基于概率理論的彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差分析?

（92941部隊41分隊 葫蘆島 125001）

1 引言

伺服系統中受信儀的齒輪傳動系統屬于小模數齒輪傳動，其空程誤差是小模數齒輪傳動設計的核心指標，是影響伺服精度和系統穩定性的決定性因素［1］。由于影響空程誤差的因素較多（如溫度、機械加工、安裝等），要在一定的條件下使得受信儀的空程誤差滿足系統指標，就要采用一些特殊的措施來調節控制空程誤差的數值，從而來滿足受信儀的精度要求。目前使用最為廣泛的是采用彈簧消隙齒輪機構。這種消隙機構從原理上消除了由齒輪本身制造誤差引起的幾乎所有的齒隙誤差［2］，因此被大量的應用于數據傳動機構中。但是，在實際的應用中，彈簧消隙齒輪機構中的空程誤差并不能被完全消除，對受信儀的精度產生一定程度的影響。本文以某型受信儀的彈簧消隙齒輪機構為分析模型，考慮到彈簧消隙、彈性變形等因素的影響，引入概率統計的理論，建立一種符合實際、經濟可靠的彈簧消隙齒輪空程誤差的計算方法。

2 概率統計理論的引入

目前關于彈簧消隙小模數齒輪傳動機構的空程誤差計算，仍普遍采用將各種因素極值相加來計算最大空程誤差的數值，但這種情況只是在各影響因素處于極限值時才出現，事實上，各影響因素很少可能會同時處于最大值和同一相位。所以用極值法得到的數值，對絕大多數設計來說是不切實際偏大的數值，從而不合理地提高了制造精度，導致不經濟的后果。由此可以看出，行業內對彈簧消隙齒輪傳動鏈空程誤差的系統認識還有一定偏差［3］，尚沒有一種完善、可靠的統計方法可供參考。

本文在分析彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差時，引入了概率統計理論，認為齒輪誤差及其它誤差都是連續型隨機變量，各項誤差源的分布都是相互獨立的，遵循正態分布或其他簡單的典型分布規律［4］。通過分析各環節隨機誤差分布情況，忽略影響很小的軸系誤差，運用合理的統計方法，推導出彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差的數學計算式，以此得到較為經濟可靠的設計。

3 消隙齒輪傳動機構空程誤差分析

影響消隙齒輪傳動機構空程誤差的因素主要有：齒輪齒厚減薄量、齒輪副中心距誤差、齒輪的幾何偏心、齒形誤差、軸承的徑向游隙、軸承內外圈的徑向偏擺、溫度變化和彈性變形［5～6］。

3.1 彈簧加載消隙齒輪對空程誤差影響分析

彈簧加載消隙齒輪是利用彈簧的彈力來調節雙片齒輪的齒厚，從而達到控制空程誤差的目的。如圖1所示，該彈簧加載消隙齒輪是由固定齒輪和浮動齒輪組成：固定齒輪被固定在傳動軸上，浮動齒輪空套在固定齒輪上，兩片齒輪之間由加載彈簧連接。

彈簧加載齒輪傳動的消隙原理在于：當雙片齒輪與配偶齒輪嚙合時，彈簧將迫使浮動齒輪相對于固定齒輪作微量轉動，而使齒輪副獲得緊密的雙面嚙合，利用彈簧力消除了嚙合齒非工作面間的間隙，從而達到減小空程誤差的目的。因此，只要控制好加載彈簧的彈性力矩，使得彈性力矩大于負載力矩，雙片齒輪就能夠消除由齒輪本身制造引起的全部齒隙，從而有效地消除空程誤差，并且與齒輪本身的精度幾乎無關。但彈性力矩也不宜過大，否則導致齒面磨損加劇。縱上所述，齒輪的加工誤差，包括齒輪齒厚減薄量、齒輪副中心距誤差、齒輪的幾何偏心、齒形誤差等因素對消隙齒輪傳動機構空程誤差的影響可以不予考慮。

3.2 軸承徑向間隙對空程誤差影響分析

由于軸承徑向間隙屬于隨機誤差，因此根據工程設計經驗，在分析軸承徑向間隙對齒輪傳動精度的影響時，一般認為軸承徑向間隙?S應服從正態分布［7～8］，如圖2所示。

圖2 ?S概率分布圖

式中，μS為由徑向間隙引起的齒輪副圓周側隙的均值，μm；?S為徑向間隙誤差，μm；?Sm為徑向間隙誤差的平均值，μm；?Ss、?Si為徑向間隙誤差的上偏差和下偏差，μm；αn為法向壓力角，度；β為螺旋角，度；βb為基圓螺旋角，度。

空程誤差是當主動輪逆轉時從動輪所滯后的轉角，此轉角在主動輪逆轉中表現出來。因此，在主動輪上所表現出來的由軸承徑向間隙引起的空程誤差?φS為

式中，D為主動輪的分度圓直徑，mm。

3.3 環境溫度對空程誤差影響分析

在溫度變化條件下，運轉的齒輪的嚙合要尺寸變化的影響，如果齒輪、軸和箱體都用同一材料制成，就沒有很大的側隙變化。但是，假如這三者的材料的膨脹系數不相同，則在溫度變化大的條件下，對側隙的影響是很大的。因此，要考慮到溫度的影響并設計出在惡劣條件下運轉時能避免干涉的齒輪嚙合，而且要考慮在其他在極端的溫度條件下擴大了的側隙值。為保證齒輪副正常傳動，應考慮熱變形所引起的側隙變化量。

由環境溫度變化引起的圓周側隙jtT可用下式來計算：

式中：μT為由環境溫度變化引起的齒輪副圓周側隙的均值，μm；a為齒輪副的中心距，mm；αL1、αL2為齒輪和箱體材料的線膨脹系數，/10?6℃；?t1、?t2為齒輪和箱體與標準溫度( )20℃ 的溫度之差，℃。

若計算結果為正值，表示齒輪的熱脹量大于箱體的熱脹量，迫使側隙減小。如果齒輪副預留的側隙過小，則有可能使齒輪卡死。若計算結果為負值，情況便與此相反，表示側隙增大。

則在主動輪上所表現出來的由環境溫度引起的空程誤差為

式中，D為主動輪的分度圓直徑，mm。

3.4 彈性變形對齒輪副側隙的影響

材料的彈性是側隙的另一個來源。所有材料在載荷作用下都會撓曲，其變化量與彈性模數和幾何尺寸成比例。除了輪齒的撓曲外，還應該考慮軸的撓曲等。在齒輪傳動機構工作過程中，嚙合力的變化將使軸發生扭轉和彎曲，從而使輪齒發生彎曲變形等，當反向回轉時，這些因素都將影響齒輪傳動機構的空程誤差［9～10］。

將齒輪軸轉化為簡支梁力學模型，如圖3所示。

圖3 彈性變形示意圖

在嚙合力方向上的撓度f為

式中，F為齒輪嚙合力，N；E為軸材料的彈性模量，MPa；I為軸材料的截面慣性矩，mm4；l為齒輪軸兩端支撐點距離，mm；a為齒輪嚙合點距齒輪軸一端支撐點的距離，mm。

則彈性變形引起的圓周側隙jtf為

式中：μf為由彈性變形引起的齒輪副圓周側隙的均值，μm。

則在主動輪上所表現出來的由彈性變形引起的空程誤差?φf為

式中，D為主動輪的分度圓直徑，mm。

環境溫度變化引起的尺寸變化、彈性變形等所帶來的側隙不是直接從幾何設計尺寸中表示出來，而只能從對溫度范圍和動態力的實際情況的分析計算中推斷出來。

4 單級消隙齒輪機構空程誤差分析

單級消隙齒輪機構的圓周側隙為

式（13）中分別考慮了軸承徑向間隙、環境溫度的變化以及彈性變形對消隙齒輪機構空程誤差的影響。

敏感報告（S）表示，如果抗菌藥在感染部位達到通常可達到的濃度，則該抗菌藥可能抑制病原菌的生長。中介報告（I）表示，結果應該被認為是模棱兩可，如果微生物對替代的，臨床上可用的藥物不完全敏感，則應重復測試。這一類別意味著，在藥物生理濃縮的身體部位，或在藥物可使用的高劑量情況下，臨床可能適用。這一類別還提供了一個緩沖區，防止小的、沒有控制的技術因素，造成解釋的重大差異。耐藥報告（R）表示，如果抗菌藥在感染部位達到通常可達到的濃度，該抗菌藥不太可能抑制病原菌的生長；應該選擇其他治療方法。

由于各項因素相互獨立，因此采用各項空程誤差迭加統計，這也是最安全的估計方法［11］。由此可得：

在主動輪上所表現出來的單級消隙齒輪機構的空程誤差?φ為

5 多級消隙齒輪傳動系統空程誤差統計分析

以n級消隙齒輪傳動系統為例，如圖4所示，I為輸入軸，O為輸出軸。

圖4 n級消隙齒輪傳動系統

則n級消隙齒輪傳動系統的空程誤差如式（16）所示：

式中，?φO為系統的空程誤差，arc min.；?φK為以主動輪空程誤差表示的第K級消隙齒輪機構的空程誤差，arc min.；iKO為從第K級消隙齒輪機構的主動輪到輸出軸O的傳動比。

則輸出軸O上的空程誤差為

式中，μφK為第K級消隙齒輪機構在小齒輪上的空程誤差，arc min。

6 某型彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差計算例

設計條件如下：

2）從輸入軸到精自整角機的傳動比為

i12×i34=3.6176×5.1667=18.6912；

從精自整角機到粗自整角機的傳動比為

i56×i78=4×4=16；

從輸入軸到粗自整角機的傳動比為：

i12×i34×i56×i78=3.6176×5.1667×4×4=299.0588；

3）軸承選用深溝球軸承，0組游隙，其徑向游隙2μm ～13μm ；

4）齒輪2、4、6、8采用雙片齒輪彈簧消隙結構；

5）粗自整角機的精度為10′，精自整角機的精度為 3′；

6）齒輪及齒輪軸采用45＃鋼，殼體采用普通碳鋼。

圖5 某型彈簧消隙齒輪受信儀傳動系統示意圖

受信儀的精度以輸入軸到精自整角機所產生的空程誤差為主要衡量標準。按本文介紹的統計方法進行計算，所得到的結果是：

1）由輸入軸到粗自整角機所產生的空程誤差（折算到齒輪8上）為1.24′，小于粗自整角機的精度10′，且數值較小，滿足設計要求；

2）由輸入軸到精自整角機所產生的空程誤差（折算到齒輪4上）為1.52′，小于精自整角機的精度 3′。

經批次檢驗，該型彈簧消隙齒輪受信儀傳動系統輸入軸到精自整角機的空程誤差（折算到齒輪4上）為 0.78′～0.92′，因此，本文介紹的計算方法是經濟可靠的，按此方法計算而得的空程誤差的數值滿足設計要求。

7 結語

通過上述分析計算可以看出，本文在對某型彈簧消隙齒輪受信儀傳動系統空程誤差的分析過程中，引入了概率統計的概念，避免了因傳統算法而導致的不合理的公差要求，可靠地滿足了系統性能指標，較為客觀地反映了彈簧消隙齒輪傳動系統空程誤差的真實情況，后期可以通過增大軸徑設計、減少裝配偏心以及提高彈簧加載力矩等措施進一步減少受信儀的空程誤差。通過本文的相關論述，使彈簧消隙齒輪傳動系統空程誤差的分析有一個比較具體的理論依據，減少了設計盲目性和難度，指明了改進方向，對以后的工程設計具有一定的指導意義［12］。