“理”圖形表征，“論”模型本質(zhì)

周偉萍

【摘要】數(shù)學學習的抽象有經(jīng)驗抽象和自反抽象.經(jīng)驗抽象可以是以真實的事物或現(xiàn)象作為直接的原型，由一類物質(zhì)對象抽象出共同的特征;自反抽象是以已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學對象為原型的間接抽象，在更高層次上去對已有的東西進行重新構(gòu)建.Ed Dubinsky提出的APOS理論是對皮亞杰的數(shù)學學習“自反抽象”的拓展.在經(jīng)過操作、過程、對象、圖式等階段后完成數(shù)學對象、數(shù)學思維的建構(gòu)和提升.以APOS理論為指引，對畢業(yè)班復(fù)習階段性學業(yè)評價訓(xùn)練的壓軸題“理”圖形表征，“論”模型本質(zhì).

【關(guān)鍵詞一】APOS理論;初中數(shù)學;壓軸題

一、復(fù)習階段性學業(yè)評價訓(xùn)練原題呈現(xiàn)

如圖1，矩形OABC的頂點O是平面直角坐標系的原點，點A，C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（8，4），將矩形OABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形ADEF，D，E，F(xiàn)分別與B，C，O對應(yīng)，EF的延長線恰好經(jīng)過點C，AF與BC相交于點Q.

（1）求證：△ACQ是等腰三角形.

（2）求點D的坐標.

（3）如圖2，動點M從點A出發(fā)在折線A-F-C上運動（不與A，C重合），經(jīng)過的路程為x，過點M作AO的垂線交AC于點N，記線段MN在運動過程中掃過的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

圖1? 圖2

二、梳理原題圖形表征

本題為全卷壓軸題，分值為10分，考查：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、矩形和三角形的面積等知識，用到了函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等.本題考查的是幾何綜合類型，也有代數(shù)的綜合味道在里面，是一道符合課程標準的好題.

圖形中包含著坐標、一般三角形、直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、翻折的三角形、旋轉(zhuǎn)的三角形、矩形及旋轉(zhuǎn)的矩形.相似三角形中有A字型、反A字型、旋轉(zhuǎn)型、一線三等角型等.

三、討論幾何模型本質(zhì)

APOS理論認為，在數(shù)學學習中，如果引導(dǎo)個體經(jīng)過思維的操作、過程和對象等階段后，個體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式，從而理清問題過程，順利解決問題.

1.對基本形的感知，完成操作

個體對于感知到的對象進行轉(zhuǎn)換，而此時的對象實質(zhì)上是一種外部刺激.不斷地重復(fù)這種操作，學生可以從中得到不斷的反思，會在大腦中進行一種內(nèi)部的心理結(jié)構(gòu)，形成一種過程模式.

圖3（1）如圖3，已知矩形ABCD，連接AC，求證：△ABC≌△CDA.

（2）如圖3，已知矩形ABCD，將△ABC沿AC對折得△AEC，求證：△AEC≌△CDA.

（3）如圖3，已知矩形ABCD，將△ABC沿AC對折，CE與AD交于Q點，AB=4，AD=8，求CQ的長.

圖4（4）如圖4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，寫出圖中相等的角.

（5）如圖4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，若∠BOD繞著點O旋轉(zhuǎn)，寫出圖中相等的角.

（6）如圖4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，若∠BOD繞著點O旋轉(zhuǎn)，BF⊥OC，請構(gòu)造出與△OBF相似的三角形.

設(shè)計的理由：矩形和垂直，這兩個幾何圖形在幾何壓軸題中均是重要的基本形，是構(gòu)成復(fù)雜圖形的基礎(chǔ).因此，應(yīng)該圍繞矩形及余角定理基本形設(shè)計問題以幫助學生從各個角度去認識基本形，認識圖形所承載的命題.矩形中存在全等形，可由全等形所帶出的對應(yīng)邊相等及對應(yīng)角相等，從而引出等腰三角形、直角三角形、勾股定理.余角定理涵蓋著旋轉(zhuǎn)的變化，以旋轉(zhuǎn)角為位似中心，構(gòu)造出相似的三角形及由相似三角形得到對應(yīng)邊成比例.

每一個問題的設(shè)計目的均是加深學生對基本圖形知覺上的識別能力，并使學生通過觀察、對比、計算、發(fā)現(xiàn)等學習行為，對附在圖形之上的判定定理與該問題條件和結(jié)論的語義做細致的辨別.不斷地重復(fù)操作使學生不斷反思，慢慢地呈現(xiàn)出自動化的表現(xiàn)形式，不需要借助外部的刺激，而是對圖形整體的一個轉(zhuǎn)化及操作，可以指明圖形的基本性質(zhì)，還可以進行各種選定的數(shù)學計算，如勾股定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等.

2.對結(jié)構(gòu)完整基本形的應(yīng)用，進入過程

圖5如圖5，矩形OABC的頂點O是平面直角坐標系的原點，點A，C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，8），將矩形OABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEDF，D，E，F(xiàn)分別與C，B，O對應(yīng)，DE的延長線恰好經(jīng)過點C，AE與OC相交于點G.

（1）求證：△ACG是等腰三角形.

（2）求點F、點E的坐標.

設(shè)計的理由：將操作階段中的兩個基本形放入更復(fù)雜的圖形里，與階段訓(xùn)練題相似，在訓(xùn)練中對基本形進行尋找和確認.學生如果能在結(jié)構(gòu)完整的幾何圖形中尋找出基本形，就完成了過程模式的建構(gòu)，接下來對基本形的運用便沒問題了.我們需要將基本形背后的語義分解并放入已知或求證中，培養(yǎng)學生通過已知條件或求證結(jié)論結(jié)合題目圖形發(fā)現(xiàn)基本形的能力.將操作中的基本形放入平面直角坐標系中，并利用矩形的性質(zhì)定理設(shè)計題目，將基本形逆時針旋轉(zhuǎn)，點F在第四象限，結(jié)合相似求點F的坐標，需要在平面直角坐標系中構(gòu)造直角三角形，過點F作x軸的垂線，點F的縱坐標為負數(shù).通過加大確定基本形的難度，從而加強學生確定基本形的能力.學生若能將這一過程看作一個整體，便是把這一過程看作一個數(shù)學對象，可在結(jié)構(gòu)完整的圖形中具體地指出幾何圖形的各種性質(zhì)及如何應(yīng)用.

3.對復(fù)雜圖形一般化后基本形的探究，明確對象

圖6如圖6，已知矩形ABCD，AB=8，BC=43，矩形ABCD繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)為矩形A′BC′D′，當點D′、點A′、點D在一條直線上時，可以添加適當?shù)妮o助線和字母，寫出四個不同類型的結(jié)論.

設(shè)計的理由：學生已經(jīng)完成了模式構(gòu)建，意識到對整體的轉(zhuǎn)換與操作，就是將過程看作一個一般的數(shù)學對象.由“過程”向“對象”轉(zhuǎn)移的意義在于從更高的層次進行研究，將原有的平面直角坐標系去掉，只存在兩個全等的矩形，其中一個固定，另一個繞著一點旋轉(zhuǎn)到一個特殊位置時，會出現(xiàn)哪些特殊的幾何模型？開放式的問題情境引發(fā)學生再觀察、再思考，如全等、對折、等腰三角形、相似等，學生可自動化地辨析出與之前相似的基本形及與基本形相關(guān)的定理，從而達到遷移的目的.學生從中發(fā)現(xiàn)更多圖形相關(guān)的性質(zhì)，可以多種不同的形式表達思維.

對本題的解決現(xiàn)狀進行檢查，可了解學生是否已經(jīng)對幾何基本形做出心理建構(gòu).教師在教學中更能把握學生的學習程度，找準學生學習的困難點，并有效地打開結(jié)點.

4.改編求解結(jié)論的基本形應(yīng)用，形成圖式

圖7改編一：如圖7，矩形OABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，0°<α<180°，線段AF所在直線與線段BC所在直線交于點Q，作EH⊥x軸交CB于點P，求線段AQ的函數(shù)關(guān)系式.

改編二：如圖7，若點M在線段AF上運動，連接EM，求45AM+EM的最小值，并求此時AM的值.

改編三：如圖7，矩形繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)中，D，B，F(xiàn)三點是否會共線？若會，求點D的坐標;若不會，說明理由.

圖8改編四：如圖8，矩形OABC旋轉(zhuǎn)后使點O剛好落在線段BC上為點E.

（1）求∠OAE的大小.

（2）動點M從點A出發(fā)在折線A-F-C上運動（不與A，C重合），經(jīng)過的路程為x，過點M作AO的垂線交AC于點N，記線段MN在運動過程中掃過的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求△AMN周長C關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)計的理由：學生在頭腦中對原有的相關(guān)方面的問題圖式進行整合，圖式由單個圖式發(fā)展為多個圖式，并進行圖式的遷移，就會產(chǎn)生新的問題圖式.學生要會辨析并決定某些問題或某類問題是否屬于這個圖式，從而做出不同的反應(yīng).通過對原題的各種改編，學生跳出原有的實踐活動，對自己的活動過程進行反思，認識單個圖式的性質(zhì)，整合多個圖式的關(guān)聯(lián).學生會對基本形進行分類，在遇到新問題時是單個圖式處理，還是多個圖式整合，就會判斷哪些問題是存在于這個圖式中，最后對圖式進行遷移，形成對基本形的理解，建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu).

設(shè)置多個例題及其變式，由問題鏈構(gòu)成回顧小結(jié).如讓學生自己改編題目，使學生在學習后進行自我反思，達到在反思中建構(gòu)新“圖式”.

四、APOS理論對數(shù)學教學的價值

APOS理論起源于皮亞杰的數(shù)學學習的“自反抽象”理論，指導(dǎo)教學可以使學生經(jīng)歷由感性認識上升到理性認識，再經(jīng)過比較、反復(fù)，形成更高層次的認識.在形成知識圖式的同時，形成了思維圖式，學生思維得到不斷提升.在建立圖式的過程中，教師不斷啟發(fā)學生，調(diào)動學生的積極性，使學生的非認知因素得到改善，培養(yǎng)學生全面發(fā)展，因此，運用APOS理論對數(shù)學教學產(chǎn)生指導(dǎo)作用.

【參考文獻】

[1]喬連全.APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學學習理論[J].全球教育展望，2001（03）：16-18.

[2]陳麗清.初中平面幾何的概念課教學設(shè)計研究[D].成都：四川師范大學，2016.

[3]仲康康.基于APOS理論的初中平面幾何教學的題組設(shè)計研究[J].鞍山師范學院學報，2018（02）：29-32.