運(yùn)用化歸數(shù)學(xué)思想，把握初中代數(shù)基本建構(gòu)

山東省平度市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉玉鵬

一、數(shù)學(xué)化歸思想概述

作為重要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，化歸思想需要將數(shù)學(xué)問(wèn)題完成由難到易、由繁到簡(jiǎn)的處理，整個(gè)過(guò)程需要完成轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，因此被稱為化歸。從化歸思想特點(diǎn)來(lái)看，包含數(shù)學(xué)化、代數(shù)化和計(jì)算化。著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾就曾經(jīng)指出：“把一切問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題”，將化歸思想當(dāng)成解決問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”。在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中，包含較多細(xì)碎知識(shí)點(diǎn)，想要在解題中做到熟練運(yùn)用，還要做到運(yùn)用化歸思想完成知識(shí)方法的不斷轉(zhuǎn)化，從而完成代數(shù)基本建構(gòu)。

二、化歸思想在初中代數(shù)基本建構(gòu)中的運(yùn)用

（一）樹(shù)立思想，深化理解

在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中，教師常常會(huì)提到化歸思想，但也總是停留在“提到”階段，如在解題時(shí)簡(jiǎn)單敘述“這道題采用化歸思想解答”，給學(xué)生留下了抽象印象，難以真正理解化歸思想。對(duì)于學(xué)生來(lái)講，由于教師未能向?qū)W生充分展示化歸思想與解題規(guī)律的關(guān)系，學(xué)生較難從中獲得啟示，因此難以樹(shù)立化歸思想。教師應(yīng)在初中代數(shù)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立化歸思想，能夠深入理解化歸方法。例如，學(xué)習(xí)“不等式”的內(nèi)容，針對(duì)“利用不等式不同性質(zhì)比較2a與a的大小(a ≠0)”的問(wèn)題進(jìn)行講解，不能一味強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)的理解和運(yùn)用，還要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，完成問(wèn)題嚴(yán)密推理，從而加強(qiáng)化歸思想的理解和把握。具體來(lái)講，就是可以先要求學(xué)生嘗試運(yùn)用之前學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解答，學(xué)生利用“作差法”，能夠得到：

∵2a>a ∴2a - a>a - a ∴a>0。

（二）加強(qiáng)運(yùn)用，鍛煉思維

在學(xué)生理解化歸思想后，教師還要指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)化歸思想運(yùn)用，以便得到思維鍛煉，做到熟練運(yùn)用化歸思想解題。在初中代數(shù)解題中，時(shí)常會(huì)遇到各種復(fù)雜問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理。運(yùn)用化歸思想訓(xùn)練學(xué)生解題，能夠使學(xué)生反復(fù)將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化為多個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，得到思維鍛煉的同時(shí)，學(xué)會(huì)借助化歸思想對(duì)復(fù)雜題目進(jìn)行推敲，完成關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)提煉，繼而順利完成問(wèn)題解答。例如，求解“實(shí)數(shù)a，b 滿足a +b2= 1，求2a2+ 4b2的最小值”這一題，其中包含兩個(gè)字母，屬于二元問(wèn)題。運(yùn)用化歸思想，可以得到：

∵a + b2= 1∴b2= 1- a∵2a2+ 4b2= 2a2+4(1- a)= 2(a - 1)2+ 2。 ∵a= 1- b2≦1∴a= 1時(shí)，2a2+ 4b2最小，取值為2。在進(jìn)行代數(shù)多元問(wèn)題求解時(shí)，要求學(xué)生根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特征對(duì)元與元關(guān)系展開(kāi)分析，學(xué)生可以學(xué)會(huì)將問(wèn)題化歸為一元問(wèn)題。除了用于求解簡(jiǎn)單多元方程，化歸思想也能用于求解高次方程，使方程轉(zhuǎn)化為低次。因此在鍛煉學(xué)生化歸思維時(shí)，可以引入這類方程。例如，“已知方程x3+(a + 17)x2+(38- a)x - 56= 0，兩根為大于2的連續(xù)整數(shù)，求a值和方程根”這一問(wèn)題屬于三次方程，學(xué)生剛接觸容易感到無(wú)從下手。運(yùn)用化歸思想進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)和為0，原方程的根為1。而在方程中，只需要對(duì)x - 1 因子進(jìn)行提煉就能轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，解題如下：

∵x3+(a + 17)x2+(38- a)x - 56

=(x - 1)[x2+(a + 18)x + 56]

= 0

又∵方程x2+(a + 18)x + 56= 0 的根為比2 的連續(xù)整數(shù)，假設(shè)分別為x1和x2，假設(shè)x2= x1+ 1

∴x1+(x1+ 1)=-(a + 18)，x1(x1+ 1)= 56

∴x1= 7，a=-33，x2= 8，為原方程三個(gè)根。

反復(fù)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想解題，能夠使學(xué)生完成從模仿到自主思考的過(guò)渡，使化歸思想得以融入學(xué)生知識(shí)體系中，成為學(xué)生解題的重要手段。習(xí)慣運(yùn)用化歸思想思考問(wèn)題，能夠使學(xué)生做到有序思考，解題時(shí)迅速找到思路。

（三）引導(dǎo)反思，建構(gòu)模型

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的代數(shù)學(xué)習(xí)，學(xué)生基本可以形成運(yùn)用化歸思想將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，憑借已經(jīng)掌握的知識(shí)求解問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，總結(jié)化歸思想主要用于哪些問(wèn)題求解。但化歸思想作為將一種狀況向另一種狀況轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并非僅僅停留在復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化層面。教師適時(shí)提出“將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題”的化歸思想，能夠拓展學(xué)生的思維，最終對(duì)化歸思想產(chǎn)生全面理解，完成代數(shù)化歸模型的建構(gòu)，繼而為代數(shù)學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。例如，教師可以要求學(xué)生求解“(20192+ 4)/(20212+ 20172)”這一問(wèn)題，題目中擁有特殊數(shù)字，按照常規(guī)方法求解需要完成復(fù)雜運(yùn)算。但運(yùn)用化歸思想，可以利用字母x 對(duì)數(shù)字進(jìn)行表示，根據(jù)三個(gè)數(shù)字關(guān)系進(jìn)行題目重新整理，得到：

假設(shè)x= 2019，則2017= x - 2，2021= x + 2，

(20192+ 4)/(20212+ 20172)

=(x2+ 4)/[(x + 2)2+(x - 2)2]

=(x2+ 4)/2(x2+ 4)

= 1/2

通過(guò)題目求解，學(xué)生能夠從中獲得啟示，發(fā)現(xiàn)化歸思想也可以用于對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理，從而簡(jiǎn)化題目求解過(guò)程，直接獲得結(jié)果。在初中代數(shù)學(xué)習(xí)階段，許多問(wèn)題如果采用常規(guī)方法需要完成復(fù)雜運(yùn)算，都可以運(yùn)用化歸思想進(jìn)行處理，以便使解題效率得到提高。

三、結(jié)語(yǔ)

在初中代數(shù)教學(xué)中，教師還應(yīng)逐步實(shí)現(xiàn)化歸思想滲透，促使學(xué)生逐步完成代數(shù)基本建構(gòu)。在實(shí)踐教學(xué)中，教師將化歸思想與代數(shù)問(wèn)題求解充分融合，能夠幫助學(xué)生理解化歸思想，并在解題鍛煉中得到思維鞏固，最后通過(guò)反思得到思維拓展，做到靈活運(yùn)用化歸思想學(xué)習(xí)代數(shù)。