基于代理模型的大尺寸矩形截面超聲變幅桿的優化設計?

（昆明船舶設備研究試驗中心 昆明 650051）

1 引言

超聲變幅桿是超聲系統的重要組成部分，其主要作用是傳遞并聚集能量。設計變幅桿時，要求其諧振頻率盡可能接近超聲系統的工作頻率。當變幅桿的橫截面尺寸遠小于波長時，可忽略桿橫向振動的影響，其設計主要基于一維縱向振動理論；當變幅桿的橫向尺寸大于1/4波長時，由于泊松效應，桿的橫向振動較大，若基于一維縱向振動理論設計，變幅桿諧振頻率的偏差較大［1］。關于大尺寸矩形截面變幅桿的設計，相關研究主要是基于橫、縱耦合振動理論將變幅桿諧振頻率修正到系統工作頻率附近［2～4］。然而，大尺寸矩形截面變幅桿在實際應用中，僅修正諧振頻率遠遠不夠，還需要抑制其橫向振動，使變幅桿輸出端振幅分布更均勻才能適應實際使用需求。實際應用中，為了抑制矩形截面變幅桿寬度方向上的橫向振動，會根據經驗在變幅桿上開一些細長窄縫［5］。細長窄縫的增加會改變變幅桿的諧振頻率和振動模態，而通過解析法求解變幅桿窄縫的結構參數與變幅桿諧振頻率的關系較為困難。目前，關于窄縫結構參數對變幅桿諧振頻率的影響，鮮有相關研究。

本文考慮通過在變幅桿上增加窄縫的方式，在抑制大尺寸矩形截面變幅桿橫向振動的同時，修正其諧振頻率。先基于一維縱振理論設計較為常見的大尺寸矩形截面指數形變幅桿。再采用三種方法構建根據窄縫的結構參數預測變幅桿縱振諧振頻率的代理模型。接著，評價模型精度并選取精度較高的模型，結合遺傳算法對變幅桿窄縫結構參數進行優化。最后，通過仿真實驗驗證優化結果的正確性。

2 變幅桿設計

2.1 設計理論和設計參數

變幅桿一維縱向簡諧振動方程如下：

式中，x為沿桿長度的質點坐標值；ξ（x）為質點位移函數；k為圓波數；S（x）為變幅桿的截面積函數。本文以工程上較為常用的指數形變幅桿為例進行分析，指數形變幅桿的截面積函數為

變幅桿采用7075鋁合金材質，大端（輸入端）尺寸為27mm×80mm，小端（輸出端）尺寸為3mm×80mm，系統工作頻率和輸入振幅分別為20KHz和7μm。變幅桿的設計目標為通過在矩形截面變幅桿寬度方向上增加兩個窄縫，使其縱向振動的諧振頻率與系統工作頻率的偏差小于20Hz。

2.2 變幅桿的初步設計和分析

基于變幅桿一維縱向振動理論，計算出半波長矩形截面指數形變幅桿的諧振（20KHz）長度為133.2mm，所得變幅桿二維圖如圖1所示。

圖1 半波長矩形截面指數形變幅桿二維圖

采用COMSOL有限元分析軟件對所設計的變幅桿進行模態分析，搜索變幅桿在系統工作頻率（20KHz）附近的縱向振動的諧振頻率，圖2為變幅桿的縱振模態。由模態分析可知，變幅桿縱振諧振頻率為19367Hz，與系統工作頻率偏差較大，其主要原因是變幅桿寬度方向的尺寸大于1/4波長（62.88mm），桿的橫向振動會引起諧振頻率的偏移。

圖2 半波長矩形截面指數形變幅桿縱振模態

借助COMSOL軟件，通過調整指數形變幅桿的總長度修正其縱振諧振頻率。模態分析結果顯示：當指數形變幅桿總長為128.5mm時，其縱振諧振頻率為19993Hz，與系統工作頻率較為接近。

采用COMSOL軟件對頻率修正前后的變幅桿（總長133.2mm和總長128.5mm）進行諧響應分析，求解變幅桿受高頻振動激勵時（輸入端振幅為7μm，激勵頻率為其縱振諧振頻率，輸出端無負載），輸出端的縱向振動幅值沿寬度方向的分布情況，如圖3所示。

圖3 變幅桿輸出端位移幅值沿寬度方向的分布

由圖3可知，改變變幅桿長度雖然修正了諧振頻率，但是變幅桿輸出端的振幅分布變化不大，即變幅桿的橫向振動并沒有得到抑制。因此考慮通過在變幅桿寬度方向上增加兩條窄縫的方式抑制變幅桿的橫向振動并修正其諧振頻率。圖4為增加窄縫后變幅桿的二維圖。如圖4所示，兩條窄縫沿變幅桿中心位置對稱分布，設窄縫長度為a，寬度為b，窄縫間距為d。

圖4 半波長矩形截面指數形變幅桿（帶窄縫）二維圖

3 代理模型的構建及評價

3.1 代理模型理論

若要通過增加窄縫的方式將變幅桿的縱振諧振頻率修正到系統工作頻率附近，則需先求出變幅桿窄縫的結構參數和變幅桿縱振諧振頻率之間的對應關系。然而，通過解析法直接求解較為困難。代理模型方法能夠基于有限的實驗數據，構建反映輸入與輸出關系的近似函數模型［6］。常用的代理模型方法有克里金法［7］（KRG）、多項式響應面法［8］（PRS）、支持向量回歸法［9］（SVR）等。相關研究表明，針對具體的問題需要比較不同代理模型方法的建模精度才能判斷該問題所適用的方法［10］。因此，需分別采用上述三種代理模型方法，建立反映窄縫結構參數與縱振諧振頻率函數關系的代理模型，接著，評價建模精度并擇優。

本文選用決定系數（R2）和均方根誤差（RMSE）作為評價建模精度的標準：

式中，n表示驗證樣本數，yi表示縱振諧振頻率的仿真值，表示縱振諧振頻率的預測值，表示縱振諧振頻率仿真值的均值。判定系數（R2）的取值范圍為0～1，其用于度量模型的擬合優度，判定系數值越接近于1，說明代理模型的預測精度越高；均方根誤差（RMSE）主要用于判斷預測值與仿真值的誤差，均方根誤差值越小說明代理模型的預測精度越高。

3.2 實驗設計和仿真實驗

本文的設計空間即窄縫的設計變量和取值范圍：40mm ≤ a≤ 100mm、0.2mm＜b≤ 8mm、20 mm＜d≤60 mm。在眾多實驗設計方法中，最優拉丁超立方抽樣法［11～12］能夠利用較少的樣本點數據反映整體設計空間。本文選用最優拉丁超立方抽樣法在設計空間內分別抽取30組訓練樣本點和15組驗證樣本點。

表1 樣本點數據和對應的變幅桿的諧振頻率

（b）驗證樣本諧振頻率f/H z 2 0 0 3 2 1 8 9 3 5 1 9 4 1 8 1 9 0 9 3 1 9 6 4 2 1 9 0 6 4 1 9 5 8 3 1 9 3 4 6 1 9 6 0 3 1 9 5 6 3 1 9 7 6 5 1 8 7 0 5 1 8 4 1 7 1 9 6 7 8 1 9 2 1 9序號1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5長a/m m 4 8.5 7 5 2.8 6 6 1.4 3 7 4.2 9 4 0.0 0 1 0 0.0 0 4 4.2 9 8 7.1 4 5 7.1 4 9 1.4 3 8 2.8 6 6 5.7 1 7 8.5 7 7 0.0 0 9 5.7 1寬b/m m 0.2 0 6.3 3 3.5 4 5.2 1 2.9 9 6.8 9 5.7 7 4.1 0 1.3 1 2.4 3 0.7 6 7.4 4 8.0 0 1.8 7 4.6 6間距d/m m 3 4.2 9 4 5.7 1 4 0.0 0 3 7.1 4 5 7.1 4 2 5.7 1 2 2.8 6 2 8.5 7 5 1.4 3 4 2.8 6 5 4.2 9 3 1.4 3 6 0.0 0 2 0.0 0 4 8.5 7

利用COMSOL有限元分析軟件對變幅桿進行模態分析，分別獲取了45組樣本點對應的變幅桿的縱振諧振頻率。其中12、21、28號訓練樣本點所對應的變幅桿在15KHz～25KHz范圍內未搜索到縱振模態，因此判定其無效樣本點。表1為樣本點數據及對應的諧振頻率。

3.3 代理模型的構建及評價

表2 變幅桿諧振頻率的仿真值和三種代理模型的預測值

本文中預測變幅桿諧振頻率的模型是利用Matlab中的代理模型工具箱SRGTS Toolbox構建的。選取表1（a）中的27組有效訓練樣本作為訓練數據，采用三種代理模型方法構建根據變幅桿結構參數預測其諧振頻率的代理模型。完成建模后再取表1（b）中15組驗證樣本作為驗證數據來驗證模型的預測效果。表2為變幅桿諧振頻率的仿真值和三種代理模型的預測值。

將表2數據代入式（3）、（4）中分別計算三種代理模型的預測精度結果見表3。由表3可知，PRS法構建的代理模型預測精度較高。因此選用PRS法構建的代理模型用于后續優化設計。

表3 三種代理模型對變幅桿諧振頻率的預測精度

4 基于遺傳算法的變幅桿優化設計

遺傳算法源于達爾文的進化論、魏茨曼的物種選擇學說和孟德爾的群體遺傳學說。它是一種自適應全局優化搜索算法，通過循環選擇、交叉、變異等步驟持續優化種群，解碼末代種群的最優個體即可得到最優解［13］。本文采用遺傳算法對矩形截面變幅桿的窄縫結構參數進行優化，從而實現對變幅桿縱振諧振頻率的修正。算法中計算個體的適應度值所需的變幅桿諧振頻率由上文PRS法構建的代理模型預測得出。遺傳算法的優化流程如圖5。

圖5 結合代理模型的遺傳算法優化流程圖

4.1 優化模型的建立與優化求解

本文優化目標為變幅桿縱振的諧振頻率與20 KHz的偏差小于20 Hz。設計變量、目標函數和約束條件如下：

式中，f是PRS法構建的代理模型對變幅桿諧振頻率的預測值。在Matlab優化工具箱的遺傳算法優化模塊中，設定初始種群規模為200；限定遺傳算法的迭代次數范圍：50～99；設置選擇、交叉、變異算子分別為比例選擇、算術交叉、自適應變異。設置優化的終止條件為在迭代次數范圍內，若適應度值的平均變化率小于0.01%則終止優化，否則迭代99次后終止。

圖6為優化結果和部分優化設置。由圖6可知，經過61次遺傳算法迭代后得到變幅桿窄縫結構參數的最優解（保留兩位小數）為a=43.04、b=0.82、d=47.87。

圖6 優化結果和部分優化設置

4.2 優化結果的驗證及分析

根據優化后的窄縫參數對變幅桿進行三維建模，將模型導入COMSOL Multiphysics 5.2軟件進行模態分析和諧響應分析。根據模態分析結果可知：優化后，變幅桿的縱振諧振頻率僅偏離系統工作頻率9Hz，符合設計要求。根據諧響應分析結果可知：優化后，變幅桿輸出端的縱向振動幅值沿寬度方向的分布更為均勻，即變幅桿的橫向振動得到了抑制。圖7為優化后變幅桿的縱振模態，圖8為優化前后變幅桿的輸出端的縱向振動幅值沿寬度方向的分布。

圖7 優化后變幅桿縱振模態

圖8 優化前后變幅桿輸出端振動幅值沿寬度方向分布

5 結語

本文基于變幅桿一維縱向振動理論設計了大尺寸矩形截面指數形變幅桿，并通過增加兩條窄縫的方式，在抑制變幅桿橫向振動的同時修正了其縱振諧振頻率。通過對設計、建模和優化的過程進行分析得出以下結論。

1）基于一維縱向振動理論設計的大尺寸矩形截面指數形變幅桿的縱振諧振頻率與系統工作頻率有較大偏差，僅通過調整變幅桿總長可修正其縱振諧振頻率，但是變幅桿橫向振動未得到抑制。

2）基于本文的樣本數據，采用多項式響應面法（PRS）構建的代理模型對矩形截面變幅桿諧振頻率的預測精度優于支持向量回歸法（SVR）和克里金法（KRG）。

3）根據模態分析和諧響應分析結果可知：經遺傳算法優化窄縫結構參數后，矩形截面變幅桿的縱振諧振頻率得到了修正，且變幅桿的橫向振動得到了抑制。