地月Halo與DRO支持的往返月球任務軌道

曾 豪，李朝玉,徐 瑞，郝 平，彭 坤

(1.北京空間飛行器總體設計部，北京 100094；2.北京理工大學，北京 100081)

0 引 言

獨特的空間環境觀測位置與行星際探測的低耗能中轉站使得三體系統平動點在空間任務中的應用價值逐步凸顯[1-3]。地月系統平動點軌道能夠為月球探測中繼星的部署提供落腳點，支持著陸器與巡視器的月球背面導航任務[4-5]。借助地月空間擬周期軌道分析月球磁性層與空間環境[6]。其次，地月L1點與L2點計劃用于未來載人空間任務，將空間站部署于月球附近三體平動點軌道，能夠完成空間物資運輸與燃料補加[7-8]、載人火星[9]與小行星探測任務[10]。同時，通過月球引力輔助與不變流形理論能夠實現飛行器由地球停泊軌道與平動點軌道之間的低能量轉移，從而有效地提高飛行器攜帶有效載荷的能力，將飛行器的月球探測任務作用最大化。

針對三體軌道支持的登月往返任務研究，彭坤等[11]分析了空間站部署地月平動點Halo的載人月球探測飛行模式，從燃耗需求、登月窗口和可靠性等多方面進行優劣分析與定量評價，分析表明基于L2點Halo的空間站登月模式可以為載人深空探測任務提供支持。Whitley等[8]針對月球附近的近直線Halo軌道與環月軌道(LLO)間往返時間與速度增量等參數變化特性及全月面可達域進行研究。同樣地，曹鵬飛等提出了一種設計變量解析初值搜索策略，結合不變流形與局部梯度優化對探測器由Halo軌道飛抵LLO的兩脈沖轉移特性與奔月軌道月面可達范圍進行分析[12]。Gao等針對嫦娥2號探測器環繞地月平動點軌道的潛在拓展性試驗進行分析，借助穩定流形分別設計了環月軌道飛抵地月L1點與L2點Halo軌道的三脈沖軌跡[13]。Mingotti等[14]結合小推力技術與不變流形理論，采用離散配點法實現了不穩定流形與環月軌道的最優小推力拼接，但存在任務飛行時間長等問題。

地月系統三體軌道與環月軌道之間構造最優轉移軌跡需要綜合分析多天體引力相互影響下的復雜動力學特性。同時，三體軌道與環月軌道離軌點、捕獲點位置的確定，將對軌道轉移燃耗、時間等性能指標產生影響。因此，如何考慮約束模型，如何借助空間流形快速構造初始轉移軌跡，如何調整離軌點與捕獲點確定燃料最優軌跡的同時有效地縮短飛行時間，均是飛行器往返三體軌道與月球軌道設計時亟需重點考慮和解決的問題。

結合以上問題，同時考慮到Lambert理論求解兩點邊值問題時[15]，二體模型與三體模型差異導致的部分工況軌道設計初值收斂性較差的問題。本文直接以三體模型下平動點軌道與不變流形構型為基礎，通過微分修正迭代求解初始轉移軌跡，確定設計變量初值。然后采用配點法與局部優化算法(SQP)，構造出滿足近月點約束的環月軌道與平動點軌道之間燃料最優往返轉移。設計過程中采用時間變量表征三體軌道上狀態量，迭代優化求解確定轉移軌道最佳的離軌點與捕獲點。本文以月球附近Halo與DRO為研究對象，對不同幅值三體軌道、環月軌道傾角及任務飛行時間對變軌機動增量的影響重點分析，驗證所提設計方法的有效性與通用性，為未來登月任務規劃提供理論支持與數據借鑒。

1 軌道設計模型與研究目標

1.1 圓型限制性三體模型

針對飛行器往返環月軌道與三體軌道的空間狀態變化特性分析，本文以地球、月球及飛行器組成的圓型限制性三體模型(CR3BP)進行研究，如圖1所示。

圖1 會合坐標系與三體軌道Fig.1 Rotating reference frame and three-body orbits

根據能量法并對時間、質量、長度等參數無量綱化處理，飛行器在質心會合坐標系下的動力學模型為：

(1)

式中:

(2)

1.2 三體軌道與狀態轉移矩陣

在地月三體空間中，月球附近包含著構型各異的周期軌道，本文基于大幅值逆行軌道(Distant retrogr-ade orbit,DRO)與暈軌道(Halo orbit,Halo)兩種類型的往返軌跡進行設計與特性分析，如圖2所示。

Halo軌道為平動點附近的暈軌道，通過L2點Halo軌道能夠實現對月球背面可見(嫦娥四號中繼星任務軌道)。同時，由圖2(a)與(b)可知，Halo軌道附近穩定流形與不穩定流形，能夠為往返軌道設計提供幫助。

DRO軌道為圍繞月球的逆向運行共振軌道。研究可知，DRO具有Lyapunov穩定性，雖然空間天體引力會破壞DRO的穩定性，但此軌道仍適合于長時間的天體繞飛任務與日地觀測任務[16]。

在CR3BP模型中設計轉移軌道與不變流形時，可采用狀態轉移矩陣描述下一時刻對當前時刻狀態量的敏感性，提高軌道計算效率與降低設計難度，滿足：

(3)

圖2 地月空間Halo與DRO分布特性Fig.2 Characteristic of Halo and DRO in cislunar space

2 約束模型與設計方案分析

2.1 往返軌跡約束建模

針對環月軌道與三體軌道之間往返特性分析，為降低軌道設計難度，本文直接以三體軌道與不變流形為基礎，構造燃料最優飛行軌跡，如圖3(a)所示。

為了更好利用三體平動點軌道特性降低設計難度，基于逆向積分策略進行往返軌跡求解。通過時間變量τ表征三體軌道對應時刻的狀態量，優化搜索τ可快速地確定去程離軌點與回程捕獲點最佳位置。同時，為了設計出滿足給定約束的最優轉移軌跡，結合多重打靶法與序列二次規劃算法對初始參考軌道進行分段處理，能夠有效降低設計參數的敏感性。

具體地，最優軌跡求解時設計變量C包含去程三體軌道離軌點或者回程捕獲點時間變量τ與三軸速度增量ΔVOI、拼接點之間飛行時間Ti及狀態量Xi。設計變量與約束方程滿足：

(4)

C1=[ΔVOI,Tf]T

(5)

若限制轉移時間固定，則在式(4)中考慮時間約束，即T1+T2+…+Tn-1=T*。

圖3 月球往返轉移與多重配點策略示意圖Fig.3 Diagram of round-trip transfers and multiple collocation strategy

2.2 設計初值猜想策略

針對設計變量初值搜索問題，Halo軌道附近存在著不穩定流形與穩定流形，可以通過施加脈沖對不變流形結構進行調整，使得轉移軌道終端滿足約束方程中部分條件。而DRO軌道較為穩定，無法基于空間流形確定軌道初值，但DRO為平面周期軌道，關于y軸近似對稱，同樣能夠通過調整速度增量確定合適的初始轉移軌道，如圖4所示。

圖4 初始參考軌跡迭代過程Fig.4 Iteration process of designing initial reference path

具體設計步驟可描述為(以去程軌跡為例)：

1)構造目標三體Halo軌道與DRO軌道，初步選取離軌點，合適的位置位于xy平面內x軸向距離月球最遠端附近。

2)確定Halo軌道不穩定流形與DRO軌道上航跡角為零的位置，如圖4中圓點所示，進而確定轉移時間Tf。

3)結合微分修正算法，考慮轉移終端環月軌道高度hm與航跡角γm約束，迭代修正設計變量C1，能夠快速設計出滿足約束的轉移軌跡，如圖4所示。

微分修正算法中需要結合狀態轉移矩陣和軌道末端點狀態量，確定約束變量關于自由變量的微分關系式，即:

(6)

針對環月軌道高度約束，滿足:

(7)

其中:rm=rf-[1-μ,0,0]T。

飛行航跡角關于狀態量的偏導數為:

(8)

2.3 局部優化約束方程梯度信息

上述軌道初值求解策略僅滿足環月軌道高度與航跡角約束，且三體軌道離軌點(或捕獲點)相對固定，無法保證轉移方案的最優性。應通過局部優化SQP算法對設計變量進一步迭代求解，確定最優軌跡的設計變量參數值。同時，結合多重打靶法對初始參考軌道分段處理降低軌道設計難度。目標函數滿足:

(9)

推導目標函數、約束方程的梯度關系。其中，目標函數僅包含為ΔVOI與ΔVLMO，即:

(10)

近月點軌道高度與相對月球航跡角的偏導數如式(7)與式(8)所示。類傾角及其關于末端點狀態量的微分關系滿足:

(11)

根據鏈式法則與矢量運算法則:

(12)

其次，拼接點位置與速度矢量約束關于設計變量的梯度滿足:

(13)

(14)

若考慮轉移時間約束，則拼接點時間偏導數?Ti/?Ti=1。約束方程的梯度矩陣階數為(6n-2)×(7n+1)，部分項由式(7)～(14)構成，其他項均為零。

3 月球往返軌道方案分析

本文基于地月空間限制性三體系統及月球往返軌道設計方法，分析不同構型Halo與DRO轉移軌道特性，重點討論環月軌道傾角與三體軌道幅值變化對任務燃耗與飛行時間的影響。在任務規劃時，設定環月軌道高度300 km，相對月球的飛行航跡角為0°。

3.1 基于Halo軌道的月球往返軌道設計

3.1.1往返轉移軌道特性分析

圖5描述了考慮環月軌道類傾角90°，目標Halo軌道法向幅值8000 km，飛行時間分別為2天與3.5天往返轉移軌跡。由圖可知，不同工況下Halo軌道上合適的離軌點與捕獲點位于遠離月球一端的弧段，環月軌道機動點分布于xy平面附近。針對2天往返轉移軌道，飛行器施加292.863 m/s速度增量從Halo軌道上離軌，飛行2天后在近月點沿速度方向機動614.713 m/s完成環月軌道捕獲，回程軌跡中環月軌道與Halo軌道機動速度增量分別為617.469 m/s與262.084 m/s。

圖5 Halo軌道往返最優Fig.5 The round-trip optimal transfers of Halo scenario

針對3.5天往返轉移任務，去程與回程軌跡在Halo軌道上變軌機動分別為161.354 m/s與144.963 m/s，環月軌道上特征點變軌速度增量分別為600.337 m/s與603.351 m/s。比較兩種工況可知，增加轉移時間，能夠一定程度上降低燃料消耗，即去程降低145.885 m/s與回程減少131.239 m/s。若為載人登月任務軌道，時間增加1.5天后需要考慮熱控、食品消耗等因素的影響。因此，需要根據任務指標綜合考慮燃耗與其他消耗選取飛行軌跡。

為了更好地給出環月軌道傾角與飛行時間對速度增量的影響，對固定飛行時間區間T∈(2.0, 3.5)天，環月軌道類傾角(10°，170°)(即月球低緯度至高緯度)的轉移軌道特性進行分析，如圖6所示。由圖可知：1)針對Halo轉移方案，在給定的時間范圍內，隨著飛行時間的增加，往返轉移速度增量總體呈現下降趨勢。2)固定飛行時間，隨著類傾角逐步增大，相比于小傾角工況，完成大傾角轉移任務所需速度增量增加。3)去程軌跡與回程軌跡速度增量范圍分別介于(716.883，915.823)m/s與(702.589，938.409)m/s。

圖6 飛行時間、類傾角與速度增量的變化關系Fig.6 The maps of time, velocity increment and analogy inclination

圖7 類傾角10°與170°的往返轉移軌跡Fig.7 Round-trip transfers of analogy inclination 10°and 170°

3.1.2Halo法向幅值對轉移效果的影響

分析不同幅值Halo軌道的轉移特性，能夠為軌道尺寸的選取提供依據。本文針對法向幅值介于[5000, 27000]km(每隔1000 km進行取值)的去程轉移軌跡，以及變軌增量、任務時間參數變化進行分析，如圖8與圖9所示。

對比飛行軌道及各項關鍵參數，不同Halo法向幅值的轉移軌道離軌點分布與環月軌道捕獲點位置相近。轉移總速度增量隨著法向幅值的增大而逐步減小，介于(647.056，808.365)m/s，其中飛行器離軌機動滿足42.367 m/s與196.985 m/s范圍內。飛行時間呈現增大趨勢，但改變量較小，僅為5.829-5.577=0.252天。

當Halo軌道法向幅值為5000 km時，飛行器完成離軌機動后195.460 m/s，飛行5.586天后施加增量611.441 m/s完成月球捕獲機動。當法向幅值為27000 km時，飛行器在Halo軌道上離軌速度增量為66.777 m/s，航行5.811天后在上施加604.364 m/s進入目標環月軌道。

圖8 Halo-月球往返轉移軌跡Fig.8 Round-trip transfer orbit between Halo and the Moon

圖9 不同條件的Halo轉移變軌增量與時間變化Fig.9 The curves of impulse increment and transfer time of different Halo scenarios

3.2 基于DRO的月球往返轉移特性分析

針對飛行器去程與回程速度增量與飛行時間對比分析，速度增量最小差值與最大差值分別為0.117 m/s(類傾角66°)與1.014 m/s(類傾角10°)。具體地，當環月軌道類傾角為10°時，飛行器完成月球往返轉移約8.65天，近月點施加的速度增量為628.812 m/s與629.072 m/s，實現DRO離軌與捕獲變軌分別為125.723 m/s與126.478 m/s。

圖10 環月軌道-DRO最優轉移軌跡Fig.10 The optimal round-trip transfers between the LMO and DRO

圖11 不同類傾角下速度增量與轉移時間變化關系Fig.11 The relationship of velocity increment and transfer time in different scenarios

其次，針對固定時間轉移任務，即5.917天，總機動增量變化曲線如圖12(b)所示。隨著雅克比常數逐步增加，速度增量變化滿足743.176 m/s至762.974 m/s，此工況下，飛行器實現小雅克比常數DRO轉移任務所需的速度增量增加。最小速度增量位于C=2.918086，完成任務總速度增量為743.176 m/s，其中離軌點速度增量113.688 m/s，月球捕獲機動629.488 m/s。

圖12 可變與固定時間的機動參數變化曲線Fig.12 The curve of impulse increment at a variable and fixed time

3.3 關鍵參數對比分析

分析地月平動點Halo與DRO軌道支持的登月模式的燃耗需求與時間需求，圖6與圖11燃料最優設計結果見表1。

表1 不同月球往返軌道的速度增量與時間需求Table 1 Demand for velocity increment and flight time for different orbits in lunar exploration

對比Halo與DRO兩種模式的往返環月軌道的轉移方案，完成Halo與DRO轉移任務需要的機動增量相當，但Halo轉移更適合于短時間任務。DRO模式為降低任務燃耗，轉移時間將會增加。應注意，三體軌道幅值(即雅克比常數)對轉移任務指標存在一定的影響，需根據實際任務需求確定軌道幅值。

4 結 論

本文針對飛行器往返月球附近Halo或DRO與環月軌道設計問題，結合不變流形理論與三體軌道構型特性，解決了軌道設計初值猜想問題，結合局部優化算法與多重打靶法對設計變量進一步迭代優化，重點分析了不同構型三體軌道與環月軌道對任務燃耗與飛行時間等關鍵指標的影響。研究表明：

1)針對特定的三體軌道，Halo與DRO的往返軌道特征點變軌增量、轉移時間相近。隨著環月軌道類傾角的增大，Halo轉移速度增量逐步增大，而DRO轉移呈現先增大后減小的趨勢，轉移時間降低。

2)針對Halo轉移方案分析，不同環月軌道類傾角條件下，單程轉移時間介于2～3.5天對應的速度增量在702.589～938.409 m/s范圍內。當飛行時間差異在0.5天內時，選取大幅值Halo作為任務軌道，能夠較好地降低往返轉移速度增量。

3)針對DRO轉移方案分析，不同類傾角工況下往返速度增量介于734.337～754.84 m/s，時間區間介于5.917～8.062天范圍。相比于Halo轉移方案，完成飛行任務的時間增加。

4)比較兩者登月模型任務，Halo轉移是綜合考慮時間與燃耗的最佳轉移方案，而DRO燃料最優轉移適合于對時間要求不高的飛行任務。

上述設計方法與分析結論，對于考慮環月軌道與三體軌道間往返軌道設計及變量選取具有重要的參考價值。同時應注意，SQP算法為局部迭代優化算法，后續可進一步考慮全局優化算法對結果優化求解。