直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法研究

陳思宇，譚儒龍，郭曉東，闞 磊

（1．重慶理工大學 機械工程學院，重慶 400054；2．陸裝駐重慶地區第六軍代室，重慶 400042）

剛度激勵是齒輪動態激勵的主要來源之一，是由齒輪傳動過程中隨時間周期變化的嚙合剛度即時變嚙合剛度所產生的［1－2］，確定齒輪的嚙合剛度一直都是齒輪系統動力學研究的熱點，對此國內外已有大量學者進行研究，并取得了不少成果。在已發表的文獻中，齒輪嚙合剛度的計算多采用材料力學法和有限元法，其中材料力學法是應用最早且是最快速的求解方法［3］。

在基于材料力學的嚙合剛度計算研究中，日本學者通過對輪齒齒形的大幅簡化，提出了能夠實現嚙合剛度快速計算的石川公式，但由于該計算模型未考慮輪齒基體變形對嚙合剛度的影響，計算精度不夠理想［4］。李亞鵬等［5］在石川公式的基礎上對其進行改進，將輪齒基體的變形量考慮在內提出了新的嚙合剛度計算方法。Weber［6］根據利用能量積分導出包含輪齒彎曲、剪切與壓縮的綜合變形計算方法。Cornell［7］在Weber的研究基礎上，進一步提出了包含齒根圓角以及輪齒基礎彈性變形的數值積分法。YANG等［8］基于勢能原理，提出了齒輪嚙合剛度計算模型，WU等［9］和TIAN［10］在該模型的基礎上進一步研究了包含剪切變形的影響。陳再剛等［11］基于剛度與輪齒誤差相互作用的思想，提出了更加符合實際的時變齒側間隙嚙合剛度計算模型。貴新成等［12］采用修正的齒面赫茲接觸剛度計算方法，基于勢能法建立了單輪齒對嚙合綜合剛度模型。CHEN Zaigang等［13］通過考慮齒形變形、齒接觸變形、圓角－基礎變形、齒輪體結構耦合效應以及齒形偏差等各種變形，提出了一種綜合的、通用的解析齒輪嚙合模型。

與材料力學理論模型相比，有限元模型可以模擬復雜的幾何形狀、邊界條件及工況，能夠獲得更加接近實際的變形及詳細的應力分布情況［11］。WANG J等［14］采用有限元法分析了不同載荷對漸開線直齒圓柱齒輪嚙合剛度的影響。唐進元等［15］和雷敦財等［16］利用有限元法中的準靜態計算方法，針對齒根裂紋、齒廓修形等對嚙合剛度的影響進行了計算分析。陸鳳霞等［17］針對時變嚙合剛度的計算，在有限元法基礎上提出了一種新的基于齒輪嚙合特性的有限元網格劃分方法。馮正玖等［18］針對齒輪副的嚙合剛度，運用三維有限元法獲得了直齒輪齒面的柔度矩陣，建立了直齒輪嚙合副的線接觸和面接觸2種輪齒承載接觸分析模型。

在齒輪嚙合剛度計算中，材料力學方法計算耗時短，但計算準確度較低，以有限元方法為代表的數值計算方法計算準確度高，但計算耗時較長。因此，本文力圖探尋一種在精度損失較小情況下，直齒圓柱齒輪嚙合剛度的快速計算方法。本文從能量等效思想出發，提出單齒嚙合剛度快速計算模型，并結合位移相容原理，形成直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度計算方法。最終對比本文中計算方法與有限元分析方法的結果表明，本文中提出的方法能夠在不顯著降低計算準確度的情況下，實現直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度的快速計算。

1 漸開線直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度計算模型

由于齒輪在嚙合過程中情況比較復雜，作為對實際嚙合狀況的一個合理簡化，在分析齒輪變形時進行以下設定：載荷沿接觸線的均勻分布；無安裝制造誤差及動載荷；漸開線直齒圓柱齒輪齒廓為二維平面曲線。

將漸開線直齒圓柱齒輪輪齒視為如圖1所示的變截面懸臂梁模型。如圖1所示，F是沿嚙合線方向上的嚙合作用力，α1是嚙合力與齒厚方向的夾角，h是嚙合作用點的齒厚的一半，hx是變截面處齒厚的一半，x是截面到嚙合作用點的距離，dx則是截面微段長度，Rint是齒輪內孔半徑。

圖1 漸開線直齒圓柱齒輪輪齒截面懸臂梁模型示意圖

將輪齒的變形等效成嚙合力F引起的沿嚙合線方向的彈簧變形，彈簧做工的彈性勢能表達式為：

剛度K乘上彈簧變形量μ等于這個彈簧的彈簧反力：

結合式（1）～（2），在嚙合力F作用下，輪齒發生的彎曲、剪切與沿齒高方向的軸向壓縮變形而存儲的等效彈性勢能為：

式中：Kb、Ks、Ka分別是沿嚙合線方向與輪齒彎曲、剪切、軸向壓縮變形相對應的等效彈簧剛度；Eb、Es、Ea分別是嚙合力沿嚙合線方向做的功分別等效為輪齒彎曲變形、剪切變形以及軸向壓縮變形引起的等效彈簧彈性勢能。

結合式（2）～（5）聯立求得彎曲、剪切、軸向壓縮變形的等效彈性勢能：

根據懸臂梁理論，將嚙合力F處的應變能分為彎曲、剪切、軸向壓縮應變能：

式中：K是量綱為1的量，與橫截面形狀和尺寸有關，漸開線直齒輪齒截面為矩形截面，故K取值1 2。E和G是材料的彈性模量和剪切模量，其中：

Fb、Fa、M分別是嚙合力F沿輪齒齒厚方向的分力、垂直于齒厚方向的分力以及相對于寬度為dx的微截面力矩，結合圖1表示為：

Ix、Ax是距離嚙合點x處的截面慣性矩與截面面積，結合圖1表示為：

式中的b是輪齒的寬度。其中的h與hx的值可通過計算直齒輪任意弦齒厚的方法得到，表達式為：

結合式（9）～（17）與圖示1可得彎曲剛度Kb的計算表達式為：

剪切剛度Ks的計算表達式為：

軸向壓縮剛度Ka的計算表達式為：

赫茲接觸剛度Kh計算表達式為：

齒輪嚙合剛度不僅受到輪齒變形的影響，也會受到輪體變形的影響。輪體變形引起的嚙合線上等效剛度Kf為：

式中，δf為齒輪的輪體變形量［11］。

由式（22）～（26）可得漸開線齒輪單齒嚙合剛度Ke的表達式：

式中：腳標1、2分別對應主動輪、從動輪。

2 漸開線直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度計算模型

為保證齒輪正確傳動，任何瞬間至少要有一對輪齒嚙合。如圖2所示，在齒輪正常傳動過程中，一對輪齒還未完全退出嚙合處于嚙合點B1時，下一對輪齒已經于嚙合點B2開始進入嚙合。

圖2 漸開線直齒圓柱齒輪連續嚙合傳動示意圖

利用重合度可得出單齒嚙合區與多齒嚙合區，重合度計算式為：

式中：αa1和αa2為齒頂圓的壓力角；α′為分度圓壓力角。

接觸點B1和B2到圓心的距離為：

由于齒輪傳動任意嚙合點都處于如圖2所示嚙合線N1N2上，通過重合度可計算出當第二對輪齒開始進入嚙合時，第一對輪齒所在嚙合點B1位置。

基于位移相容原理，在從動輪變形轉角為θ的情況下，參與嚙合的第一對齒的變形量δ1與同時參與嚙合的第二對齒的變形量δ2的表達式：

式中α1和 α2是嚙合點B1與B2的壓力角，由式（30）～（31）表明變形量是嚙合副狀態的函數。通過變形量與單齒嚙合剛度值可得嚙合齒對的嚙合力表達式：

式中的腳標i表示參與嚙合的第i對齒。

當全部嚙合力與外力處于平衡時有：

根據嚙合剛度定義，每單位齒寬的齒面法向載荷和每個輪齒齒面法向變形量的總和的比值，稱為一對輪齒的嚙合剛度Ke，表達式為：

由式（32）～（34）可得多齒嚙合剛度表達式為：

結合式（30）～（35）簡化可得：

式中的單齒嚙合剛度Ki通過第1節公式獲得。由該式可見，Ki、Li與αi是齒輪系統運動狀態變量的函數，綜合嚙合剛度K具有非線性。

3 算例分析

通過有限元法的具體實例來驗證文中所提出算法的準確性，采用如表1所示的3組齒對參數。

表1 3組齒對參數

3．1 齒輪有限元前處理模型

將齒對的三維實體幾何模型導入到有限元前處理軟件中，得到其有限元網格模型。由接觸力學可知，接觸應力在接觸區附近高度集中，應力梯度較大，因此接觸部分網格進行密化。根據彈性力學圣維南原理，在遠離接觸區部分，其受力分布情況對接觸區應力分布影響較小，誤差小于1%。因此，考慮到實例中的齒輪副參數重合度大于1小于2，故任何瞬間最多2對輪齒最少1對輪齒參與嚙合，為合理分配計算量，則采用3對輪齒進行分析。對于單元類型，由于六面體在接觸問題中的計算代價遠小于四面體網格，同時在單元積分形式的選擇上，由于網格的扭曲變形對分析精度會有影響，故可選擇產生影響相對較小的減縮積分單元，因此，在本文中，綜合考慮計算效率和計算精度后，采用六面體一次縮減積分單元（C3D8R）建立齒輪有限元模型。三齒漸開線直齒圓柱齒輪有限元模型如圖3所示，并采用文獻［19］的有限元方法對其進行靜力學分析。

圖3 模數1．5齒對有限元模型示意圖

3．2 計算結果處理與分析

齒輪單齒嚙合剛度的一般表達式為

式中：Fn是作用于齒廓曲面的法向接觸力；un是單對輪齒的綜合彈性變形。通過有限元后處理得到法向接觸力Fn以及綜合彈性變形量un之后，由式（37）計算出單齒一個嚙合周期在不同嚙合位置的嚙合剛度，再通過多項式插值得到單齒嚙合剛度曲線。將單齒嚙合剛度曲線左右移動nΔα角度可得到多齒對的嚙合剛度，并通過式（39）對其進行疊加得到綜合嚙合剛度曲線。

根據表1中第1組齒對參數，利用本文的計算方法完成主動輪和從動輪的輪齒剛度計算，結果如圖4所示。從圖4中可以看出，根據本文提出的計算方法所得結果與有限元法計算結果基本相符，誤差低于6%。

圖5為本文方法、有限元法獲得的單齒嚙合剛度曲線。由圖5可知，在整個輪齒嚙合過程中，嚙入嚙出區域單齒剛度較小，而中間部分對應的嚙合剛度較強。圖6為綜合嚙合剛度曲線。由圖6可知，綜合嚙合剛度是在一定范圍內呈周期性交替變化的。具體嚙合剛度計算誤差如表2所示。通過3組實例的對比分析，可以認為本文所提出的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法計算結果較為準確。

圖4 輪齒剛度曲線

圖5 單齒嚙合剛度曲線

圖6 綜合嚙合剛度曲線

表2 嚙合剛度計算誤差

4 結論

1）基于能量等效原理，可以有效構建漸開線直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度計算模型。

2）基于位移相容的條件，從齒輪單齒嚙合剛度中可以導出綜合嚙合剛度計算模型。

3）提出的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法計算結果較為準確。由于采用的是簡單積分計算式，可以實現直齒圓柱齒輪嚙合剛度快速計算。