淺析分類討論思想在函數單調性討論中的應用

黃麗

摘要：分類討論思想是高中數學應用性最廣的思想之一，也是最近幾年數學科目高考的熱門考點，也是學生學習的難點之一。在函數相關的試題中主要涉及求函數的最值、零點、單調性等知識點時，由參數的變化以及一些條件限制而引起的分類討論。本文從函數單調性討論中分析分類思想的應用，理清思路，讓學生能更好的理解分類討論思想，從而提高學生的解答問題的能力。

關鍵詞：分類討論思想;應用步驟;函數單調性

在學習分類討論思想的過程中，首先需要對分類討論思想有一定的認知。其學習的實質是學生需要構建其認知結構，并將其納入到已有的數學知識體系中，使學生的思維更具有條理性。在對學生訪談的過程中認識到，學生對分類討論思想的認知和運用其解決數學問題時存在困難。

一、簡析分類討論思想

在數學解題過程中，有些題目的結果不是唯一確定的，而且有些數學方法的使用也有其限定的條件。當在解決這些問題時，就需要先根據題目的特性和條件，分成若干種情形，將題目轉化成若干個小的問題去解答，然后總結歸納得出結果，這種化整為零、化繁為簡的解題思路就是分類討論的思想。分類討論思想可應用于整個高中數學的階段的學習之中，要求學生的思維具有較好的靈活性和條理性。

二、明確分類討論思想運用的步驟

2.1確定討論對象

在解答分類討論問題時，首先我們需要搞清楚分類討論的對象。而在我們探討的函數的單調性討論中，需要討論的主要是兩方面的內容：第一個是討論函數的性質，特別是針對其奇偶性在區間上的單調性進行討論;第二個是分段函數;函數單調性討論本質上還是因為參數的不確定性而產生的討論。

2.2依據一定的準測對討論對象進行分類

對討論對象進行分類有助于解題的條理性和準確性，分清主次，另外，分類討論要做到不重復、不遺漏，例如，對于一些函數圖像隨參數變化而產生位置變化的題目，需將圖像按照一定的順序，從左到右或者從上到下，減少漏解。

2.3歸納總結

任何數學問題都具有一定的完整性，而分類討論思想是將一個完整的問題分解成一個個小的問題進行解答。所以為保證數學問題最終的完整性，歸納總結就顯得尤為重要。學會按順序整合討論的結果也是非常關鍵的，在整理的過程中，及時發現自己的問題特別是重復或者遺漏之處。通常來說，分類討論思想最后歸納總結的方法有：并列總結法、并集歸納法、交集歸納法。

三、分類討論思想在函數單調性討論中的應用

分類討論思想在高中數學具有很重要的地位，應用非常廣泛，最近幾年在數學科目高考命題中亦是熱點。下面幾個典例就充分展示了分類討論思想如何在函數單調性討論中得到應用的。

例1、已知函數，.討論函數的單調性;

解：先對函數求導，

，

（1）當時，，由得：，

由，得：，故此時的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）當時，令得：或

由得：，此時

由得：或，此時

故此時的單調遞減區間為，，單調遞增區間為

綜上：當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為;

當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為.

分析：在對原函數求導后得到函數g（x）=-ax2+（2a-1）x+2，其函數特征為：二次項系數含有參數，針對其系數變化的不確定性進行討論。根據研究對象的特征，需進行兩個層次的討論。第一層次：討論a=0或者a>0，從而確定函數的類型。當a=0時，該函數為一次函數，求解較為簡單，應先求出。當a>0時，函數為二次函數，那么第二層次就需通過g（x）的符號進行討論，g（x）>0，則函數在區間上單調遞增;g（x）<0，則函數在區間上單調遞減;最后再將求得的結果進行歸納總結，得出結論。在解答這類問題時，我們需要掌握好分類的對象以及分類的準則，然后分層依次討論，就能解答成功。

結束語

綜上所述，分類討論思想是眾多數學思想中極為重要的一種數學應用思想，不僅在學習上，在實際生活中分類討論思想亦是應用廣泛。隨著素質教育的深入發展，分類討論思想的重要性愈發明顯。因此，在高中數學教學過程中教師應更加重視分類討論思想的培養。

參考文獻：

[1]陳蓬.分類討論思想在含參函數中的應用[J].中學數學，2018（09）：62-63.

[2]胡昌安.分類討論思想在函數中的應用[J].高中數理化，2016（Z2）：6-7.