一類二元一次不定方程的求解問題

趙云平

【摘要】不定方程是數論中一個古老的分支，也是數論中一個重要的研究課題，它有著悠久的歷史與豐富的內容.所謂不定方程是指解的范圍為整數、正整數、有理數等的方程或方程組，其未知數的個數通常多于方程的個數.例如，2x+y=5就是一個不定方程，它沒有確定的解，它有無數多解.本文從各定理出發，詳細探討了定理的實質，并通過例題加以說明二元一次不定方程有無整數解及求出整數解的過程.

【關鍵詞】不定方程;二元一次不定方程;找解;求解

引 言

所謂二元一次不定方程的一般形式是ax+by=c，其中a，b，c是整數.當然，在求解時x，y也是整數，如果x，y不要求是整數，那么它的解一般都會有無窮多個，除非a和b其中有一個為零，且要求ab≠0，也就是a，b都不是0.注意：這個a，b里邊如果有一個是0，那就不是不定方程了;如果a，b都是0，就要求c也是0，這個解就是所有的整數對，所以，研究a，b都不是0的情況.如果ab≠0，對二元一次不定方程解的研究就與研究線性方程組、常微分方程的解法非常類似，如線性方程組ax=b的通解就是ax=0的通解，+ax=b的特解;要求常微分方程ay″+by′+cy=f（x）的解，也是先令f（x）=0，先求出通解，再加上等于f（x）的一個特解.遵照同樣的方法，要找到二元一次不定方程所有的解，就是要找ax+by=c的特解和ax+by=0的通解.下面我們先來認識相關定理.

一、二元一次不定方程求解的相關定理

定理1[1]：設二元一次不定方程ax+by=c ① （其中a，b，c是整數，且ab≠0）有一整數解x=x0，y=y0 ;設（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，則①的一切解可以表示成

x=x0-b1t，y=y0+a1t. ②

其中t∈Z.

證明：先證②是①的解.由x=x0，y=y0是①式的解，有ax0+by0=c.將②式代入①式，得

a（x0-b1t）+b（y0+a1t）=ax0-ab1t+by0+ba1t，

又a=a1d，b=b1d，代入上式，得

a（x0-b1t）+b（y0+a1t）=ax0-a1db1t+by0+b1da1t=ax0+by0=c.

所以②是①的解.

下面證①的解為②的形式.由ax+by=c，ax0+by0=c，兩式相減，得a（x-x0）+b（y-y0）=0，把a=a1d，b=b1d代入，a1d（x-x0）+b1d（y-y0）=0a1（x-x0）=-b1（y-y0）， ③所以a1|b1（y-y0），因為a1，b1互質，所以a1|y-y0y-y0=a1ty=y0+a1t代入③式，a1（x-x0）=-b1a1t，因為ab≠0，所以a1，b1≠0，有x-x0=-b1tx=x0-b1t，所以①的解為②的形式.

這個解的過程，首先要找到ax+by=0的通解，設（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，寫成a1dx+b1dy=0，約去最大公因數d，a1x=-b1ya1|b1y，因為（a1，b1）=1，所以a1|yy=a1t，代回a1x=-b1ya1x=-b1a1tx=-b1t;然后找到ax+by=c的一個特解.ax+by=0的通解的形式已經給出來了：x=-b1t，y=a1t，剩下只需找x0，y0這個特解，所以目的就是找ax+by=c的特解，如果能從方程中直接看出這個特解來，那么ax+by=c的通解就很容易寫出來，如方程6x-9y=-3，容易看出它的一個特解x0=1，y0=1.因為（6，9）=3，a=6=a1d=2×3，b=9=b1d=3×3，通解是x=x0-b1t=1-3t，y=y0+a1t=1+2t.但是，不是所有的ax+by=c都能且容易看出特解，怎樣才能找到它的特解？這個特解到底存不存在呢？肯定的是這個特解有時候是不一定存在的.比如，方程2x+8y=1，它的特解明顯是不存在的，因為2x和8y都是偶數，加起來也是偶數，而方程右邊是奇數，偶數等于奇數是不可能的，所以這個方程的特解不存在.于是，關鍵是討論對于①這種形式的方程什么時候有解，有解的話怎么求？

定理2[1]：①式有整數解，當且僅當（a，b）|c.

證明：“充分性”已知①式有整數解x=x0，y=y0，有ax0+by0=c，設d=（a，b），則d|a，d|b，于是d|ax0+by0，即d|c.

“必要性”仍設d=（a，b），a=a1d，b=b1d，由d|cc=c1d，則ax+by=ca1dx+b1dy=c1da1x+b1y=c1.

由（a1，b1）=1，存在整數s，t，使得a1s+b1t=1a1sc1+b1tc1=c1，a1x+b1y=c1有解，x=sc1，y=tc1，也是①的解.

這個定理給了一個①式有整數解的充要條件，可是知道它有解，這個解怎么找到呢？實際上定理2的證明過程給出了一個找解的辦法.先找出a1s+b1t=1的解x=s，y=t，給式子兩邊乘上c1，a1sc1+b1tc1=c1的解為x=sc1，y=tc1.因為a1x+b1y=c1與ax+by=c等價，所以它們同解.所以問題的焦點就歸結為求a1s+b1t=1的解x，y，前提是（a1，b1）=1，x，y都乘上c1，ax+by=c的解就出來了.

定理3[2]：若a，b是任意兩個正整數，則

Qka-Pkb=（-1）k-1rk，k=1，2，…，n.

其中P0=1，P1=q1，Pk=qkPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qkQk-1+Qk-2，其中k=1，2，…，n.

現取a1，b1，取k=n，知d=rn，

Qna1-Pnb1=（-1）n-1d，兩邊同乘（-1）n-1，（-1）n-1Qna1-（-1）n-1Pnb1=d（-1）n-1Qna1+（-1）nPnb1=d，取s=（-1）n-1Qn，t=（-1）nPn，則a1s+b1t=d=1.可以利用這個辦法來找s和t，這里邊要找到s和t，需要把Qn，Pn，n算出來.由定理3知，Qn，Pn有相同的遞推關系，根據遞推關系，所有的Q，P都能夠求出來，而且這個qk是帶余除法里的不完全商，所以帶余除法也得把它寫出來.首先q0是沒有的，是從q1開始，可以根據帶余除法把所有的q給找到.當n不是太大，計算不是特別困難.最后用x=（-1）n-1Qn，y=（-1）nPn這個表達式就可以把這個解給找出來了.

二、例 析

例1 求25x+15y=100的一切整數解.

解 ∵25，15=5，5|100，故方程有解.把方程變形為5x+3y=20，先求5x+3y=1的解，此處a=5，b=3，（a，b）=1，用輾轉相除法：5=3×1+2，3=2×1+1，

故n=2，q1=1，q2=1，列表如下：

因此，5x+3y=1的一個解是x=（-1）2-1Q2=-2，y=（-1）2P2=2，5x+3y=20的一個解為x=-2×20=-40，y=2×20=40.由定理1知，原方程的一切解可以表示成x=-40-3t，y=40+5t，t∈Z.

例2 求不定方程4x+6y=86的解.

解 ∵（4，6）=2，2|86，故方程有解.把方程變形為2x+3y=43，先求2x+3y=1的解，用輾轉相除法要求a>b>0，（a，b）=1，這里做一個顛倒，若3x+2y=1的解為（x0，y0），則2x+3y=1的解為（y0，x0）.

3=2×1+1，故n=1，q1=1，列表如下：

則x=（-1）1-1Q1=1，y=（-1）1P1=-1，于是2x+3y=1的特解為x=-1，y=1，2x+3y=43的特解為x=-1×43=-43，y=1×43=43，所以不定方程4x+6y=86的通解為x=-43-3t，y=43+2t，t∈Z.

例3 求306x-360y=630的一切整數解.

解 ∵（306，360）=18，18|630，故方程有解.把方程變形為17x-20y=35，先求17x-20y=1的解，若20x+17y=1的解為（x0，y0），則17x-20y=1的解為（y0，-x0）.

用輾轉相除法：20=17×1+3，

17=3×5+2，3=2×1+1，

故n=3，q1=1，q2=5，q3=1，列表如下：

20x+17y=1的一個解為x=（-1）3-1Q3=6，y=（-1）3P3=-7，則17x-20y=1的一個解為x=-7，y=-6，17x-20y=35的一個解為x=-7×35，y=-6×35.由定理1知，方程306x-360y=630的一切解可以表示成x=-7×35+20t，y=-6×35+17t，t∈Z.

三、結 論

從理論和實踐的角度去認識二元一次不定方程，為學生學好二元一次不定方程的解法奠定了基礎，文章只涉及求解二元一次不定方程的常用方法——輾轉相除法，還有其他多種方法有待共同探討.

【參考文獻】

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