有代表性的面積法，文[3]更是給出一個(gè)異常漂亮的幾何方法，文[4]創(chuàng)造性地提出質(zhì)點(diǎn)法并以非常簡(jiǎn)潔的方式證明了牛頓定理.本文無(wú)意去比較牛頓定理不同證明的優(yōu)劣，目的是揭示蝴蝶定理、牛頓定理之間的聯(lián)系.發(fā)現(xiàn)牛頓定理與蝴蝶定理的一個(gè)變形射影等價(jià).

先從蝴蝶定理的一個(gè)簡(jiǎn)單變形談起，即：

圖1

結(jié)論1設(shè)圓O的內(nèi)接四邊形ABCD，AB、CD、BC、AD與過(guò)圓心O的直線交于點(diǎn)P、Q、X、Y，且OX=OY，那么OP=OQ.

該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)與蝴蝶定理相同，這是因?yàn)榻Y(jié)論1中也是對(duì)合自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì).一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)是圓心，另一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)是該條直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

本文感興趣的是結(jié)論1的另一種等價(jià)表述，即：

圖2

結(jié)論2設(shè)圓O的內(nèi)接四邊形ABCD，AD、BC交于點(diǎn)E，AB、CD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作直線l使得l、EO調(diào)和分割EC、ED，過(guò)點(diǎn)F作直線m使得m、FO調(diào)和分割FA、FD，那么l、m交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

其實(shí)，從歐幾里得平面看，l∥m.具體的證明，讀者可以過(guò)O作l的平行線n交直線AB、CD于點(diǎn)P、Q，交直線BC、AD于點(diǎn)X、Y.

因?yàn)閘、EO調(diào)和分割EC、ED，且n∥l，所以O(shè)X=OY(一線段被它的中點(diǎn)和這直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)所調(diào)和分割[5]).根據(jù)結(jié)論1可知，OP=OQ.又m、FO調(diào)和分割FA、FD，所以n∥m.那么l∥m(歐幾里得平面)，即l、m交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(射影平面).

前面已經(jīng)提出，本文的目的是獲得蝴蝶定理和牛頓定理之間的聯(lián)系，結(jié)論2作為蝴蝶定理的一種變形，從配極對(duì)應(yīng)的角度看，結(jié)論2正是牛頓定理.即：

結(jié)論3設(shè)圓O的外切四線形abcd，a×d、b×c連線為直線e，a×b、c×d連線為直線f，在直線e上作點(diǎn)L使得L、e×l∞調(diào)和分割e×c、e×d，在直線f上作點(diǎn)M使得M、f×l∞調(diào)和分割f×a、f×d，那么LM經(jīng)過(guò)圓心.

圖3

注:l∞指的是無(wú)窮遠(yuǎn)直線.

其實(shí)，從歐幾里得平面看，點(diǎn)L、M即為對(duì)角線的中點(diǎn).

所以結(jié)論3也就是本文開始提到的牛頓定理，因此牛頓定理與蝴蝶定理的一個(gè)變形射影等價(jià).這一例子再一次說(shuō)明：在歐氏空間里某些不好解釋的現(xiàn)象，從射影空間的觀點(diǎn)看，就有滿意的說(shuō)明，觀點(diǎn)越高，事物就顯得越簡(jiǎn)單[6].