函數思想在高中數學解題中的應用

湯琴

【摘要】伴隨著高中數學教育教學體制改革的深入進行，對于學生的綜合能力和綜合素養的培育也在有條不紊地進行.一些數學教師在高中數學教學活動中運用新的教學策略和教學思想，對學生提高學習數學能力和培養思維習慣都產生了重要影響，并且函數思想在高中數學解題過程中有著重要的運用價值，可以幫助學生盡快突破難題的束縛，熟練掌握一些知識點，而在此過程中就需要學生對于函數思想以及不同類型函數的運用方式進行深入的了解.因此，我們針對函數思想在高中數學解題中的運用現狀和如何運用的問題進行具體的討論，并且提出具體的運用策略.

【關鍵詞】函數思想;高中數學;解題應用;有效策略

【基金項目】本論文是泰州市教育科學“十三五”規劃課題《提升高中生數學應用能力的實踐研究》的研究成果（課題編號為tjkyblx2017036）

作為高考的必考科目，數學的作用和地位與日俱增.同時，函數是高中數學中最難的組成成分之一，函數知識比較抽象難懂，很多學生往往是敬而遠之，有抵觸和恐懼的心理，對于函數思想難以進行積極的探討和運用.學生在解答一些和函數有關的題目時往往不知所措，并且難以解決，導致在解題過程中缺乏函數思想的滲透.甚至有的學生對于函數思想是什么都不太了解，隨著時間的推移，學生的學習效率在逐漸地降低.因此，針對這些具體的問題，正式探討函數思想的定義和內容.

一、函數思想的具體定義和內容

函數思想是解決“數學型”問題中的一種思維策略，所體現的是量和量之間的關系，并且這種關系是處于變化之中的，對于函數而言往往是一一對應的.因此，函數思想可以用“規律”二字進行準確的定義和論述.例如，函數y=f（x），在這個函數之中，對應法則f以及自變量的變化范圍就是構成這個函數的基本要素.自變量的變化往往處于決定性的地位，可以決定因變量的值.對于值域而言，通常是由對應法則和定義域所確定的，三者之間的關系是你中有我、我中有你，并且密不可分的.究其整體而言，自變量、因變量、常數之間的關系和變化可以在函數中展示出來.與此同時，運用函數的思想去解決數學問題往往是需要建立輔助函數，并且將數學問題等內容轉變成函數的形式，運用函數的性質求出相關結論，根據正比例函數、反比例函數、二次函數、一次函數、指數函數等函數性質進行求解.因此，函數思想所對應的具體內容是極其繁多，并且十分復雜的，需要學生對于函數思想進行統籌兼顧式的運用和理解.數學教師要扮演引導者和輔助者的角色，給學生提供更多的幫助.

二、函數思想在運用過程中常用的幾種方法

1.整體法

這種方法是通過數學題目的整體形式進行統一的思考，對于整體結構進行整體的處理，從而讓解題過程更加便捷.這對于學生的邏輯思維能力和知識遷移運用的能力提出了新的要求，學生需要理解整體和局部的關系，并且從整體考慮有用信息之間的關系.學生有時也會運用具體數值對于函數或者具體題目進行求索驗證、整體運算.整體法在函數解題過程中有著充足的運用空間，可以提高整體的解題效率，使函數思想滲透得更加有效.

2.遞推思想法

這種方法往往是針對富含一定數學規律的數學題目.對于所涉及的遞推關系進行仔細的探索，構建相應的函數，用函數探索解決問題的思路和方法，從而真正地解決這些數學問題.這種方法通常適用于數列問題，比如，解決一些求解通項公式和前n項和的具體問題，而通常這樣的題目都是有跡可循的，并且和函數有共同點.可以理解為數列是一種特殊的函數，因此，可以運用函數思想方法研究數列.

3.歸納假設法

這是一種比較常見的探索問題的方法.學生對于數學題目的具體性質可能不甚了解，但是，會進行相應的嘗試和觀察，通過不完全歸納法對數學問題進行整體的歸納假設，再通過數學歸納法對自己的假設進行驗證.在進行數學教學時，數學教師往往需要建立一些函數，運用函數的思想以及變化規律，對于相應的結論開展驗證工作，進而帶領同學們一起進行數學知識點的歸納和總結，同時，建立一些數學模型和假設鑲嵌其中，使得歸納假設法可以科學使用和推廣.

以上三種方法的使用對高中生數學解題能力的提高發揮了積極的作用，并且，有的教師在進行函數題解題過程中會將三種方法融合使用.這種創新運用的方式和策略，再結合高中數學教學的若干要求，使教師取得了積極的運用效果，也切實滿足了學生的需求.

三、函數思想在高中數學解題中的作用和價值

（一）函數圖像可以降低學生的理解難度

對于具體的數學題目而言，學生很難尋找到做題的方法和訣竅，并且題目的要求和內容是變化多端的，學生要理解每一個題目的具體要求，要熟悉相關的內容，才能解決問題.部分學生是通過大量的練習甚至是熟記現成的答題模板來提高自己的理解能力和理解水平的，時間投入相對較多，但是效果不是十分明顯.究其原因正是缺乏正確方法和正確思想的引領.運用函數思想可以提高學生對題意的理解能力，并且可以在某種程度上降低學生的學習難度和排除學習阻力，用最短的時間尋找最優的解題方法，并且建立輔助函數，運用函數圖像及性質來進行積極的思考，不僅使得理解難度大大降低，而且解題效率成倍提高.

（二）函數思想可以提高教師的教學效率

對于高中數學教師而言，也需要想方設法地提高自身的教學，幫助學生尋找正確的學習方法和解題思路，這個過程是漫長而又痛苦的.很多學生往往如墜云霧之中，摸不著門路.但是，函數思想可以讓學生盡快地擺脫這些舊狀態的束縛，同樣，教師在授課的過程中往往會對具體題目進行函數思想的靈活運用或者深層次拓展，并借助輔助函數圖像進行相關的講解，從而讓更多的學生順利地理解教師的所思所想，保證了二者的思路一致.因此，函數思想的運用可以極大地提高教師的教學效率.

四、函數思想在高中數學解題中的具體運用策略

（一）函數思想在實際優化問題中的運用

函數思想的運用范圍十分廣泛，尤其是在解決一些實際的優化問題時，這些問題如果用普通的方法去做可能十分煩瑣，但是，如果運用函數思想和函數的方法進行探索可能會事半功倍.例如，路程優化需要考慮路程、速度以及時間三者之間的關系，生產問題需要考慮單價、總數以及時間之間的關系，因此，運用函數思想解決實際優化問題可以幫助學生盡快地掌握這些知識，同時解決相應的數學難題，而且，學生對于所求出來的答案應當代入題目中進行反復的驗證，以符合實際問題的需求.這樣才能為函數思想的深層次運用奠定良好的基礎.數學教師鼓勵學生仔細地閱讀題目，反復思考，選擇最優法解決問題.函數的外在形式是不斷變化的，但是，函數思想的內在規律是有一定的軌跡可尋的.在運用函數思想解決實際優化問題的過程中，通過對函數形式，以及相關的方程知識的具體運用，學生加深了理解，取得了積極的學習效果.

（二）函數思想在高中數學不等式解題中的運用

高中數學教育的重要內容之一就是不等式證明.不等式證明的難度相對較高，并且對于學生的思維有一定的要求.在證明不等式的過程中，很多教師和學生發現了不等式證明原來和函數有著密切的關系，將函數思想應用到解決不等式的過程中，其實就是求解對應函數的正負區間、零點，以及單調性的問題，并且對此進行深入的研究.不等式求解對于學生的邏輯思維能力提出了更多的要求.學生既要考慮不等式的形式，又要考慮解集的范圍是否符合答案要求，同時，需要根據限定條件去判斷相關的內容.如果不運用函數思想以及具體的圖像來解決問題，學生很容易在練習過程中出錯，并且感到難以理解，無法解決實際的不等式問題.作為數學教師，更應當在講解不等式題目的過程中，對函數思想進行充分的滲透.

例如，一位教師在講解這樣的數學題目時就選擇了運用函數思想求證不等式：已知不等式n2+ mn+3>4n+m恒成立，并且0≤m≤4.求n的取值范圍.經過分析，數學教師將m當作自變量，并建立相應函數：y=（n-1）m+n2-4n +3.因此，不等式就轉換成y>0恒成立，再加上0≤m≤4的條件，就很容易計算出n的取值范圍，進而輕松解決了這個問題.

教師要根據學生的實際需求進行相關數學思想的運用，引導學生尋找解題的技巧，熟悉解題流程，使得這些類似的不等式可以成為學生學習路上的墊腳石.通過這樣的過程運算以及思索，很多學生逐漸掌握了方法，逐漸地發現題目之中所蘊含的函數思想，并且不斷積累，及時總結.同時，教師可以通過提供類似的數學題目，讓學生進行實際訓練，即對于所運用的函數思想以及具體的函數形式進行選擇和判斷，從而提高學生的學習效率，使得函數思想在高中數學解題中的運用更加科學有效.

（三）函數思想在高中數列題目解題過程中的運用

數列往往可以理解為一種較為特殊的函數.在進行具體題目講解和練習的過程中，我們往往將它看作方程或方程組，也就是通常所說的函數解析式的形式.對于數列而言，它是通過自變量的不斷變化，從而得出相應的表達形式，或者求出特定的數值.因此，在對數列進行思考和解答的過程中，教師可以合理地運用函數的相關性質以及函數的思想，增強學生對于數列含義的理解，從而使學生對于等差數列、等比數列的相關問題能夠輕松應對.

函數思想對于等差數列單調性以及等比數列中通項公式的求解過程有重要的作用.比如，在數列{bn}中，d=bn-bpn-p，公差d的幾何意義在坐標系中表明這個等差數列的每一項點所處直線的斜率，教師要調動學生的積極性，讓學生去發現規律，并且解決問題.再如，對于等差數列的求和公式：S=（a1+an）n2，在進行解題時，可以對這個等式做出相應變化：S=dn22+a1-d2n，這個時候再進行解答，就可以轉換成與n有關的二次函數，使解答變得更加容易.

同時，數學教師將二次函數的圖像進行展示，根據一些具體的函數性質，如開口方向、對稱軸、表達式中的具體常數項，給予學生相應的指示，使得學生的思維得到調動，并且將其和等差數列以及等比數列進行聯系.學生在聯想的過程中可以發現其中的奧妙，進而使得函數思想順利得以實踐.學生對于數列并不再感到陌生和厭倦，而是會進行積極的嘗試和實踐，運用教師在授課過程中所滲透的數學思想和解題方法來尋找具體的答案，同時總結規律，形成屬于自己獨特的解題思路，從而提高解題效率.

結束語

總而言之，在解決高中數學應用難題的過程中，數學教師和學生對于函數思想進行了深入的探索，并且對于學生的邏輯思維能力、文字總結能力的培養是卓有成效的.新的教學策略和函數思想不斷得到運用和推廣.教師在課堂上注重啟迪學生，使得學生的思維得到調動，并且注重知識的實踐和運用，為學生營造良好的函數思想運用情景和氛圍，提高了整體的教學效率.這些函數思想也為學生數學學習興趣的激發、學習積極性的調動打下了良好的基礎.相信在不久的將來，會有越來越多的高中數學教師將函數思想融入課堂教學過程中，用函數思想解決數學問題，運用函數思想講解具體的數學知識，培養學生獨特的思維方式，從而讓更多的學生迅速地提高數學學習的效率.

【參考文獻】

[1]王予軒.淺談函數思想在高中數學解題中的應用[J].考試周刊，2018（27）：87.

[2]金香蘭.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].新課程（下），2017（11）：48.

[3]朱兆軒.函數思想在高中數學解題應用中的再思考和實踐[J].數學學習與研究，2018（22）：126.