高維不確定性條件下飛行器級間分離可靠性評估

聶兆偉，王 浩，秦 夢，張海瑞

(1.南京理工大學機械學院，南京 210094；2. 中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

0 引 言

為提升飛行器運載能力，在飛行過程需進行級間分離，通常二級發動機噴管位于一級殼體內，在分離過程中應著重關注二級發動機噴管邊緣與一級殼體的相對位置關系，這是因為兩體相對運動容易發生磕碰導致飛行任務失敗，因此,在大氣層內實施級間分離仍然是需要攻克的一項關鍵技術[1-2]。高超聲速飛行器在大氣層內實施級間分離時受到諸多不確定性因素的影響，如分離體質量特性偏差、下面級殘余推力偏差、分離初始攻角偏差、分離氣動特性偏差等[3-4]，特別是在大氣層內實施分離時，其分離點高度較低，受大氣影響顯著，承受動壓較大且不確定性因素影響顯著，兩體分離存在較大風險，嚴重制約了飛行器任務可靠性水平的提升。

常規分離方法通常是基于參數偏差的極限組合進行的[1]，其設計結果通常具有較大的安全裕度，無法反映系統參數的內在可變性，并且難以滿足精細化需求，甚至在某些情況下無法給出可行的分離方案，影響飛行器的總體性能。

針對這一問題，目前的研究趨勢是綜合考慮級間分離過程各種不確定性因素的影響，將不確定性因素注入分離動力學模型，建立飛行器分離可靠性模型，實現分離方案的精細化分析[5-6]。蒙特卡洛方法具有無偏性和非侵入性，適用于處理高維不確定性空間問題，國內外學者系統研究了利用蒙特卡洛方法開展分離仿真分析[7-9]，然而，該方法針對高可靠性分析問題，需開展大規模打靶仿真，仿真次數高達十萬甚至百萬次，導致求解效率較低，難以滿足快速設計迭代的工程需求。

為進一步提升可靠性分析效率，基于靈敏度分析方法直接濾除次要不確定性因素影響，篩選識別若干主要不確定性因素影響，進而引入代理模型,可大幅提升求解效率[10]，然而上述方法直接濾除了次要不確定性因素的影響，影響了分析計算精度，導致結果可信程度難以評估。針對這一問題，為實現高維不確定性條件下級間分離可靠性分析問題的精度與效率的統籌兼顧，本文以典型的軸對稱式飛行器級間冷分離方案為研究對象，綜合考慮級間分離過程中的諸多不確定性因素影響，在確保分析精度前提下，采用活躍子空間方法實現原高維空間與降維空間的數學映射，盡可能保留高維模型更多信息，進而采用含交叉項的高階多項式回歸模型進行近似，給出了求解適用于高維不確定性的飛行器級間分離可靠性分析方法。

1 飛行器分離可靠性建模

1.1 分離動力學建模

針對冷分離方案的環境特點與性能要求，建立分離動力學模型。分離過程中，上面級受到重力、分插拔脫力和氣動力的影響，下面級受到重力、分插拔脫力、主發動機殘余推力、反推發動機推力以及氣動力的影響，飛行器級間冷分離示意圖如圖1所示。

圖1 飛行器級間冷分離示意圖Fig.1 Illustration of vehicle stage separation

定義飛行器上面級、下面級分離體的彈體坐標系原點與各自質心重合，x軸與分離體的彈體縱軸重合,分離坐標系與分離初始時刻飛行器組合體的彈體坐標系重合。基于上述定義，兩體分離過程剛體動力學方程可表示為如下形式：

(1)

式中:m是分離體的質量；vx,vy,vz是分離體的速度矢量在對應分離坐標系下的速度投影；Fx,Fy,Fz是分離體的合力在對應分離坐標系下的投影；ωx1,ωy1,ωz1為分離體的轉動角速度在對應彈體坐標系中的分量；Ix1,Iy1,Iz1為分離體相對其對應彈體坐標系的轉動慣量；Mx1,My1,Mz1是分離體的合力矩在對應彈體坐標系下的投影。此外，補充建立速度與位置、歐拉角與角速度之間的關系，如式(2)所示。

(2)

其中，φ,ψ,γ為分析對象的彈體坐標系相對分離坐標系的歐拉角。

1.2 分離可靠性建模

針對分離過程的具體特點，結合分離動力學模型分別建立組合體、分離體上面級和分離體下面級的六自由度剛體運動及動力學仿真模型。在飛行器分離過程中，存在多種分離故障模式，其中較為典型的故障模式為兩體在分離時二級發動機噴管與一級殼體發生干涉碰撞，導致上面級功能失效。針對冷分離方案上面級發動機位于下面級殼體內的特點，在分離過程中需要著重關注兩者之間的相對距離，這里采用文獻[11]中的碰撞檢測方案給出兩體分離過程中的最短距離。此外，另外一種較為典型的故障模式為兩體分離后上面級受到諸多因素干擾，起控時由于角速度過大造成上面級姿態失穩發散。

表1 級間冷分離主要不確定性因素Table 1 Main uncertainty factors of stage separation

結合分離動力學模型，針對軸對稱式飛行器級間冷分離方案的特點，綜合考慮質量、氣動、殘余推力以及反推發動機等不確定性因素的影響，給出分離過程的主要不確定性因素見表1。為滿足精細化設計需求，在梳理分離過程不確定性的基礎上，將不確定性因素注入分離動力學模型，建立級間分離可靠性模型。結合兩種典型的分離故障模式，分別給出對應可靠性模型的功能函數為

(3)

其中,X為高維不確定性參數向量;d為兩體分離最短距離;d0為給定的兩體分離最短距離閾值;ω為起控時上面級角速度;ω0為給定起控時上面級角速度最大閾值。當兩體分離最短距離過小或者上面級角速度過大都會導致分離失效，這兩種故障模式的失效域分別為

(4)

進一步定義可靠性模型功能函數的聯合概率密度函數分別為pd(X),pω(X)，上述兩種典型分離故障模式的可靠度可以表達為：

(5)

2 飛行器分離可靠性分析

2.1 活躍子空間降維分析

通過試驗數據和工程經驗確定分離不確定性參數的分布形式，進而由式(5)給出兩種典型分離故障模式的可靠性定量分析結果。然而由于不確定性參數較多，難以獲得失效域與聯合概率密度函數的顯示表達，直接積分求解難度較大且復雜耗時，因而傳統方法通常利用靈敏度分析方法識別主要不確定性因素，利用蒙特卡洛方法進行主要不確定性因素的可靠性分析。然而靈敏度分析方法直接濾除了次要不確定性因素的影響，影響了可靠性分析的精度，導致結果可信程度難以評估。針對這一問題，為保留高維可靠性模型更多的信息，采用活躍子空間方法開展高維不確定性參數空間的降維；

以兩體分離最短距離d為例，結合高維不確定性參數空間X，兩體分離最短距離對應的信息矩陣C可以表達為

(6)

其中，w包含信息矩陣的全部特征向量；Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λ1≥λ2≥…≥λn≥0包含信息矩陣的全部特征值；Λ1=diag(λ1,λ2,…,λm)為其中較大的m個特征值，w1為對應的特征向量；Λ2=diag(λm+1,λm+2,…,λn)為剩余較小的特征值，w2為其對應的特征向量。則活躍子空間定義為：

(7)

其中，Y=[y1,y2,…,ym]T，Y∈Rm，X∈Rn。進一步，兩體分離最短距離d在活躍子空間有如下關系[12]：

(8)

當Λ2中的特征值之和與Λ1相比忽略不計時，兩體分離最短距離d(X)可以采用活躍子空間Y∈Rm近似替代原來的X∈Rn空間。工程實際問題中，也常常存在這樣的低維活躍子空間[13-14]，實現從高維空間X∈Rn到低維空間Y∈Rm的近似映射

(9)

(10)

2.2 高階多項式回歸近似

為進一步提升可靠性分析的效率，針對降維空間的特點，選取一定數量的采樣點，利用含交叉項的高階多項式回歸模型對降維后的m維空間進行高效近似。為了使得采樣點均勻地分布在空間中，采用極大極小距離序貫采樣方法，假設當前訓練點集為DT，則最大化距訓練點集最小的距離，以此作為序貫點，序貫抽樣，直至滿足所需采樣點數量，避免初始采樣不均勻導致無法獲取采樣空間的全局有效信息。

(11)

典型的含交叉項二階響應面模型如下所示。

(12)

式中:y為降維后的m維空間;ε為系數向量。通過上述方式，建立降維空間與兩體分離最短距離的近似關系映射。

2.3 可靠性分析

根據分離可靠性需求，利用蒙特卡洛方法在原n維空間中抽取一定數量的采樣點。與蒙特卡洛方法不同的是，利用式(9)實現一定數量采樣點從高維空間X∈Rn到低維空間Y∈Rm的直接映射，進而利用高階多項式近似，實現一定數量采樣點的近似求解，實現分離可靠性的高效求解。

(13)

3 實例結果

以某低空高速軸對稱式飛行器級間冷分離方案為應用對象，飛行高度38 km，分離沖量由兩個對稱安裝的反推火箭提供，分離開始后2.5 s上面級起控。通過試驗數據和工程經驗確定分離不確定性參數的分布形式見表2。

表2 級間分離不確定性分布類型及其參數Table 2 Distribution models and parameters of uncertainty factors of stage separation

圖2 兩體分離最短距離真實值與多項式響應值關系圖Fig.2 Comparison of the true value and polynomial responses of the shortest distance between separated bodies

圖3 起控時上面級角速度真實值與多項式響應值關系圖Fig.3 Comparison of the true value and polynomial responses of the angular velocity of the upper stage

進而，結合多項式回歸模型和蒙特卡洛方法進行高效可靠性分析，分別給出兩體分離最短距離和分離2.5 s上面級角速度的頻率分布直方圖及其分布近似擬合如圖4、圖5所示。

圖4 兩體分離最短距離近似擬合分布Fig.4 Distribution of the shortest distance between separated bodies

圖5 分離2.5 s上面級角速度近似擬合分布Fig.5 Distribution of the angular velocity of the upper stage about 2.5 s after separation

通過數據分析，兩體分離最短距離d近似滿足對數正態分布，分離2.5 s上面級角速度ω近似滿足威布爾分布。為驗證上述方法的準確性和有效性，直接采用蒙特卡洛方法在整個高維不確定性參數空間隨機抽取100000個采樣點，以此作為可靠度的參考值。給定兩體分離最短距離閾值d0=22 mm，分離2.5 s上面級角速度閾值ω0=1.8(°)/s，此時兩種典型分離故障模式的可靠度對比見表3。

進一步給出兩種典型分離故障模式的可靠度隨給定閾值變化的對比圖，如圖6、圖7所示。結果表明，不同閾值對應分離可靠性曲線與常規打靶仿真結果吻合良好，該方法能夠高效描述高維不確定性因素對分離過程的影響，在滿足可靠性精度要求的前提下，顯著提升了可靠性分析效率。

表3 兩種典型分離故障模式可靠度對比Table 3 Reliability comparison of two typical failure modes during the process of stage separation

圖6 分離碰撞故障模式可靠度隨給定閾值的變化對比Fig.6 Comparison of reliabilities with different thresholds of the failure mode of the separation collision

圖7 起控失效分離故障模式可靠度隨給定閾值的變化對比Fig.7 Comparison of reliabilities with different thresholds of the control failure mode

4 結 論

本文以典型的軸對稱式飛行器級間冷分離方案為研究對象，綜合考慮高維不確定性影響因素，建立了飛行器級間分離可靠性模型，提出一種基于高維不確定性的飛行器級間分離可靠性分析方法，實現了高維不確定性問題的快速求解。結果表明：

1)與靈敏度分析方法直接濾除次要不確定性因素相比，本文方法利用活躍子空間方法實現原高維空間與降維空間的數學映射，保留了高維不確定性模型的更多信息，提升了高維不確定性條件下可靠性分析精度。

2)與常規蒙特卡洛方法相比，利用極大極小序貫采樣方法構造樣本點集獲取了降維空間的全局信息，結合降維空間參數分布特點，通過含交叉項的高階多項式回歸模型高效近似，大幅提升分離可靠性定量分析效率。

3)結合實例結果，不同閾值對應分離可靠性曲線與常規打靶仿真結果吻合良好，驗證了本文方法的正確性和高效性。本文方法除獲取可靠性信息外，保留了高維不確定性空間的相關數據信息，如分布類型、方差等信息，為后續數據挖掘提供有力支撐。