預(yù)測與反演交會制導(dǎo)的燃料消耗遺傳算法尋優(yōu)

譚天樂

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109； 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實驗室，上海 201109)

0 引 言

受燃料補(bǔ)給限制，目前大部分航天器全壽命期間所具有的軌道機(jī)動能力有限。對于交會對接、懸停、繞飛等空間相對制導(dǎo)任務(wù)，如何實現(xiàn)燃料消耗最優(yōu)一直是理論和工程上的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題。

國內(nèi)外空間相對軌道機(jī)動的軌跡規(guī)劃方法包括間接法和直接法[1]。直接法把控制變量或狀態(tài)變量離散和參數(shù)化，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題;直接法易收斂，但計算量大，且容易收斂到局部最優(yōu)解。間接法基于龐特里亞金極小值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一個哈密頓邊值問題;間接法收斂域小，求解精度較高，但間接法的求解過程同樣較為繁瑣。

文獻(xiàn)[2-3]在離散時間控制系統(tǒng)中，根據(jù)動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)受控變化的規(guī)律，設(shè)計了時間約束下，基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的模型預(yù)測與反演控制(Model predictive and inversive control，MPIC)制導(dǎo)律。在MPIC制導(dǎo)中，是否可以通過減少推力器的工作脈沖以節(jié)省燃料是本文研究的內(nèi)容。對于有k個控制周期的MPIC制導(dǎo)，將有2k種可能的推力器脈沖工作組合。以目前的算力，采用遍歷法在龐大可行解空間進(jìn)行燃料消耗尋優(yōu)是難以實現(xiàn)的。因此,考慮采用智能搜索方法。

遺傳算法模擬自然界的生物進(jìn)化過程，根據(jù)基因交換、變異的遺傳理論以及物競天擇、適者生存的自然選擇規(guī)律，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成解集中目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)的評估以及最優(yōu)解搜索問題，具有并行、高效、全局搜索和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。遺傳算法的主體是個體和種群。優(yōu)化問題解集中的解被稱之為個體，多個個體形成遺傳種群。常見的遺傳算法[4]有分層遺傳算法、CHC算法、Messy遺傳算法、自適應(yīng)遺傳算法、小生境遺傳算法、并行遺傳算法、混合遺傳算法等等。遺傳算法已被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)優(yōu)化、自動控制、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域，并在旅行商問題求解[5]、任務(wù)調(diào)度[6-7]、供電優(yōu)化[8-9]、機(jī)械臂控制[10-11]、航天器姿態(tài)控制[12-13]、星座設(shè)計優(yōu)化[14-15]等各個方面得到研究和應(yīng)用。在航天器的交會制導(dǎo)控制方面，國內(nèi)外專家學(xué)者先后研究了在Lambert交會[16-17]、衛(wèi)星任務(wù)規(guī)劃[18-19]、深空探測軌道規(guī)劃[20]、探月軌道設(shè)計優(yōu)化[21-22]、空間軌道攔截[23-24]、在軌組裝[25]、軌道上升與再入返回[26-27]等任務(wù)場景中采用遺傳算法進(jìn)行軌跡尋優(yōu)。

采用遺傳算法進(jìn)行空間相對制導(dǎo)軌跡優(yōu)化的常見方法，通常需結(jié)合推力器工作時點(diǎn)、工作方向、推力大小，對時間和軌控速度增量進(jìn)行加權(quán),以表示優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),在固定脈沖數(shù)次數(shù)的情況下，基于Lambert交會或C-W制導(dǎo)進(jìn)行尋優(yōu)。這些方法在優(yōu)化結(jié)果中對交會制導(dǎo)精度缺少必要的分析,在優(yōu)化過程中假設(shè)推力器以沖量形式工作，對于推力的工作次數(shù)未能進(jìn)行充分地尋優(yōu)。

本文基于MPIC多脈沖制導(dǎo)，構(gòu)造以軌控速度總量為基礎(chǔ)的適應(yīng)度函數(shù)，以各控制周期中推力器是否工作設(shè)計二進(jìn)制編碼串形式的遺傳個體，采用了等距稀疏控制的啟發(fā)式種群初始化策略以提高計算效率。遺傳交叉、變異以及選擇淘汰策略形式簡潔，優(yōu)化結(jié)果全局收斂。針對能控性和推力器輸出限制設(shè)計了罰函數(shù)以確保優(yōu)化結(jié)果的可行性。給出了燃料尋優(yōu)的一種智能搜索算法，為多脈沖交會制導(dǎo)的推力器最佳開、關(guān)機(jī)工作時機(jī)提供了尋優(yōu)途徑，同時保證制導(dǎo)的精度。

1 MPIC交會制導(dǎo)的燃料消耗尋優(yōu)問題

地球近圓軌道上，參考航天器自由飛行，伴隨航天器受控飛行于其附近，測控節(jié)拍時長為T。在參考航天器第二軌道坐標(biāo)系下，兩者之間的相對運(yùn)動動力學(xué)在離散時間系統(tǒng)中可表示為[3]：

Xk=Gk,0X0+Qk,0Uk(0)

(1)

(2)

是無軌控情況下初始狀態(tài)X0向kT時刻狀態(tài)Xk演變的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

Qk,0=[Hk,k-1?Gk,k-1Hk-1,k-2?Gk,k-2Hk-2,k-3?

……?Gk,1H1,0]

(3)

為控制作用矩陣。Gj,i,Hj,i分別是狀態(tài)i向狀態(tài)j轉(zhuǎn)移的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和控制作用矩陣。

[ak-1,xak-1,yak-1,zak-2,x…a0,ya0,z]T

(4)

(5)

(6)

該控制序列確定了每個控制周期中的軌控加速度方向和大小。

當(dāng)制導(dǎo)全過程所消耗燃料相對于航天器初始總質(zhì)量相對較小，推力器比沖變化不大時，由式(4)，可將相對制導(dǎo)的燃料消耗尋優(yōu)等價于軌控速度的總量尋優(yōu)，即

(7)

目前尚未見針對式(5)的精確解析尋優(yōu)方法。因此,采用遺傳算法進(jìn)行推力器開關(guān)機(jī)的智能尋優(yōu)。

2 遺傳算法設(shè)計

2.1 構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)

遺傳算法中的適應(yīng)度函數(shù)需能對應(yīng)和評估候選優(yōu)化方案以指導(dǎo)選擇淘汰過程。適應(yīng)度函數(shù)應(yīng)為單值、連續(xù)、非負(fù)函數(shù)，形式上應(yīng)簡單、易于計算,其值域應(yīng)與搜索問題的解集對應(yīng)。

在式(3)所示Qk,0中，將各控制周期所對應(yīng)的矩陣分區(qū)分別賦值為全0或者加以保留，得到Q′k,0。則全0分區(qū)所對應(yīng)的控制周期中，軌控加速度將為0，進(jìn)而可以按照式(5)或(6)得到推力器開關(guān)機(jī)工作的軌控序列，并得到制導(dǎo)全過程所需的軌控速度總量。

由式(4)-(7)，將軌控速度總量的倒數(shù)作為個體適應(yīng)度函數(shù)

(8)

則適應(yīng)度高的推力器開關(guān)機(jī)工作策略下，MPIC制導(dǎo)所需的軌控速度總量小。Q′k,0行滿秩時，系統(tǒng)可控，Q′-k,0是系統(tǒng)動力學(xué)方程的解，MPIC制導(dǎo)理論上均可實現(xiàn)指定時間下的無偏控制且系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)種群中各個體適應(yīng)度的取值較為相近時，對適應(yīng)度函數(shù)fi(i=1～N,N為遺傳種群中個體數(shù)量)進(jìn)行尺度變換，擴(kuò)大個體之間適應(yīng)度函數(shù)的相對差異以便于后續(xù)的擇優(yōu)選擇。

(9)

式中：kf<1，kf→1。

當(dāng)Q′k,0行不滿秩時，式(5)、(6)沒有可行解，系統(tǒng)不完全能控，對應(yīng)的噴氣序列不滿足控制要求。采用罰函數(shù)法,對于Q′k,0行不滿秩的個體，將其適應(yīng)度函數(shù)直接設(shè)置為一個恒定的較小值，從而在選擇環(huán)節(jié)將其淘汰。

工程上，推力器的輸出有限。對于最大軌控加速度超限的情況，同樣可以采用罰函數(shù)法將適應(yīng)度函數(shù)直接設(shè)置為一個較小值。

2.2 種群個體設(shè)計

種群個體的具體編碼形式應(yīng)使其能參與適應(yīng)度函數(shù)計算，并與各優(yōu)化方案的評估值(適應(yīng)度函數(shù))相對應(yīng)，同時又適合進(jìn)行交叉、變異和優(yōu)勝劣汰等遺傳操作。在個體的編碼方式上有二進(jìn)制、整數(shù)、實數(shù)等不同的形式。其中,二進(jìn)制編碼便于交叉、變異等遺傳操作。

根據(jù)前述適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造原理，設(shè)計種群中的個體ci(i=1～N)為0、1二進(jìn)制編碼串形式。編碼長度為相對制導(dǎo)控制周期數(shù)k,

(10)

根據(jù)個體編碼中基因位ci,j(j=0～k-1)的0或1取值，由Qk,0得到控制作用矩陣Q′k,0。顯然，以上編碼方式滿足遺傳個體編碼與推力器開、關(guān)機(jī)控制序列相對應(yīng)的完備性、完整性和非冗余性。

2.3 選擇淘汰

選擇淘汰是遺傳算法的核心關(guān)鍵步驟。每輪迭代中，通過適應(yīng)度的評估對個體擇優(yōu)淘汰。種群朝著搜索空間中適應(yīng)度更為優(yōu)化的區(qū)域移動，因此遺傳算法不是一種盲目的隨機(jī)搜索方法，而是在適應(yīng)度的指引下，具有明確搜索方向的啟發(fā)式尋優(yōu)方法。選擇操作既要充分保留優(yōu)良個體，同時又要維持群體的多樣性以保持全局搜索能力。

采用比例選擇方式。若種群中有N個個體，個體i的適應(yīng)度為fi，其被選取的概率為

(11)

對個體按適應(yīng)度從大到小排序，依次計算kp·N·Pi(kp≥1，為選取概率調(diào)節(jié)系數(shù))并取整作為相應(yīng)個體選取數(shù)量，依次排列后根據(jù)種群總量限制組成新的種群。適應(yīng)度大的個體將被多次復(fù)制，適應(yīng)度小的個體將被淘汰。

2.4 交叉變異

交叉算子按某種方式交換種群中個體編碼串的部分基因位,從而形成新的個體，以便在解空間中進(jìn)行有效搜索。交叉操作可以加速搜索過程，增強(qiáng)遺傳算法的全局搜索能力。交叉操作有單點(diǎn)交叉、兩點(diǎn)交叉、多點(diǎn)交叉、樹交叉、部分匹配交叉等。在交叉操作中，交叉概率pc控制著交叉操作的頻度。

本文采用兩點(diǎn)交叉。遍歷種群，按照交叉概率pc挑選個體。對選中的個體，在種群中隨機(jī)挑選其他個體,隨機(jī)選定二進(jìn)制編碼串中的兩個基因位,將兩個體編碼串中兩個基因位之間的基因段進(jìn)行互換，從而完成交叉，形成兩個新的個體。

變異操作可以保持個體基因的多樣性，增強(qiáng)遺傳算法的局部搜索能力，避免過早收斂。二進(jìn)制編碼串的變異通過基因位0、1之間的翻轉(zhuǎn)實現(xiàn)。

本文設(shè)置變異概率pm。遍歷種群，按照變異概率挑選個體。對選中的個體，在編碼串中隨機(jī)選擇基因位進(jìn)行0、1翻轉(zhuǎn)操作，形成新的個體。

交叉和變異操作后，對原種群和新個體一并進(jìn)行選擇操作。保留原有個體可以避免在交叉、變異操作中損失掉最為優(yōu)秀的個體,從而能同時保證算法的收斂性和全局性。每一代種群中，最優(yōu)個體不會比上一代種群中最優(yōu)個體差。

2.5 種群初始化

種群初始化直接影響遺傳尋優(yōu)過程。可以隨機(jī)生成種群，也可以根據(jù)先驗信息啟發(fā)式初始化種群。種群個體數(shù)太少，則搜索空間中分布范圍有限，有收斂于局部最優(yōu)點(diǎn)的風(fēng)險，一次遺傳操作的尋優(yōu)能力有限；種群個體數(shù)量過多，則一輪迭代中，適應(yīng)度函數(shù)的計算次數(shù)增多，直接增加遺傳尋優(yōu)的計算復(fù)雜度。

交會制導(dǎo)的優(yōu)化目的是通過減少推力器工作時間以節(jié)省燃料。按照推力器等距稀疏控制的啟發(fā)式方法初始化種群。第1個個體二進(jìn)制編碼串所有基因位為全1，對應(yīng)全時工作，其他第i個個體的各基因位按其序號j對i取模，余數(shù)為1時，將該基因位設(shè)置為1，否則為零，得到不同控制周期間隔下的稀疏控制個體：

圖1 種群初始化的啟發(fā)式方法Fig.1 Heuristic initialization of population

遺傳算法的尋優(yōu)流程

步驟一：生成初始群體，設(shè)置交叉、變異概率等遺傳參數(shù)；

步驟二：計算種群中各個體適應(yīng)度；

步驟三：按照優(yōu)勝劣汰的規(guī)則，増廣優(yōu)秀個體，控制種群規(guī)模，淘汰弱勢個體；

步驟四：判斷是否已達(dá)到優(yōu)化停止條件，是則算法結(jié)束，否則進(jìn)入下一步驟；

步驟五：以概率pc隨機(jī)挑選種群中的個體，并在種群中隨機(jī)挑選其他個體進(jìn)行交叉操作，將新生成的個體加入種群；

步驟六：對種群中的個體以概率pm進(jìn)行變異操作，將新生成的個體加入種群，返回步驟二。

算法結(jié)束條件：通過交叉、變異操作已無法找到更優(yōu)的結(jié)果。

遺傳算法搜索尋優(yōu)流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法基本流程Fig.2 Basic flow of genetic algorithm

遺傳算法在每一輪迭代中對種群中各個體進(jìn)行適應(yīng)度評估和擇優(yōu)選擇，形成并行的搜索能力。其中的交叉變異策略使得搜索過程具有一定的跨度和跳躍性，在搜索過程中不易陷入局部最優(yōu)，具有全局搜索能力。在應(yīng)用中只需要種群個體及其適應(yīng)度函數(shù)能覆蓋優(yōu)化問題的可行解并與之相對應(yīng)，對適應(yīng)度函數(shù)沒有過多的約束和要求，因此遺傳算法還具有較好的適應(yīng)性和魯棒性。

3 仿真校驗

近圓軌道上兩個航天器的初始軌道參數(shù)見表1。

初始相對位置為[12297.9836 m，18.288 m，-121.3913 m]，初始相對速度為[0.3335 m·s-1，0.2366 m·s-1，0.2264 m·s-1]。期望實現(xiàn)零位置、零速度的交會對接。伴隨航天器的采樣控制周期為T=0.2 s，交會對接時間設(shè)置為1800 s，因此種群個體二進(jìn)制編碼串編碼長度為9000。遺傳種群個體設(shè)置為150個。交叉概率設(shè)置為0.6。變異概率設(shè)置為0.5。

表1 軌道參數(shù)Table 1 Orbital parameters

分別采用隨機(jī)和啟發(fā)式方式生成初始種群。圖3、圖4分別給出了兩種初始化策略下遺傳迭代過程中最優(yōu)個體所對應(yīng)的推力器開關(guān)機(jī)工作狀態(tài)。個體基因位取值為“1”表示相應(yīng)控制節(jié)拍中推力器開機(jī)工作。基因位取值為“0”表示相應(yīng)控制節(jié)拍中推力器不工作。

圖3 種群隨機(jī)初始化條件下最優(yōu)個體對應(yīng)的推力器開關(guān)機(jī)序列(1800 s)Fig.3 On / off sequence of thruster corresponding to the optimal individual of some generation in the case of randomly initialization(1800 s)

啟發(fā)策略可以加速遺傳算法尋優(yōu)的過程。啟發(fā)式初始化的種群經(jīng)過1000次迭代尋優(yōu)即可達(dá)到隨機(jī)初始化種群遺傳迭代4000次的類似尋優(yōu)結(jié)果。

隨著不斷的遺傳尋優(yōu)，推力器的脈沖工作時間逐漸減少。本例最終優(yōu)化得到：推力器在制導(dǎo)首、末兩個控制周期內(nèi)工作的雙脈沖控制能在理論上實現(xiàn)燃料最優(yōu)。

圖4 種群啟發(fā)式初始化條件下最優(yōu)個體對應(yīng)的推力器開關(guān)機(jī)序列(1800 s)Fig.4 On/off sequence of thruster corresponding to the optimal individual of some generation in the case of heuristic initialization (1800 s)

圖5給出了各代最優(yōu)個體對應(yīng)的軌控速度總量理論值。作為對比，圖5中還給出了隨機(jī)初始化種群的最優(yōu)個體的仿真校驗結(jié)果。仿真校驗中，模擬真實相對運(yùn)動的動力學(xué)系統(tǒng)模型未經(jīng)簡化,MPIC制導(dǎo)律基于C-W方程，存在建模誤差。若推力器工作時間過短，實際飛行軌跡將與模型預(yù)估產(chǎn)生較大偏差，實際軌控推力、軌控速度總量將偏離規(guī)劃結(jié)果,制導(dǎo)誤差增大;推力器工作更多脈沖，控制效果與規(guī)劃結(jié)果更為一致，軌控加速度將更符合工程實際。

圖5 各代種群中最優(yōu)個體對應(yīng)的軌控速度總量Fig.5 Velocity increment needed for orbit control corresponding to the optimal individual in each generation population

制導(dǎo)全過程時間不同，軌控推力器最佳工作時段的分布特征會有不同。圖6給出了交會制導(dǎo)時間為6000 s時遺傳算法尋優(yōu)的結(jié)果,推力器工作的最佳時機(jī)大致可分為三個時段。

圖6 種群啟發(fā)式初始化條件下最優(yōu)個體對應(yīng)的推力器開關(guān)機(jī)序列(6000 s)Fig.6 On/off sequence of thruster corresponding to the optimal individual of some generation in the case of heuristic initialization(6000 s)

限定航天器最大軌控加速度為0.03 m·s-2，采用罰函數(shù)法以滿足推力器輸出約束,圖7給出了根據(jù)尋優(yōu)結(jié)果得到的軌控加速度,制導(dǎo)時間為1800 s。

圖7 推力輸出約束下的軌控加速度Fig.7 Accaleration of orbit control with constraint of thruster output

種群隨機(jī)初始化條件下，以遺傳迭代4000次尋優(yōu)(圖3)得到的推力器最佳開關(guān)機(jī)序列進(jìn)行MPIC交會制導(dǎo)，與推力器全時工作模式下的結(jié)果進(jìn)行對比,三軸軌控加速度如圖9所示。

圖8 相對位置Fig.8 Relative position

圖9 三軸軌控加速度Fig.9 Acceleration of orbit control

制導(dǎo)結(jié)束時三軸相對位置、相對速度、最大軌控加速度以及所需的軌控速度增量見表2。

在優(yōu)化得到的推力器工作模式下，相對制導(dǎo)的位置、速度精度仍然能達(dá)到與全時工作相當(dāng)?shù)木龋柢壙厮俣瓤偭縿t相較于全時工作模式減小約30%，制導(dǎo)過程中所需的最大軌控加速度稍大。

表2 交會制導(dǎo)結(jié)果Table 2 Rendezvous guidance results

4 結(jié) 論

通過將遺傳優(yōu)化算法與MPIC制導(dǎo)律相結(jié)合，可以較好地實現(xiàn)多脈沖制導(dǎo)過程中推力器最佳工作時機(jī)的尋優(yōu)，減少航天器推力器的工作時間和燃料消耗，同時保證相對制導(dǎo)的精度。加速度形式的控制量可以等效換算為推力器的推力大小，易于工程實現(xiàn)。等距稀疏控制的種群初始化策略提高了遺傳迭代尋優(yōu)的效率。采用罰函數(shù)法可以保證系統(tǒng)的可控性并使推力器輸出滿足工程約束。優(yōu)化得到的MPIC多脈沖制導(dǎo)工作模式具有較為顯著的特征，能夠為各類空間相對制導(dǎo)任務(wù)中制導(dǎo)律的設(shè)計提供較有意義和啟發(fā)性的指導(dǎo)和參考。

個體二進(jìn)制編碼長度與相對制導(dǎo)的控制周期數(shù)對應(yīng),當(dāng)控制周期數(shù)較多時，二進(jìn)制編碼長度與遺傳搜索時間相應(yīng)增加。遺傳搜索過程對于計算能力仍有較高要求，在線實時應(yīng)用仍然存在困難，后續(xù)可以采用自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整等策略進(jìn)行優(yōu)化，將遺傳算法與其他局部收斂速度快的搜索方法相結(jié)合以達(dá)到更高的優(yōu)化效率。