基于“構造法”的高中數學解題思路探索

武基云

【摘要】構造法是數學中一種常見的解決問題的手段，它是指根據問題的特征，通過構造函數、方程、圖形等熟悉的數學模型來解決問題的方法.嚴格地說，構造法并沒有固定的應用思路，而是具有很強的創造性，所以讓學生熟練應用這一方面具有一定的難度.本文將從構造法的原理和優勢入手，具體分析構造法的應用策略，希望能夠為高中構造法解題提供一定的參考思路.

【關鍵詞】構造法;高中數學;解題方法

高中數學的學習對于學生來說難度較大，特別是在新課程改革之后，數學解題過程對學生抽象能力、知識運用能力有了更高的要求，數學題目的難度也有了一定的提升.仍然使用傳統的解題思路，按照一般的順序來思考問題經常會面對著大量的計算內容或是復雜的推理過程，不僅會耗費大量時間，還十分容易出錯.此時，我們不妨嘗試運用構造法來快速找到正確的解題思路，提高答題的速度.

一、高中數學解題中構造法的原理

相對于其他學科來說，數學更加的抽象和復雜，在解決問題時可以從多個角度去進行思考.構造法是一種基于逆向思維的解題方法，通過題目中明確給出或是隱秘包含的條件，從另一個角度出發，分析和理解題目內容，推導所要答案的一種方法.從本質上來看，構造法是將抽象知識具體化的過程，它可以幫助學生找到更加高效的解題方法.在高中數學教學中，學生為了提升自身的解題能力會進行大量的題目練習，很容易產生固定的思維模式.為了改變學生的思維定式，解決他們在解題過程中解題困難、效率低的問題，教師可以在教學中提高對構造法重視程度，幫助學生在解題過程中從不同的角度去分析問題、解決問題.

二、高中數學解題中構造法的應用策略

1.構造函數

函數是高中階段數學課程中的重要組成部分，也是高考中的考查重點.構造函數法是構造法中一種較為常見的方法.在幾何或是代數問題中，采用構造函數的方法可以找到更多的已知信息，讓復雜的題目內容變得直觀和簡單，提升解題的效率和準確度.

例1 已知關于x的方程x2-（2a+1）sin（cos x）+1-4a2=0有唯一實數解，求實數a的取值.

分析 這道題目屬于二次方程，且在題目的已知中含有特殊的參數.所以，許多學生在面對這類問題時經常會找不到解決問題的切入點.此時，只要認真觀察題目，結合構造函數的方式便可以找到輕松解決問題的方法.在實際教學過程中，教師可以先為學生列出詳細的解題過程，讓學生自己去思考和感受，分析構造函數的具體方法，以此做到舉一反三，將這種方法應用到其他類似題目的解答過程中.

解 構造函數f（x）=x2-（2a+1）sin（cos x）+1-4a2.

因為f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數.

設x0為f（x）=0的解，則-x0也為f（x）=0的解.

由題目已知可知，f（x）=0有唯一的實數解，即-x0=x0，顯然x0=0.

所以f（0）=02-（2a+1）sin（cos 0）+1-4a2=0，

即（2a+1）（1-2a-sin 1）=0，解得a=-12或a=1-sin 12.

2.構造方程

方程和函數關系密切，在構造法中構造函數與構造方程也基本相通，許多類型的題目都可以通過函數與方程的融合找到解決方法.簡單來說，構造方程法，就是要在深入分析已知條件和各項關系的前提下，通過對已知關系之間的關系式的構建來解決問題的方法.

例2 已知α+β+γ=π，求證：

sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α=sin2α;

cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α=sin2α.

分析 該案例中給出的已知條件十分有限，學生在一開始接觸到該案例時必然會思考利用三角函數知識去對題目已知進行變化，雖然可以得出結果，但解題的過程十分復雜，容易出現錯誤.此時，我們便可以采用構造方程的方式來降低解題難度.

證明 設x=sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α-sin2α，①

y=cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α-sin2α.②

①+②得

x+y=2+2cos αcos（β+γ）-2sin2α=2（1-sin2α）+2cos αcos（π-α）=2cos 2α-2cos 2α=0.

②-①得

y-x=cos 2β+cos 2γ+2cos αcos（β-γ）=-2cos αcos（β-γ）+2cos αcos（β-γ）=0，所以x+y=0，y-x=0，解得x=0，

y=0，得證.

3.構造數列

高中階段的數列包括了等差數列和等比數列兩個部分，這部分內容的難度雖然一般，但是其中涉及的數學知識比較多，也是高考中的熱點.構造數列的方法通常被應用于比較特殊的題目中，其主要目的是通過構建等差或等比的數列公式來對題目進行分析，降低解題思路，優化解題過程.

例3 設有一數列{an}，前n項和為Sn，S4=4.當n≥2時，an=12（Sn+Sn-1），求Sn的表達式.

分析 題目中給出了部分公式，求Sn的表達式，這也是數列題目中常見的一種題目類型，已知數列前幾項的和，又給出了數列的通項公式，就可以求出Sn.但是，這種方法在求解過程中計算難度較大，且方法通常比較煩瑣，在計算過程中基本上不會有簡化的方法.所以，此時，我們便可以嘗試采用構造數列的方法來求解Sn的表達式.

解 由題目已知可知，n≥2時，an=Sn-Sn-1，

推導可得12=Sn-Sn-1.

設bn=Sn，則數列bn的公差為12，通過計算可得Sn=n2，因此，Sn=n24.

4.構造圖形

構造圖形的方式是將參數之間的關系通過圖形來直觀地展示出來，這樣除了可以提升解題效率之外，還能夠加深學生對知識的理解把握，提高他們的知識轉化能力.從本質上來看，構造圖形法實際上就是數形轉化法，教師應引導學生認真分析題目中的已知條件，善于尋找參數與圖形之間的聯系，學會用圖形去簡化數學問題.

例4 已知a>0，b<0，a+b=1，求證：2

分析 面對這類題目時，許多學生都會找不到問題的切入點，甚至教師已經提示了嘗試采用構造圖形的方式來解決問題，還是有學生看起來十分茫然.所以，在這類問題的解題過程中，教師應采用合理的引導方式，讓學生自己去充分思考題目的已知條件和求證的結論，分析已知條件和結論之間的關系.在這道題目中，通過已知條件中的a+b=1，不難聯想到a+12+b+12=2，這樣就自然而然地將已知條件和求證的結論聯系在一起.

證明 因為a+b=1，

所以a+12+b+12=2，

即a+122+b+122=（2）2.

根據該公式可以構造出三角形，如圖所示.

因為三角形兩邊之和大于第三邊，可得：

a+12+b+12>2，

又因為a+12=2cos α，b+12=2sin α，

所以a+12+b+12=2（cos α+sin α）=2·2sinα+π4≤2.

5.構造向量

向量是高中生數學學習中的難點，也是容易丟分的題目類型，更是高考中必考內容之一，且在總成績中占據著較大的比重.同時，向量的應用并不局限于向量問題中，其他問題同樣也可以嘗試采用向量的方式來解決.在構造法的應用中，采用構造向量的方式可以將函數問題轉化為圖形問題，讓題目變得更加直觀，避免了復雜的論證過程.這對于解決一些抽象問題來說有著重要的應用價值.

例5 若直線xa+yb=1經過點M（cos α，sin α），則（? ）.

A.a2+b2≤1??? B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

分析 仔細觀察題目會發現，題目中所給出的條件和結論基本上很難直接聯系在一起，但是通過已知中所給出的坐標相對比較容易聯想到向量，所以可以嘗試通過構造向量的方法來解決問題.

解 令m=（cos α，sin α），n=1a，1b.

根據題目的已知可得cos αa+sin αb=1，由m·n≤m·n，可得1=cos αa+sin αb≤1a2+1b2，所以1a2+1b2≥1.故選D.

6.構造對偶法

構造對偶法常常被應用于解決不等式問題中，如果題目的已知或是問題中存在對偶的特征，就可以嘗試采用對偶法的方式來讓問題變得簡單、清晰.基本的操作方式是先對題目中給出的公式A配以合適的公式B，通過加法或是乘法等運算方法讓它可以更容易處理.使用這種方式通?？梢钥焖僬业絾栴}的突破口，讓問題得到有效的解決.

例6 已知函數f（x）=x1+x（x>0），試計算：

f12015+f12014+…+f13+f12+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=.

分析 通過仔細分析，我們會發現，如果這道例題直接進行求解基本上無從下手，但通過對結論的仔細觀察不難發現，f1x和f（x）之間存在著對偶性，可以通過構造對偶式的方法來解決問題.

解 f（x）+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+11+x=1.

所以原式的結果為201412.

三、結 語

教師想要在高中數學教學中提升學生的解題能力，就必須讓學生掌握有效的解題方法.構造法是數學學科中一種十分常見且十分重要的解題方法.所以，在教學過程中，教師應提高對構造法的重視程度，將其融入教學內容中，強化構造法知識的講解，特別是要依托具體案例向學生詳細分析和展示，包括構造函數、構造方程、構造圖形、構造向量、構造數列和構造對偶法等，以此引導學生掌握構造法的正確應用技巧，巧妙地解決問題.

【參考文獻】

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